复合函数微分不定积分定积分复合积分精选干货

1、复合函数微分不定积分定积分复合积分2020-12-242推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 2020-12-243例例4 4.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx2020-12-2442020-12-245例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0(1ln xxxxln是是x1在在区区间间), 0(内内的的原原函函数数.一、原函数与不定积分的概念例例微分运算与求不定积分的运算是微分运算与

2、求不定积分的运算是的的.2020-12-246任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在区间在区间i内，内，cxfdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常常数数项项的的原原函函数数称为称为)(xf在区间在区间i内的内的不不定定积积分分，记记为为 dxxf)(. .2020-12-247例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-248实例实例 xx 11.11cxdxx 启示

3、启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、 基本积分表2020-12-249基基本本积积分分表表 kckxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx0 x2020-12-2410 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)

4、9( xdx2csc;cotcx 2020-12-2411 xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 2020-12-2412例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根据积分公式（根据积分公式（2）cxdxx 11 2020-12-2413 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf三、 不定积分的性质 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是

5、常常数数，)0 k2020-12-24142020-12-2415问题问题 xdx2cos,2sincx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21ct sin21.2sin21cx 一、第一类换元法2020-12-2416例例1 1 求求.2sin xdx解（一）解（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21cx 解（二）解（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2cx 解（三）解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(cos

6、cos2xxd .cos2cx 2020-12-2417例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121cu ln21.)23ln(21cx 2020-12-2418例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecctt )tanln(sectax22ax .ln22caaxax 2,2t2020-12-2419例例1717 求求解解.12dxx令令txsintdtdxcos 2,2tdxx21tdtt cossin12t

7、dt2cos2/)2cos1 (dtt4/2sin2/ttt1x21x2020-12-2420基基本本积积分分表表;coslntan)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx;arctan11)20(22caxadxxa 2020-12-2421;ln211)22(22cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22caxdxxa .)ln(1)24(2222caxxdxax ;ln211)21(22caxaxadxax 2020-12-2422定积分定积分2020-12-2423abxyo? a曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy 2020-12-2424abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩