高数_大一_上学期知识要点

1、总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；、定理 若, 则(加减运算) (乘法运算) (除法运算) 推论1: (为正整数) 推论2: 结论1:结论2: 是基本初等函数，其定义区间为d，若，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；定义1: 若或（）则称是当 (或)时的无穷小. 定义2: 是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若, 则称与是等价无穷小, 记为. 性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2(等价无穷小替换定理) 设, 且存在, 则. (因式

2、替换原则)常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；准则i(夹逼准则)若数列(n=1,2,)满足下列条件: (1);(2),则数列的极限存在, 且.准则ii: 单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。 5、利用洛必达法则。 未定式为类型. 定理(时的型): 设(1);(2) 在某内, 及都存在且; 二、求导数和微分：1.定义导数：函数在处的导数：函数在区间i上的导函数：函数的微分：2.导数运算法则（须记住p140导数公式） 函数和差积商求导法则：函数、可导，则：反函数求导法则：若的导数存在且，则反函数的导数也存在且为 复合函数求导法则(链式法则)：可导，可导，则可导，且隐函数求

3、导法则: 参数方程求导法则: 若则.3.微分运算法则三、求积分： 1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。性质1：性质2： 性质3：性质4： (去绝对值, 分段函数积分)性质5：2.计算公式： p186基本积分表； p203常用积分公式；第一换元法(凑微分)： 第二换元法： 分部积分法：循环解出，分部求解有理函数积分：混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数牛顿莱布尼茨公式：定积分换元法： （换元换限，配元(凑微)不换限） 定积分分部积分法：结论(偶倍奇零)： 若函数为偶函数，则。若函数为奇函数，则 注意:1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2. 定积分几何意义求一些特

4、殊的积分(如) 变限积分求导四、微分和积分的应用1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形 判断单调性：第一步：找使 的点和不可导点。 第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论的正负，函数递增，函数递减。 判断凹凸性：第一步：找使的点和不可导点。 第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论的正负， ，是凹区间，是凸区间。（拐点：左右两边的符号相反） 判断函数极值：第一步：找使 的点和不可导点。 第二步：判断这些点两边的正负，若左正右负极大值点左负右正极小值点。2.1 定积分的几何应用-求面积，体积和弧长 y=f上(x)y=f下(x)ox yab y y+dydox ycy所求图形的面积为：旋转体：由连续曲线 y=f (x)、直线 x=a 、x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体。 oxba yy 旋转体：由连续曲线 、直线 y=c 、y=d 及 y轴所围曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的