数列的基本问题

1、 数列的基本问题 1 数列的基本问题 数学奥林匹克中的数列问题可分为两大类:基本问题和综合问题.其中数列的基本问题包括:通项问题(包括求通项、求和、通项不等式和求和不等式)、数列性质(单调有界和数列极限)、递推问题(建立递推、二阶变换、转化二阶、递推变换、递推分析、不等递推和不等分析)和重要数列(凸凹数列、周期数列和fibonacci数列). 1.数列通项:例1:(2004年第四届中国西部数学奥林匹克试题)设数列an满足a1=a2=1,且an+2=+an,n=1,2,.求a2004.解析:由an+2=+anan+1an+2=1+anan+1数列anan+1是以a1a2=1为首项,公差为1的等差

2、数列anan+1=nan+1an+2=n+1=;a2k=a2=1;a2k-1=a1=1.练习1:1.(中等数学.2013年第3期.数学奥林匹克训练题(163)已知数列an满足a1=1,a2=9,且对任意的正整数n有:nan+2-6(n+1)an+1+9(n+2)an=0.试求数列an的通项公式.2.(中等数学.2008年第11期.数学奥林匹克训练题(113)设a1=1,an+1=2an+n2(1+3n)(n=1,2,).求数列an的通项公式.3.(中等数学.2006年第6期.数学奥林匹克训练题(5)设x1=3,xn+1=(+1)xn+n+1(n=1,2,).求数列xn的通项公式.4.(1987

3、年中国国家队测试题)已知数列an中,anr,且a1=1,a2=10,an2an-2=10an-13(n=3,4,).求an.5.(2009年第五届北方数学奥林匹克数学邀请赛试题)设数列xn满足x1=1,xn=+xn-1(n2).求数列xn的通项公式.6.(2004年巴尔干数学奥林匹克试题)对于所有非负整数m和n(mn),数列a0,a1,a2,满足am+n+am-n-m+n-1=(a2m+a2n).若a1=3,求a2004. (2004年澳大利亚数学奥林匹克试题)非负整数数列xn定义为:x1是小于204的非负整数,且xn+1=(+)xn2-+1,n>0.证明:数列xn一定包含无数个质数.

4、2.数列求和:例2:(2012年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题)已知函数f(x)=,数列an满足a1=1,an+1=f()(nn+).()求数列an的通项公式;()令tn=,求tn.解析:()由an+1=f()an+1=an+an=n+;()令bn=(-1)(2n-1)+1a2n-1a2n+(-1)2n+1a2na2n+1=(2n-1)+(2n)+-(2n)+(2n+1)+=-(4n+1)tn=-(2n2+3n). 2 数列的基本问题 练习2:1.(2009年全国高中数学联赛陕西预赛试题)已知数列an满足a1=4,an+1an+6an+1-4an-8=0.记bn=(nn+).求:()数列bn的

5、通项公式;()数列anbn的前n项和sn.2.(中等数学.2005年第9期.数学奥林匹克训练题(80)设数列an满足a1=a2=1,且an+1an-1=an2+nanan-1(n=2,3,).()求an;()求.3.(中等数学.2007年第8期.数学奥林匹克训练题(100)已知数列an满足a1=,(1-an)an+1=.()求数列an的通项公式;()求证:+<n+.4.(中等数学.2010年第12期.数学奥林匹克训练题(136)已知数列an满足a1=,=(n2).试求的值.5.(2003年第2届中国女子数学奥林匹克(cgmo)试题)定义数列an如下:a1=2,an+1=an2-an+1,

6、n=1,2,.证明:1-<+<1.6.(2005年中国国家队测试题)数列an定义如下:a1=,且an+1=(n=1,2,).证明:对每一个正整数n,都有a1+a2+an<1. 3.通项不等式:例3:(2009年全国高中数学联赛陕西预赛试题)已知函数f(x)=,数列an、bn满足:a1>0,b1>0,an=f(an-1),bn=f(bn-1)(n=2,3,).()求a1的取值范围,使得对任意的正整数n,都有an+1>an;()若a1=3,b1=4,证明:0<bn-an(n=1,2,).解析:()函数f(x)=4-在区间(0,+)内单调递增,且f(x)&g

7、t;x>x(x>0)0<x<,f()=;所以,当a1(0,)时,f(a1)>a1>a2>a1>0f()>f(a2)>f(a1)>0>a3>a2>0>an+1>an>0;当a1,+)时,f(a1)a1a2a1an+1an.综上,a1的取值范围是(0,);()由()知,数列an单调递增,数列bn单调递减,且an3,),bn(,4bn-an>0;又因bn-an=-=<=(bn-1-an-1)bn-an<(b1-a1)()n-1=.练习3:1.(2005年上海市ti杯高二数学竞赛试题

8、)已知数列an的首项a1=2,且an+1=(nz+),求使不等式|an+1-an|<10-9 数列的基本问题 3 成立的最小正整数n.2.(2009年第39届澳大利亚数学奥林匹克试题)设p为大于1的整数,集合fp表示各项均为非负整数,且满足递推关系式:an+1=(p+1)an-9an-1(n1)的所有非常数数列an的集合.证明:存在fp中的一个数列an,满足对任意的一个在fp中的数列bn,有anbn(nn+).3.(第九届加拿大数学奥林匹克试题)设0<a<1,定义a1=1+a,an=+a(n2).证明:对一切自然数n,都有an>1.4.(1980年芬兰、英寺国、匈牙利和

9、瑞典四国数学奥林匹克试题)数列a0,a1,an,满足:a0=,ah+1=ak+ak2(k=0,1,2,n-1).证明:1-<an<1.5.(2010年哥伦比亚数学奥林匹克试题)已知数列a0,a1,an,满足a0=1,an=n2a0+(n-1)2a1+22an-2+an-1(n1).证明:an+1an(n1).6.(2005年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知数列an满足:a1=1,an+1an-1=an2.()证明:an;()求整数m,使得|a2005-m|最小. 4.求和不等式:例4:(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题)已知在数列an中,a1=t,a2=t2,其中t>

10、0,x=是函数f(x)=an-1x3-3(t+1)an-an+1x+1(n2)的一个极值点.()求数列an的通项公式;()若<t<2,bn=(nn+).求证:+<2n-.解析:()因(x)=3an-1x2-3(t+1)an-an+1;由()=0tan-1-(t+1)an-an+1=0an+1=(t+1)an-tan-1an+1-an=t(an-an-1)an+1-an=(t-1)tn;当t=1时,an=1;当t1时,由an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=t+(t-1)(t+t2+tn-1)=(t+t2+tn)-(t+t2+tn-1)=tn.又因an

11、=1适合该式,故an=tn;()由bn=(an+)=(tn+);又由函数f(t)=(tn+)(<t<2)<f(2)=2n-1+<2n-1+<+=(2n-1)+(-)=2n-(+)<2n-2=2n-.练习4:1.(2010年全国高中数学联赛湖北预赛试题)已知数列an满足:a1=1,an+1=(an+)(nn+).sn是其前n项和.证明:当n2时,2n-1<sn<2n-.2.(2007年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在数列an中,已知a1=2,an+1an+an+1-2an=0.对于任意正整数n,有<m(m为常数,且m为整数),求m的最小值.3

12、.(中等数学.2012年第9期.数学奥林匹克训练题(157)已知数列an满足a1=2,a2=6,+=(n2).()求数列an的通项公式;()令bn=,sn为数列bn的前n项和.证明:sn<2. 4 数列的基本问题 4.(中等数学.2005年第5期.数学奥林匹克训练题(76)设1<x1<2,对于n=1,2,定义xn+1=1+xn-xn2.当m3时,证明:<.5.(中等数学.2008年第8期.数学奥林匹克训练题(110)数列an满足a1=1,an+1=2an-n2+3n(nn+).()求数列an的通项公式;()设bn=,sn=.证明:当n2时,<sn<.6.(中

13、等数学.2009年第2期.数学奥林匹克训练题(115)已知数列an的前n项和为sn,a1=1,且2sn=anan+1(nn+).()求数列an的通项公式;()构造数列bn:b1=1,当n2时,bn=.求证:无论给定多么大的正整数m,都必定存在一个n,使b1+b2+bn>m. 5.单调有界:例5:(2008年第八届中国西部数学奥林匹克试题)设整数m(m2),a为正实数,b为非零实数,数列xn定义如下:x1=b,xn+1=axnm+b(n=1,2,).证明:()当b<0且m为偶数时,数列xn有界的充要条件是abm-1-2;()当b<0且m为奇数,或b>0时,数列xn有界的充

14、要条件是abm-1.解析:首先注意到:函数f(x)=axm+b在(0,+)内单调递增.()(必要性)若abm-1<-2,则abm>-2babm+b>-b>0x1>-b>0f(x1)>f(-b)>0x3>x2>0f(x3)>f(x2)>0x4>x3>0xn+1>xn>-b>0;又由xn+1=axnm+bxn+2-xn+1=a(xn+1m-xnm)=a(xn+1-xn)(xn+1m-1+xn+1m-2xn+xnm-1)>amxnm-1(xn+1-xn)>am(-b)m-1(xn+1-x

15、n)>2m(xn+1-xn)xn+1-xn>(2m)n-1(x2-x1)xn>x1+(x2-x1)1+(2m)+(2m)2+(2m)n-2数列xn为无界数列,矛盾,所以,abm-1-2;(充分性)由abm-1-2abm-2b0<abm+b-b0<x2-b,假设0<xn<-b0<xnm<(-b)m=bm0<xn+1=axnm+b<abm+b<-bxnb,-b数列xn为有界数列;()当b>0时,xn>0,首先证明:数列xn有界的充要条件是方程f(x)=x有正根x0.(必要性)反证:假设f(x)=x无正根,则函数f(

16、x)-x在(0,+)上的最小值t>0f(xn)-xntxn+1-xntxnx1+(n-1)t数列xn为无界数列,矛盾,所以,方程f(x)=x有正根x0;(充分性)由方程f(x)=x有正根x0ax0m+b=x0x1=b<x0;设xn<x0xn+1=f(xn)<f(x0)=x0,所以xn<x00<xn<x0数列xn为有界数列; 又因ax0m+b-x0=0ax0m-1+=1(而函数g(x)=axm-1+(x)=a(m-1)xm-2-g(x)的最小值=g()=b)b1abm-1; 当b<0且为奇数时,x1=b,xn+1=axnm+by1=-b,yn+1=

17、aynm+(-b),转化为上述情况.练习5:1.(1994年保加利亚数学奥林匹克试题)实数列a0,a1,an,由下述等式定义:an+1=2n-3an,n=0,1,2,.()求依赖于a0和n的an的表达式;()求a0,使得对任意正整数n,an+1>an.2.(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列an中,a1>0,且an+1=.()试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何正整数n都成立;()若a1=4,设bn=|an+1-an|(n=1,2,3,),并以sn表示数列bn的前n项的和,证明:sn<. 数列的基本问题 5 3.(2012年全国高中数学联赛江西预赛

18、试题)数列an定义如下:a1=1,对于每个nn,a4n+1,a4n+2,a4n+3构成等差为2的等差数列,而a4n+3,a4n+4,a4n+5构成公比为的等比数列.证明:an为有界数列,并求出其最小上界.4.(2004年第45届国际数学奥林匹克预选题)已知无穷数列a0,a1,a2,满足条件an=|an+1-an+2|,其中a0,a1是两个不同的正数.问这个数列是否有界？5.(2007年保加利亚数学奥林匹克试题)设a1>,对于n1,有an+1=.证明:()an>n-;()数列bn=2n(-1)(n=1,2,)是收敛的.6.(2005年越南数学奥林匹克试题)考察实数数列xn,定义:x1

19、=a,xn+1=3xn3-7xn2+5xn,n=1,2,其中a为实数.求所有a的值,使得当n趋于无限大时,数列xn有确定的界限,并求该界限值. 6.收敛极限:例6:(2003年越南数学奥林匹克试题)给定一个实数a(a0),考虑下述的实数序列xn:x1=0,xn+1(xn+a)=a+1,n=1,2,3,.()求数列xn的通项公式;()证明:数列xn存在极限,并求这个极限.解析:()由xn+1(xn+a)=a+1xn+1=,其特征方程x=有根x=1,-a-1若a-2,则=-(a+1)=(-a-1)nxn=;若a=-2,则=-1=-nxn=1-;()由():若a=-2,则xn=1-xn=1;若a=-

20、1,则xn=0xn=0;若a(-2,-1)(-1,0),则|-a-1|<1xn=-(a+1);若a(-,-2)(0,+),则|-a-1|>1xn=1.练习6:1.(中等数学.2007年第6期.数学奥林匹克训练题(10)设x1=a,x2=b,xn+2=+c(n=1,2,),其中,a、b、c为给定的实数.()求数列xn的通项公式;()问:当c为何值时,极限xn存在？如果存在请求出其值.2.(2003年保加利亚数学奥林匹克试题)设a1>0,an+1=an+,对任意的n1成立,证明:()ann对任意的n>1成立;()数列是收敛的,并求其极限.3.(2008年越南数学奥林匹克试题

21、)实数列xn被定义为:x1=0,x2=2,xn+2=+(n=1,2,).证明:当n+时,数列xn有极限,并求出这个极限. 6 数列的基本问题 4.(2007年越南数学奥林匹克试题)已知实数a(a>2),且fn(x)=a10xn+10+xn+x+1(n=1,2,).证明:对于所有的正整数n,方程fn(x)=a恰有一个实数根xn(0,+),且当n+时,数列xn收敛.5.(2005年克罗地亚数学奥林匹克试题)给定一数列an,nn+,其中,a1=1,an=a1a2an-1+1,n2.求m的最小值,满足对任意mn+,m成立. (中等数学.2009年第6期.数学奥林匹克训练题(19)已知数列an由a

22、1=,an+1=an2+an-12+a12(nn+)确定.若对于任意的n(nn+),+<m恒成立.求m的最小值.6.(中等数学.2011年第12期.数学奥林匹克训练题(148)给定正数,若存在一个无穷正数数列an满足:1+an+1<an+an(n=1,2,).证明:1. 7.建立递推:例7:(2005年全国高中数学联赛河南预赛试题)如图: y设p1(1,),p2(4,2),pn(xn,yn)是曲线c:y2=3x(y p40)上的n个点.点ai(i=1,2,n)在x轴的正半轴上,满 p2 p3足ai-1aipi是正三角形(a0是坐标原点). p1()求点an(an,0)的横坐标an关

23、于n的表达式; o a1 a2 a3 x()试求+的值(a表示这个数的整数部分,当2005<c<2005.6时,取=44.78;当2006<c<200.5时,=44.785).解析:()由ai-1aipi是正三角形pn的的横坐标等于点an-1与an的横坐标的等差中项,即xn=yn=;由a0=0,x1=1a1=2;又由yn=|an-1an|=(an-an-1)=(an-an-1)(an-an-1)2=2(an-1+an)an-12-2(an+1)an-1+an2-2an=0an+12-2(an+1)an+1+an2-2an=0an-1,an+1是方程x2-2(an+1)x

24、+an2-2an=0的两个不相等(an+1>an-1)的根an-1+an+1=2(an+1)(an+1-an)-(an-an-1)=2an+1-an=(a1-a0)+2n=2+2nan=n(n+1);()因=<<=2(-)+<2(-)<88.2;=>>=2(-)+<2(-)>87.3+=88.练习7:1.(2006年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设a、b为正整数,两直线l1:y=-x+b与l2:y=x的交点是(x1,y1),对于自然数n(n2),过点(0,b)和(xn-1,0)的直线与直线l2的交点记为(xn,yn).求数列xn、yn的通项

25、公式.2.(2006年第六届中国西部数学奥林匹克试题)设k是一个不小于3的正整数,是一个实数.证明:如果cos(k-1)和cosk都是有理数,那么,存在正整数n(n>k),使得cos(n-1)和cosn都是有理数.3.(2006年克罗地亚数学奥林匹克试题)对于任意正整数n,证明:tann150+cotn150是一个正偶数.4.(2007年全国高中数学联赛江苏预赛试题)已知数列bn=(1+)n-(1-)n(n=0,1,2,).()n是什么数时,bn是整数？ 数列的基本问题 7 ()如果n是奇数,并且bn是整数,那么,n是多少？5.(第三十届加拿大国家队测试题)求函数f:r+r+,使满足f(

26、f(x)=6x-f(x).6.(1988年第29届国际数学奥林匹克预选题)整数数列an满足:a1=2,a2=7,-<an+1-,n2.求证:对所有n>1,an为奇数. 8.二阶变换:例8:等价定理:如果数列an(an0,n=0,1,2,)满足下列递推关系中的一个,那么,它也满足其余两个递推关系.an+2+pan+1+qan=0;anan+2-an+12=(a0a2-a12)qn;an+12+pan+1an+qan2=(a12-a0a2)qn.解析:由an+2+pan+1+qananan+2-an+12=an(-pan+1-qan)-an+12=-panan+1-qan2-an+12

27、=an+1(-pan-an+1)-qan2=qan+1an-1-qan2=q(an+1an-1-an2)数列anan+2-an+12是以a0a2-a12为首项,公比为q的等比数列anan+2-an+12=(a0a2-a12)qn;:由anan+2-an+12=(a0a2-a12)qnan+1an+3-an+22=(a0a2-a12)qn+1an+1an+3-an+22=q(anan+2-an+12)an+1(an+3+qan+1)=an+2(an+2+qan)=,记=-pan+2+pan+1+qan=0;:由an+2+pan+1+qanan+12+pan+1an+qan2=an+12+(pan

28、+1+qan)an=an+12-anan+2(由)=(a12-a0a2)qn;:由an+12+pan+1an+qan2=(a12-a0a1)qn(qan)2+pan+1(qan)+qan+12+(a0a2-a12)qn+1=0;an+12+pan+1an+qan2=(a12-a0a2)qnan+22+(pan+1)an+2+qan+12+(a0a2-a12)qn+1=0qan,an+2是方程x2+(pan+1)x+(a0a2-a12)qn+1=0的两根qan+an+2=-pan+1an+2+pan+1+qan=0;练习8:1.(2001年第50届保加利亚数学奥林匹克试题)已知数列an满足a0=

29、4,a1=22,且an-6an-1+an-2=0(n2).证明:存在两个正整数数列xn和yn满足an=.2.(2005年奥地利数学奥林匹克试题)设a、b、c是给定的实数,定义sn为它们的n次幂之和:sn=an+bn+cn,其中,n是正整数.已知s1=2,s2=6,s3=14,证明:对任意整数n(n>1),都有|sn2-sn-1sn+1|=8.3.设a1=1,a2=-1,an=-an-1-2an-2(n3).证明:当n2时,2n+1-7an-12是一个完全平方数.4.已知数列a1=a2=a3=1,且an+3=.证明:a2n-1a2n+3-a2n+12=2. (2007年克罗地亚数学奥林匹克

30、试题)非零实数列满足xn2-xn+1xn-1=1(n2).证明:对于n2,为定值.5.(2004年中国国家队测试题)已知数列cn满足:c0=1,c1=0,c2=2005,cn+2=-3cn-4cn-1+2008(n=1,2,).记an=5(cn+2-cn)(502-cn-1-cn-2)+4n×2004×501(n=1,2,).问n>2时,an是否为完全平方数？6.(2010年第十届中国西部数学奥林匹克试题)设k为大于1的整数,数列an定义如下:a0=0,al=1,an+1=kan+an-1(n=1,2,).求所有满足如下条件的k:存在非负整数t、m(tm),及正整数p

31、、q,使得at+kap=am+kaq. 9.转化二阶:例9:(1972年奥地利数学奥林匹克试题)设非零数列an满足a1,a2,都是整数,an+2=,n=1,2,3,其中b是某个给定的整数.求证:数列an的每一项都是整数.解析:由an+2=anan+2-an+12=ban+1an+3-an+22=ban+1an+3-an+22=anan+2-an+12an+1(an+1+an+3)=an+2(an+an+2)=数列是常数数列,且常数=p是整数=pan+2=pan+1-an,由a1,a2都是整数数列an的每一项都是整数.练习9: 8 数列的基本问题 1.(1963年莫斯科数学奥林匹克试题)已知数列

32、an:a1=a2=1,an+2=,证明:an为整数.2.(1991年全苏数学冬令营试题)已知正数列an满足a1=a2=1,a3=249,且an+3=,n=1,2,3,.求证:对于n1,an是整数.3.(2004年德国数学奥林匹克试题)已知数列a1,a2,a3,定义如下:a1=1,a2=1,a3=2,an+3=(an+1an+2+7),n>0,求证:对于所有的正整数n,an是整数.4.(2002年英国数学奥林匹克试题)证明:数列y0=1,yn+1=,nn的各项都是由整数构成. (1985年第26届国际数学奥林匹克(imo)预选题)设a0=1,且对n=0,1,2,有an+1=(k+1)an+

33、k(an+1)+2,其中k是给定的正整数.求证:对于n0,an是整数.5.(2003年中国西部数学奥林匹克试题)已知数列an满足a0=0,an+1=kan+,n=0,1,2,其中k为给定的正整数.证明:数列an的每一项都是整数,且2k|a2n,n=0,1,2,.6.(2011年第14届中国香港数学奥林匹克试题)数列an满足:x1为一正实数;xn+1=xn+2(n=1,2,).证明:在x1,x2,x2011中,至少可以找到670个无理数. 10.递推变换:例10:(2008年第八届中国西部数学奥林匹克试题)实数数列an满足a00,1,a1=1-a0,an+1=1-an(1-an)(n=1,2,)

34、.证明:对任意的正整数n,都有a0a1an(+)=1.解析:由an+1=1-an(1-an)an+1-1=an(an-1)an=a1a2an=(an+1-1)=-(an+1-1)a0a1a2an=1-an+1;又由an+1-1=an(an-1)=-=-+=+(-)+(-)+(-)=+(-)=+(-)=a0a1an(+)=(1-an+1)=1.练习10:1.(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设数列an(n0)满足a1=2,am+n+am-n-m+n=(a2m+a2n),其中m,nn,mn.()证明:对一切nn,有an+2=2an+1-an+2;()证明:+<1.2.(2008年全国

35、高中数学联赛湖北初赛试题)设数列an满足:a1=1,a2=2,=(n1). ()求an+1与an之间的递推关系式an+1=f(an);()证明:63<a2008<78.3.(2003年克罗地亚数学奥林匹克试题)实数数列an满足:am+n+am-n=(a2m+a2n),其中mn0.如果a1=1,求a2003.4.(2004年巴尔干数学奥林匹克试题)对于所有非负整数m和n(mn),数列a0,a1,a2,满足am+n+am-n-m+n-1=(a2m+ 数列的基本问题 9 a2n).若a1=3,求a2004.5.(2004年克罗地亚数学奥林匹克试题)实数数列xn、yn、zn:nn+,定义为

36、:xn+1=,yn+1=,zn+1=,且首项x1=2,y1=4,z1满足x1y1z1=x1+y1+z1.()证明:对所有的nn+,有xn21,yn21,zn21;()有使得xk+yk+zk=0成立的正整数k吗？6.(2009年越南数学奥林匹克试题)已知数列xn满足:x1=,xn=(n=2,3,).若yn=(n=1,2,).证明:数列yn有极限,并求出这个极限. 11.递推分析:例11:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列an满足a1=,an+1=an+(nn*).证明:对一切nn*,有:()an<an+1<1;()an>-.解析:()显然an>0,所以an

37、+1=an+>an;所以,对一切kn*,ak+1=ak+<ak+akak+1,所以-<,所以,当n2时,-<<1+=1+(1-)=2->1+>1an<1.()显然a1=>-;由an<1,知ak+1=ak+<ak+akak>ak+1ak+1=ak+>ak+akak+1=ak+akak+1->.当n2时,->>=1-an>>-.练习11:1.已知数列an满足a1=1,anan+1=n+1(nn*).证明:2(-1).2.(第49届莫斯科数学奥林匹克试题)设a1=1,且an=+,其中n=2,3

38、,10.求证:0<a10-<10-370.3.(第16届莫斯科数学奥林匹克试题)设x0=109,xn=,n=1,2,.求证:0<x36-<10-9.4.(1985年加拿大数学奥林匹克试题)设1<x1<2,令xn+1=1+xn-xn2,n=1,2,3,.求证:|xn-|<2-n,n=3,4,5,.5.(2006年第三十二届俄罗斯数学奥林匹克试题)正数数列xn、yn满足条件:x1、x2、y1、y2都大于1,且对一切正整数n,有xn+2=xn+xn+12,yn+2=yn2+yn+1.证明:存在正整数n,使得xn>yn.6.(1988年瑞典数学奥林匹克试

39、题)数列a1,a2,a3,满足a1=1,an+1=,n=1,2,3,.求证:存在正数,使得2. 12.不等递推:例12:(2004年第一届东南地区数学奥林匹克竞赛试题)()是否存在正整数的无穷数列an,使得对任意的正整数n,都有an+122anan+2;()是否存在正无理数的无穷数列an,使得对任意的正整数n,都有an+122anan+2.解析:由an>0,an+122anan+2()2()n-1an=a1 10 数列的基本问题 a1()n-1()0+1+2+(n-2)=a1()n-1(=;()令a22<2k-2,则an<1,与ak是正整数矛盾,所以,不存在;()令an=()

40、(n-1)(n-2),即满足.练习12:1.(1964年北京市高中数学竞赛试题)设正数列a1,a2,an,满足an2an-an+1,n=1,2,3,.求证:对任意nn+,有an<.2.(1997年第十二届中国数学奥林匹克试题)设非负数列a1,a2,满足条件an+man+am,m,nn+.求证:对任意nm,均有anma1+(-1)am.3.(2005年罗马尼亚数学奥林匹克试题)设数列akk1为一非负整数列,且对任意k1,满足aka2k+a2k+1.()证明:对任意正整数n,可以在数列中找到n个连续的零项;()写出一个满足以上条件,且存在无限个非零项的数列.4.(中等数学.2008年第6期.

41、数学奥林匹克训练题(15)已知数列an:a1=8,a2=10,an+1+an-1<an.求证:2n-1an<4n+4.5.(2010年新加坡数学奥林匹克试题)对于所有的k(k=1,2,n)均有a11,ak+1ak+1.证明:a13+a23+an3(a1+a2+an)2.6.(中等数学.2010年第5期.数学奥林匹克训练题(129)已知数列xn满足x1=a(a>0),且对所有正整数n有:xn+1(n+2)xn-.求证:存在正整数n,使得xn>2010！. 13.凸凹数列:例13:实数列an满足:ak+ak+22ak+1(k=0,1,2,),则称数列an为“凹数列”.证明:

42、凹数列an有如下性质:()性质:对任意m、nn,有an-am(n-m)(am+1-am);对0k<m<n,有;对0m<pq<n,且m+n=p+q,有am+anap+aq;()性质:对0in,有ai(1-)a0+an;对0in,有aimaxa0,an;若数列an的前n项和为sn,则snn(a1+an);()性质:若数列an的子列的下标成等差数列,则该子列也是凹数列;若数列an的前n项和为sn,则数列是凹数列.解析:()(i)当n=m时,不等式显然成立;(ii)当n>m时,令bk=ak+1-ak,由ak+ak+22ak+1ak+2-ak+1ak+1-akbk+1bkb

43、m+k-1bmam+k-am+k-1am+1-aman-am=(an-an-1)+(an-1+an-2)+(am+1-am)(n-m)(am+1-am);(iii)当n<m时,an-am(n-m)(am+1-am)am-an(m-n)(am+1-am)成立.特别地,当m=1时,有ana1+(n-1)(a2-a1); 由知,an-am(n-m)(am+1-am)当n>m时,am+1-am;当m>k时,ak-am(k-m)(am+1-am)am-ak(m-k)(am+1-am)am+1-am; 由知,(注意到:m+n=p+qn-p=q-m,n-q=p-m)an-ap(ap-am)

44、,am 数列的基本问题 11 -aq(aq-an),两式相加得(an-ap)+(am-aq)(ap-am)+(aq-an)(1+)(am+an)-(ap+aq)0(1+>0)am+anap+aq; ()在中,令m=i,k=0得ai(1-)a0+an; 设maxa0,an=m,由ai(1-)a0+an(1-)m+m=maimaxa0,an; 由am(m-k)an+(n-m)ak,令m=i,k=1得:ai(i-1)an+(n-i)a1snan+a1=n(a1+an);()设数列an的子列的下标为等差数列kn,则kn+kn+2=2kk+1+2是凹数列; 由ai+(n-i)an+1(n-i+1)

45、ansn-1+an+1an2sn-1+n(n-1)an+1(n-1)(n+2)an2sn-1+n(n-1)(sn+1-sn)(n-1)(n+2)(sn-sn-1)+2是凹数列.练习13:1.(第18届波兰数学奥林匹克试题)数列ak满足:ak-1+ak+12ak(1kn,n2).证明:若a0=an=0,则a0,a1,an中没有正数.2.(2009年中欧数学奥林匹克试题)设an为严格单调的正整数数列,且对于四元数组(i,j,k,t)(1i<jk<t).若i+t=j+k,则ai+at>aj+ak.求a2009的最小值.3.(1988年第29届国际数学奥林匹克预选题)数列ak,k=1

46、,2,是一非负实数列,满足ak-2ak+1+ak+20及1,k=1,2,.求证:对任意正整数k,有0ak-ak+1<.4.(2009年第九届中国西部数学奥林匹克试题)实数列a1,a2,an(n3)满足a1+a2+an=0,且2akak-1+ak+1(k=2,3,n-1).求最小的(n),使得对所有的k1,2,n,都有|ak|(n)max|a1|,|an|.5.(2010年伊朗数学奥林匹克试题)如果对于每一个i(0<i<1389),均有ai,则称实数列a0,a1,a1389为一个“凹数列”.试求最大的实数c,使得对于每一个非负的凹数列,均有c.6.(2009年全国高中数学联赛湖

47、南预赛试题)如果一个数列an的任意相邻三项ai-1、ai、ai+1满足ai-1ai+1ai2,则称该数列为“对数性凸数列”.设正项数列a0,a1,an是“对数性凸数列”.求证:()()()(). 14.不等分析:例14:(2006年中国数学奥林匹克试题)已知数列an满足条件:a1=,2an-3an-1=,n2.设m为正整数,m2.证明:当nm时,有:(an+m-(<.解析:由2an-3an-1=an=an-1+=+()n-1,令bn=,则b1=,且bn-bn-1=()n-1bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=+()2+()n-1=1-()nan=()n1-()

48、n=()n-;所 12 数列的基本问题 以,(an+m-(<(m-(<(1-)(m-(<m-1; 由均值不等式:(1-)m=(1-)m×1×1××1(mn-m个1)<mn=()mn=n,又由二项式定理:当m2时,(1+)m1+cm1×+cm2()2=-(1-)m<()n1-<(,所以,只须证:(m-(<m-1(m-(<m-1;令t=(0,1),则只须证:t(m-tm-1)<m-1m(t-1)<tm-1m>tm-1+tm-2+t+1,显然成立. 注:数列an:an=(1+)n有如下

49、性质:数列an单调递增:由=<=1+(1+)n<(1+)n+1an<an+1;数列an为有界数列:2an<3:(1+)n=e.练习14:1.(2011年第62届罗马尼亚数学奥林匹克试题)n是正整数,a1,a2,an是实数,对任意1mn,有am+am+1+anm+(m+1)+n.证明:a12+a22+an2n(n+1)(2n+1).2.(中等数学.2012年第8期.数学奥林匹克问题(326)设n为正整数.证明:.3.(2005年摩洛哥数学奥林匹克试题)已知无穷正数数列an满足:存在mr,使得aim(i=1,2,);对任意的正整数i、j(ij),均有|ai-aj|.求证:m

50、1.4.(1992年圣彼得堡数学奥林匹克试题)数列fn定义如下:f1=1,f2=2,且fn+2=fn+1+fn,n=1,2,3,.求证:对于任意正整数n,均有1+.5.(2006年中国数学奥林匹克试题)实数列an满足:a1=,ak+1=-ak+,k=1,2,.证明:-1n()n(-1)(-1)(-1).6.(2004年中国数学奥林匹克试题)给定正整数n(n2),设正整数ay(i=1,2,n)满足a1<a2<<an及1.求证:对任意实数x,有()2. 15.周期数列:例15:(2004年北欧数学奥林匹克试题)设f1=0,f2=1,fn+2=fn+1+fn,n=1,2,.证明:存

51、在一个严格递增的无穷等差数列与数列fn无公共的数.解析:由f1=0,f2=1,fn+2=fn+1+fnf3=1,f4=2,f5=3,f6=5,f7=8,f8=13,f9=21,f10=34,f11=55,f12=89,f13=144,f14=233,f15=377f10(mod8),f21(mod8),f31(mod8),f42(mod8),f53(mod8),f65(mod8),f70(mod8),f85(mod8),f95(mod8),f102(mod8),f117(mod8),f121(mod8),f130(mod8),f141(mod8),f151(mod8),猜测:数列fn(mod8

52、)是以t=12为周期的周期数列. 由fn+2=fn+1+fnfn+3=fn+2+fn+1=(fn+1+fn)+fn+1=2fn+1+fnfn+6=2fn+4+fn+3=2(fn+3+fn+1)+fn+3=3fn+3+2fn+1=3(2fn+1+fn)+2fn+1=8fn+1+3fnfn+12=8fn+7+3fn+6=8(fn+6+fn+5)+3fn+6=11fn+6+8fn+5=11(8fn+1+3fn)+8(fn+4+fn+3)=88fn+1+33fn+8(2fn+3+fn+2)=88fn+1+33fn+16 数列的基本问题 13 (2fn+1+fn)+8(fn+1+fn)=128fn+1+57fn=8(16fn+1+7fn)+fnfn+2fn(mod8). 数列fn(mod8)在一个周期内的值依次为0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,其中没有4,6数列8n+4,8n+6均满足. 练习15:1.(2007年第57届拉脱维亚数学奥林匹克试题)已知实数数列an满足:a1=4,a2=2,a3=1,且对任意的正整数n,有=.求证:()数列中所有项均不等于零;()该数列是一个周期数列;()对任意的正整数k,a1k+a2k+a100k是一个完全平方数.2.已知实