北京高考理科数学试题及答案

1、绝密启封前 机密使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则 （a）（b）（c） （d）（2）在复平面内，复数对应的点位于（a）第一象限（b）第二象限（c）第三象限 （d）第四象限（3）“”是“曲线过坐标原点”的（a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件开始i=

2、0，s=1 i=i+1i2是输出s结束否（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（a）1（b）（c）（d）（5）函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲 线关于y轴对称，则（a）（b）（c）（d）（6）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（a）（b）（c）（d）（7）直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直，则l与c 所围成的图形的面积等于（a）（b）2（c） （d）（8）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足 ，求得m的取值范围是（a）（b）（c） （d）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在极坐标系中，点到直线的距离等于_（10）若等比

3、数列满足，则公比_；前n项和_abc（11）如图，ab为圆o的直径，pa为圆o的切线，pb与圆o相交于d若，则_；_abcdpea1b1c1d1（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_（13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若c=a+b（，r），则_（14）如图，在棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1中，e为bc的中点，点p在线段d1e上点p到直线cc1的距离的最小值为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出相应的文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分） 在abc中，（）

4、求的值；（）求c的值（16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（）求此人到达当日空气重度污染的概率；（）设x是此人停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列与数学期望；（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，（）求证：平面；（）求证二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求 的值（18）（本小题共13分） 设l

5、为曲线在点处的切线（）求l的方程；（）证明：除切点之外，曲线c在直线l的下方（19）（本小题共14分） 已知a，b，c是椭圆上的三个点，o是坐标原点（）当点b是w的右顶点，且四边形oabc为菱形时，求此菱形的面积；（）当点b不是w的顶点时，判断四边形oabc是否可能为菱形，并说明理由（20）（本小题共13分）已知是由非负整数组成的无穷数列设数列前n项的最大值为，第n项之后各项，的最小值记为，（）若为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列（即对任意nn*，）， 写出、的值；（）设d是非负整数证明：的充分必要条件是是公差为d的 等差数列；（）证明：若，则的项只能是1或者2，且有无穷多

6、项 为1数学试题（北京卷） 第4页 共4页绝密考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）b（2）d（3）a（4）c （5）d（6）b（7）c（8）c二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1（10）2 （11） 4（12）96 （13）4（14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（）因为，所以在abc中由正弦定理得所以故 （）由（）知，所以又因为，所以所以在abc中 所以 （16）（共13分） 解：设ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，13） 根据题意，

7、且 （）设b为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 所以 （）由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，且 所以x的分布列为：x012p故x的期望 （）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 （17）（共14分） 解：（）因为，所以xzy因为，且aa1垂直于这两个平面的交线ac，所以平面 （）由（）知， 由题知ab=3，bc=5，ac=4，所以d如图，以a为原点建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即令z=3，则x=0，y=4，所以同理可得平面的法向量为所以由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 （）设点d是直线bc1上一点，且所以解得所以由，即，解得因为，所以在线段bc1上存在

8、点d，使得此时 （18）（共13分） 解：（）设，则所以所以l的方程为 （）令，则除切点之外，曲线c在直线l的下方等价于满足，且当0x1时，所以故单调递减；当x1时，所以故单调递减所以所以除切点之外，曲线c在直线l的下方 （19）（共14分） 解：（）椭圆的右顶点b的坐标为（2，0）因为四边形oabc为菱形，所以ac与ob相互垂直平分所以可设a（1，m），代入椭圆方程得，即所以菱形oabc的面积是 （）假设四边形oabc为菱形因为点b不是w的顶点，且直线ac不过原点，所以可设ac的方程为由消去y并整理得设，则所以ac的中点为因为m为ac和ob的交点，所以直线ob的斜率为因为，所以ac与ob不垂直所以oabc不是菱形，与假设矛盾所以当点b不是w的顶点时，判断四边形oabc不可能是菱形 （20）（共13分） 解：（）， （）（充分性）因为是公差为d的等差数列，且d0，所以因此， （必要性）因为，所以又因为，所以于是，因此，即是公差为d的等差数列 （）因为，所以，故对任意n1，anb1=1假设不存在大