2021-2021学年吉林省吉林市吉化一中高一上学期第二次月考数学试题

1、2021-2021 学年吉林省吉林市吉化一中高一上学期其次次月考数学试题一、单项题1以下说法中正确选项（）A 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D 圆锥侧面绽开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径【答案】 C【解析】 依据圆柱、圆锥、圆台的相关概念对各选项中命题的真假进行判定.【详解】对于 A 选项，以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋转体是由两个底面相同的圆锥拼接而成的几何体，A 选项错误；对于 B 选项， 以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，

2、以斜腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，B 选项错误；对于 C 选项，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，C 选项正确；对于 D 选项，圆锥侧面绽开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，大于底面圆的半径，D 选项错误 .应选： C.【点睛】此题考查圆柱、圆锥、圆台的结构特点，熟识这三种几何体的形成过程与相关概念是判定的关键，考查推理才能，属于基础题.2如球的体积与表面积相等，就球的半径是（）A 1B 2C 3D 4【答案】 C【解析】 设球的半径为R ，利用球体的体积和表面积公式建立关于R 的方程，解出即可 .【详解】432设球的半径为R ，由题意可得R3应选： C.4R ，解得 R3.【点睛

3、】此题考查球体半径的运算，运算求解才能，属于基础题利用球体的表面积和体积公式建立方程是解题的关键，.考查3设长方体的长、宽、高分别为2 a, a, a ，其顶点都在一个球面上，就该球的表面积为A 3a2B 6a2C 12a2D 24a2【答案】 B【解析】【详解】方体的长、宽、高分别为2 a, a, a ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以球直径为：6a ，所以球的半径为62a ，所以球的表面积是426 a6a22，应选 B4用长为 4、宽为 2 的矩形做侧面围成一个高为2 的圆柱，此圆柱的轴截面面积为842A 8BCD 【答案】 B【解析】 依据底面周长为4 运算

4、出底面直径，求出轴截面面积【详解】解：由于用长为4、宽为 2 的矩形做侧面围成一个高为2 的圆柱所以底面圆的周长为4可得底面直径为2r4所以此圆柱的轴截面矩形的面积为S2 rh8应选： B【点睛】此题给出矩形做成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面面积，着重考查了圆柱侧面绽开图，圆的周长公式和矩形的面积公式，属于基础题 5一个几何体的三视图如下列图，就几何体的体积是4A 2B3【答案】 C2CD 13【解析】 由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2 ，底面是直角边长分别为1，2 的直角三角形，代入体积公式运算可得答案【详解】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2 ，底面是直角边长分别为1，

5、2 的直角三角形， 三棱柱的体积V111222 323应选： C【点睛】此题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判定几何体的外形及数据所对应的几何量6已知 a，b，c 是三条不同的直线，是两个不同的平面，就以下条件中能得出直线 a平面的是（）A ac，ab ，其中 b，cB ab，bC ， aD ab，b【答案】 D【解析】 对四个选项逐一分析，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】A 中缺少条件 “b 与 c 相交 ”； B 中，当 b, ab 时， a 与可能平行，可能相交，也可能 a； C 中， a 与可能平行，可能相交，也可能a.对于 D 选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平

6、面，就另一条也垂直这个平面，D 选项正确 .应选 D.【点睛】本小题主要考查线面垂直的判定定理，考查线面垂直的充分条件，属于基础题.7一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如下列图的绽开图，就在原正方体中A BCD 【答案】 C【解析】 第一仍原几何体，然后考查所给的几何关系是否成立刻可.【详解】原正方体如图，由图可得CD GH ， C 正确AB 与 CD 相交， A 错误；AB 与平面 CD相交， B 错误；AB 与 GH 是异面直线， D 错误 .此题挑选C 选项 .【点睛】此题主要考查正方体的绽开面与仍原，正方体中元素的位置关系等学问，意在考查同学的转化才能和空间想象才能.8我国古代数学名著

7、数书九章中有“天池盆测雨 ”题，大致意思如下：在下雨时， 用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2 尺 8 寸，盆底直径为l 尺 2 寸，盆深 1 尺 8 寸.如盆中积水深9 寸，就平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；1 尺等于 10 寸）（）A 3 寸B 4 寸C 5 寸D 6 寸【答案】 A【解析】 作出圆台的轴截面，依据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，依据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如下列图：由题意知，BF14 寸， OC6 寸， OF18 寸， OG9 寸即 G 是 OF 的中点GE 为梯形 OCBF 的

8、中位线即积水的上底面半径为10寸1GE142610寸盆中积水的体积为3100361069588（立方寸）又盆口的面积为14 2196（平方寸）平均降雨量是5883 寸，即平均降雨量是3 寸196此题正确选项：A【点睛】此题考查圆台体积的有关运算，关键是能够依据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用.9已知 ABCD 是直角梯形，AD /BC ， ABBC ， 且 AD2 ，BC4 ，AB2 按照斜二测画法作出它的直观图A B C D ，就直观图A B C D 的面积为（）A 3B 22C 32D 3242【答案】 D【解析】 运算出直角梯形ABCD 的面积 S ，就其直观图的

9、面积为24S ，即可得出直观图 A B C D 的面积 .【详解】如下图所示：由于 AD /BC ， ABBC ，且 AD2 ， BC4 ， AB2 ，就梯形 ABCD 的面积为 SADBCAB2426 ，22因此，直观图A B C D 的面积为 S2 S2632 .442应选： D.【点睛】此题考查直观图面积的运算，熟识多边形面积与其直观图面积的等量关系是解题的关键，考查运算才能，属于基础题.10两直角边分别为1,3 的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是 A 332B 3C 9234D 323【答案】 A【解析】 由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，依据

10、圆锥的侧面积SRL 运算公式可得【详解】由题得直角三角形的斜边为2，就斜边上的高为13 =3 .22由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中R3 ，2S31+333+3222应选： A 【点睛】此题考查旋转体的定义，圆锥的表面积的运算，属于基础题.11在正四周体PABC 中， D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（）A BC/ 面 PDFB DF面 PAEC 面 PDF面 ABCD面 PAE面 ABC【答案】 C【解析】 作出图形，利用线面平行、线面垂直以及面面垂直的判定定理对各选项中命题的正误进行判定.【详解】如下图所示：对于 A

11、 选项，Q D 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点，BC/DF ，Q BC平面 PDF ， DF平 面 PDF ，BC/ 平面 PDF ，A 选项正确；对于 B 选项，QABC是等边三角形，E 为 BC 的中点，AEBC ，同理 PEBC ，Q AE IPEE ，BC平面 PAE ，Q DF / BC ， DF平面 PAE ， B 选项正确；对于 C 选项，设DF IAEG ，连接 PG ，假设面 PDF面 ABC 成立，Q D 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点，DF / BC ，且 DF IAEG ，就 G 为 AE 的中点，由 B 选项知，DF平面 PAE，Q PG平面 PAE

12、，PGDF ，如面 PDF面 ABC ，由于面 PDF I 面 ABCDF ， PG平面 PDF ，PG平面 ABC ，过点 P 作 PO平面 ABC ，垂足为点O ，就 O 为等边ABC 的中心，2就 AOAEAG ，冲突，所以，面PDF面 ABC 不成立， C 选项错误；3对于 D 选项，由 B 选项知， BC 平面 PAE ，Q BC面 ABC ，D 选项正确 .应选： C.【点睛】平面 ABC ，平面 PAE平此题考查线面平行与垂直、面面垂直的判定，要充分利用相关的判定定理来判定，考查推理才能，属于中等题.12设 a ， m ， n 是三条不同的直线，是两个不重合的平面，给定以下命题：

13、mn / /nmam, an；m, nma；/ /；mm nm / / n ； a a/ /； m / /nmn .其中为真命题的个数为（）A 1B 2C 3D 4【答案】 B【解析】 依据课本的判定定理以及推论，和特别的例子，可判定正误.【详解】m对于 nmn / /，错误， n 可以在平面内；对于 ，是错误的，依据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直；对于 依据课本推论知其结果正确； 直线 m 和 n 可以是异面的成任意夹角的两条直线；对于 依据课本线面垂直的判定定理得到其正确；对于是错误的，当直线m 与直线n,和平面平行并且和平面垂直，此时两条直

14、线相互平行.故答案为B【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，面面垂直，线面垂直的判定等，对于这种题目的判定一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判定仍可以画出样图进行判定，利用常见的立体图形，将点线面放入特别图形，进行直观判定二、填空题13在空间内，假如两条直线a 和 b 没有公共点，那么a 与 b 的位置关系是 .【答案】 平行或异面【解析】 由空间两直线的位置关系可得，没公共点的两直线可能平行或异面；答案：平行或异面14如图，在正方体ABCD A 1B 1C1 D1 中， P 为 BD 1 的中点，就 PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（）【答案】 【解析】 试题分析：由所给的

15、正方体知， PAC 在该正方体上下面上的射影是 ， PAC 在该正方体左右面上的射影是 ， PAC 在该正方体前后面上的射影是【考点】 直角三角形的射影定理15已知各个顶点都在同一个球面上的正三棱柱的棱长为2 ，就这个球的表面积为 .【答案】283【解析】 设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为r ，利用重心的性质求出r 的值，然后利用公式Rr 22h（ h 为正三棱柱的高） ，运算出球的半径R ，最终利用球体的2表面积公式可运算出该正三棱柱外接球的表面积.【详解】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为r ，正三棱柱底面三角形的高为3 ，由题意可得r23 ，3由于该正三棱柱的高为h2 ，所以，外接球的

16、半径2Rr 2h7 ，232728因此，该球的表面积为4R4.3328故答案为：.3【点睛】此题考查球体表面积的运算，同时也考查了正三棱柱的外接球问题，挑选合适的模型运算出外接球的半径是解题的关键，考查运算才能，属于中等题.16一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.【答案】 3:1: 223【解析】【详解】设球的半径为r,就 V圆柱r2r2r,12r 3Vr2 r2，圆锥3343V球r，3所以 V: V: V2r 3 : 23r: 4r 33:1: 2 ，圆柱圆锥球33故答案为 3:1: 2 .【考点】 圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆

17、柱，圆锥，球的体积公式分别为V圆柱2r h,V圆锥1243rh,V球r.33三、解答题17如下列图，在正方体ABCDA1B1C1D1 中， E 、 F 分别为DD1 和 DB 的中点（ 1）求证：EF / 平面ABC1D1 ；（ 2）求直线EF 与面ADD 1A1 所成的角的余弦值【答案】（ 1）证明见解析； （ 2）6 .3【解析】（ 1）连接BD1 ，利用中位线的性质证明出EF /BD1 ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出EF / 平面ABC1D1 ；（ 2）设正方体的棱长为2 ，取 AD 的中点 M ，连接 FM ，证明出 FM平面 ADD1 A1 ，可得出直线EF 与平面 AD

18、D1 A1 所成的角为MEF ，然后运算出MEF 的三边边长，然后利用锐角三角函数的定义可求出cosMEF ，即为直线 EF 与面 ADD1 A1 所成的角的余弦值【详解】（ 1）如下图所示，连接BD1 ，Q E 、 F 分别为DD 1 和 DB 的中点，EF / BD1 ，Q EF平面 ABC1D1 ， BD1平面 ABC1D1 ，EF / 平面ABC1D1 ；（ 2）如下图所示，设正方体的棱长为2 ，取 AD 的中点 M ，连接 FM ，Q M 、 F 分别为 AD 、 BD 的中点，就FM /AB ，且 FM1 AB1 ，2在正方体ABCDA1B1C1D1 中， AB平面ADD1 A1

19、，FM平面ADD1A1 ，直线 EF 与平面ADD1 A1 所成的角为MEF ，由勾股定理得EMDE 2DM 22 ，Q FM平面 ADD1 A1 ， EM平面ADD1 A1 ，FMEM ，2EFEM在 RtMEF 中，FMcos3 ，2MEFEM26 .EF33因此，直线EF 与面ADD1 A1 所成的角的余弦值为6 .3【点睛】此题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的运算，在运算直线与平面所成角时，要遵循“一作、二证、三运算”的原就来求解，考查推理论证才能与计 算才能，属于中等题.18如下列图， 在四棱锥P ABCD 中， 底面 ABCD是矩形， 侧棱 PA 垂直于底面

20、， E、 F 分别是 AB 、PC 的中点， PA AD 求证： 1CD PD ； 2EF 平面 PCD 【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 .【解析】 试题分析： 1证明线线垂直时，要留意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线相互垂直、 直角三角形等等；2证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法 （如两条平行线中的一条垂直于这个平面，就另一条也垂直于这个平面.解题时，留意线线、线面与面面关系的相互转化.试题解析： 1 PA 底面 ABCD ，平面 ABCD CD PA.

21、又矩形 ABCD 中， CD AD ， ADPA A，平面 PAD，平面 PAD CD 平面 PAD，平面 PAD CD PD.2 取 PD 的中点 G，连结 AG ， FG.又G、F 分别是 PD 、PC 的中点， EN / 1 CD2 GF/ / AE 四边形 AEFG 是平行四边形， AG EF. PA AD ， G 是 PD 的中点， AG PD ， EF PD， CD 平面 PAD， AG . 平面 PAD. CD AG.EF CD. PDCD D，平面 PCD， CD平面 PCD EF 平面 PCD.【考点】 线线、线面与面面关系的相互转化、线面垂直19已知正方体ABCDA1B1C

22、1 D1 的棱长为 a ，点 E 、 F 、 G 分别为棱 AB 、AA1 、C1 D1 的中点 .（ 1）求四周体ACB1 D1 的体积；（ 2）求二面角D1ACD 平面角的正切值.【答案】（ 1） 1 a3 ；（ 2）2 .3【解析】（ 1）将正方体ABCDA1 B1C1D1 的体积减去三棱锥AA1B1D1 、 B1ABC 、CB1C1 D1 、 D1ACD 的体积之和即可得出四周体ACB1D1 的体积；（ 2）连接 BD ，交 AC 于点 O ，连接D1O ，证明出 AC平面DD 1O ，可得出二面角D1ACD 的平面角为DOD 1 ，然后运算出DOD 1 的三边长，利用锐角三角函数的定

23、义即可运算出tanDOD1 ，即为所求 .【详解】（ 1）正方体ABCDA B C D 的体积为3 ，1111a在正方体ABCDA1B1C1D1 中，AA1平面 A1B1C1 D1 ，1112131 1 1就三棱锥AA1B1D1 的体积为V A A B DS A1 B1D13AA1aaa，3263所以，四周体ACB1D1 的体积为 a41 a31 a3 ；63（ 2）如下图所示，连接BD ，交 AC 于点 O ，连接D1O ，Q DD1平面 ABCD ， AC平面 ABCD ，ACDD1 ，Q 四边形 ABCD 为正方形，就ACBD ，即 ACDO ，Q DD1 IDOD，AC平面DD1O ，

24、 Q D1O平面 DD1O ，ACD1O .二面角 D1ACD 的平面角为DOD 1 ，在 RtDD O 中，DDa ，12，所以，tanDODDD12 .11DOBDa122DO因此，二面角D1ACD 平面角的正切值为2 .【点睛】此题考查三棱锥体积的运算，同时也考查了二面角的运算，运算三棱锥体积，常用的方法有：等体积法、间接法、割补法，可以结合三棱锥的结构挑选合适的方法进行运算，考查运算才能，属于中等题 .20一个圆锥底面半径为 R ，高为 3R ，（ 1）求圆锥的表面积 .（ 2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值【答案】（ 1） 3R2 ；（ 2）661 R2.5【解析】（ 1）运算出

25、圆锥的母线长，然后利用圆锥的表面积公式运算即可；（ 2）设正四棱柱的底面对角线的一半为x ，依据轴截面上的两个三角形相像，列出比例式求出四棱柱的高，依据正四棱柱的表面积公式得出其表面积的表达式，然后利用二次函数的基本性质得出该正四棱柱表面积的最大值.【详解】（ 1）由题意可知，圆锥的母线长为2lR23R2R，所以，该圆锥的表面积为SR Rl3R2 ；（ 2）如下图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x ，QPBC :PAO ，BCPCx，即AOPOR3ROC3R，解得 OC3 Rx ，正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为2 x ，底面积为2 x2 ，所以， 四棱柱的底面积为S22 x24 2

26、 x3 Rx446x24 6Rx ，由二次函数的基本性质可知，当x46R6R时，861261正四棱柱的表面积S 有最大值，即Smax661 R2.5【点睛】90此题考查圆锥的表面积的运算，同时也考查了圆锥的内接正四棱柱表面积的运算，一般要利用轴截面并结合相像三角形来运算，考查运算求解才能，属于中等题.21如图，在直角梯形ABCD 中，AD /BC ， ADAB ，Ao ， BDDC ，将ABD 沿 BD 折起到EBD 的位置，使平面EBD平面 BDC （ 1）求证：平面EBD平面 EDC ；（ 2）求 ED 与 BC 所成的角【答案】（ 1）证明见解析； （ 2） 60o .【解析】（ 1）证

27、明出 CD平面 EBD ，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面EBD平面 EDC ；（ 2）连接 AE ，取 BD 的中点 M ，连接 AM、EM ，说明ADE 为异面直线ED 与 BC所成的角，运算出ADE 的三边边长关系，可得出ADC 的大小 .【详解】（ 1）Q 平面 EBD平面 BDC ，平面 EBD I 平面 BDCBD ， CDBD ，CD平面 BDC ，CD 平 面 EBD .Q CD平面 EDC ，平面 EBD平面 EDC ；（ 2）如下图所示，连接AE ，取 BD 的中点 M ，连接 AM、 EM ，Q AD /BC ，ADE 为异面直线ED 与 BC 所成的角，又 Q

28、ADAB ，DEBE ， Q M为 BD 的中点，就EMBD ，Q 平面 EBD平面 BDC ，平面 EBD I 平面 BDCBD ， EM平 面 EBD ，EM平面 ABCD ， Q AM平面 ABCD ，EMAM .设 AB = a，就 ADDEa ，AMEM2 a ，2AEAM 2EM 2a .ADE 是等边三角形，就ADE60o .因此，求ED 与 BC 所成的角为 60o .【点睛】此题考查平面与平面垂直的证明，同时也考查异面直线所成角的运算，在运算异面直线所成角时， 要遵循 “一作、二证、 三运算 ”的原就来求解， 考查推理论证才能与运算才能， 属于中等题 .22如图，四棱锥 P-

29、ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA底面 ABCD ，AC= 22 ,PA=2 ， E 是 PC 上的一点， PE=2EC ；PEABDC1. 证明 PC平面 BED ；2. 设二面角A-PB-C为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小【答案】300【解析】 本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用；从题中的线面垂直以及边长和特别的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解；解法一：由于底面ABCD 为菱形，所以BDAC, 又PAABCD,PCBD L L2分设ACBDF, 连接 EF，由于 AC=22， PA2， PE2EC,故PC23, EC23 , FC2, 从而 PC6AC6EC3FCQ ACPC ,FCEPCA, 所以ECFCFECPAC900FCE :PCA由此知 PCEFPC与平面BED 内两条相交直线BD, EF都垂直，所以PC平面BED L L6分（2）在平面 PAB内过点 A作AGPB,G为垂