东北师大附中高三数学第一轮复习导学案抛物线B

1、 抛物线(学案)b一、 知识梳理：1. 抛物线的定义 定义的理解：定点在直线上,轨迹是： .2. 抛物线的标准方程及性质(见下表)图形顶点对称轴焦点准线离心率焦半径焦点弦公式x轴x轴y轴y轴3、焦半径公式（1）y2=2px (p>0) ， m(x0, y0) 为抛物线上任意一点。f为抛物线的焦点， |mf|=p2+x0 （2）、n=p1+cos , m=p1-cos 1m+ 1n = 2p 4、若抛物线y2=2px （p>0）过焦点的弦ab，设a（x1，y1）b（x2，y2），则有下列结论：（1）、|ab|=p+x1+x2（2）、|ab|=2psin2( y2=2px (p>

2、0), |ab|=2pcos2( x2=2py (p>0)（3）、|ab|=2pcos2( x2=2py (p>0)(通径是最短的焦点弦)（4）、x1x2=p24 , y1y2=-p2（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|ab|=2p（6）、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积： saob=p22sin=12|ab|on|=12|of|a1 b1|=12|of|ya-yb|（7）、以焦点弦为直径的圆与准线相切（8）、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论延伸：切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论发散：当弦ab不过焦点即切线交点p不在准线上时，切线交点

3、与弦中点的连线也平行于对称轴（9）、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点。结论延伸：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径（10）、如图，ab是过抛物线（p0）焦点f的弦，q是ab的中点，l是抛物线的准线，过点a，b的切线相交于p点，pq与抛物线交于点m（1）与是否有特殊的位置关系？结论：papb（2）与是否有特殊的位置关系？结论：pfab（3）点m与点p、q的关系，结论：m平分pq（4）直线pa与a1ab，直线pb与b1ba的关系，结论：pa平分a1ab，pb平分b1ba（5）与的大小比较，结论：（6）的最值问题：结论： 课下思考：当弦ab不过焦点，

4、切线交于p点时，有无与上述结论类似结果则，pa平分a1ab，同理pb平分b1ba点m平分pq【练习】（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n，是抛物线上的点，过焦点f的直线fan交抛物线于另一点，（1）试证：（n1）（2）取，并cn为抛物线上分别以an与bn为切点的两条切线的交点，求证：（n1）【作业】（1）、证明上述问题中的结论发散（2）、已知抛物线的焦点为f，a，b是抛物线上的两动点，且（0），过a，b两点分别作抛物线的切线，设其交点为m，（1）证明：的值；（2）设的面积为s，写出的表达式，并求s的最小值（3）、已知抛物线c的方程为，焦点为f，准线为l，直线m交抛物线于两点a，b；1

5、/ 过点a的抛物线c的切线与y轴交于点d，求证：；2/ 若直线m过焦点f，分别过点a，b的两条切线相交于点m，求证：ambm，且点m在直线l上5、直线与抛物线的关系（1）、kabym=p（2）、直线与抛物线的公共点的情况6、二次函数y=ax2+bx+c(a0) 按向量m=(b2a,-4ac-b24a) 平移得到y=ax2，其中平移后坐标系下的焦点坐标为（0，14a），平移前的焦点坐标为（(-b2a,1-4ac+b24a）7、抛物线的焦点的位置的判断：看方程中的一次项，一次项是哪个变量，焦点就在哪个变量对应的坐标轴上，而且正系数在正半轴，负系数在负半轴；8、a、b两点都在抛物线上，且oaob，则

6、x1x2=4p , y1y2=-4p2二、题型探究探究一：抛物线的标准方程例1：根据下列条件求出抛物线的标准方程（1）、焦点到准线的距离是2；（2）、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点a（-3，y）到焦点的距离是5，探究二：抛物线的几何性质例2：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于a，b两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线（）（a） 有且只有一条（b）有且仅有两条（c）有无数条 （d）不存有例3：已知点p是抛物线y2=2x上任意一点，f为抛物线的焦点，点a（3，2），则|pa|+|pf|的最小值为 ，此时p的坐标是 探究三：直线与抛物线的关系例4：已知a，b是抛

7、物线上两点，o为原点，且oaob，求证：（1）a，b两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数；（2）、直线ab过定点。三、方法提升：1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点，往往从几何代数两个方面考察：2、关于直线与抛物线的交点问题，相对于椭圆与双曲线来说，由于其方程的特点，直接设交点的坐标解决问题简便易行；直线方程也可以根据方程的特点，灵活设为y=kx+b或者x=my+a四、反思感悟 五、课时作业1过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（a）10 （b）8 （c）6 （d）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ ）（a）3 （b）4 （c）5 （d）63过抛物线的

8、焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ ） （a） （b） （c） （d）4顶点在原点，焦点在y轴上，且过点p（4，2）的抛物线方程是（）(a) x28y (b) x24y (c) x22y (d) 5抛物线y28x上一点p到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(a) （2，4） (b) （2，±4） (c) （1，） (d) （1，±）6过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 _ 7抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为8抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方

9、程是 9以双曲线的右准线为准线，以坐标原点o为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦ab，求oab的面积 10正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长11正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程12已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 13已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 14已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，