特征根法求数列的递推公式

1、专题 求递推数列通项的特征根法一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例1 已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 二、形如的数列 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。 这样数列是首项为，公差为的等差

2、数列，于是这样可求得例3已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例4已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用 高三数学组 徐朝生以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都比较大， 09年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，题目相对简单，但在全国其它省市中（如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西等）经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通

3、项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：（08年广东高考）设p、q为实数，、是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1）2）求数列xn的通项公式。3）若，求数列xn的前n项的和sn(09年江西高考)各项均为正数的数列 中，1）当。像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一特征根法

4、的运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、递推公式为（其中p，q均为非零常数）。先把原递推公式转化为，其中满足，显然是方程的两个非零根。1） 如果，则，成等比，很容易求通项公式。2） 如果，则成等比。公比为， 所以，转化成： ，( i )又如果，则等差，公差为，所以，即： 可以整理成通式： ii)如果，则令，,就有，利用待定系数法可以求出的通项公式所以，化简整理得： ，小结特征根法：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入，得到关于a、b的方程组）；当时，数列的通项为，其中a，b由决定（即把和，代入，得到关于a

5、、b的方程组）。简例应用（特征根法）：数列：， 的特征方程是：,。又由，于是故 下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用：设p、q为实数，、是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5) 1）2）求数列xn的通项公式。3）若，求数列xn的前n项的和sn解：2）显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5)的特征根方程就是x2-px+q=0，而、是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设：1 当=时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得2 当时，设，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得，+3

6、），时，由第2）小题的项可以直接得到 ，可以用错位相减法求和顺利拿下第3）小题。本题是08年广东高考真题，开始前两问均以字母的形式出现，给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过特征根法，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情，或对特征根法有一定的了解，也许是多花点时间的问题，至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答：类型二、 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,如果则；如果则是

7、等差数列。当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。（证明方法如同类型一，从略）例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 解: 数列的特征方程为变形得其根为故特征方程有两个相异的根，则有 即例：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在， 当4，时，.(3) 令则对于(4)、显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且2.当（其中且n2）时，数列从第项开始便不存在。于是知：当在集合或且2上取值时，无穷数列都不存在。变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列记（）求b1、b2、b3、b4的值；（）求数列的通项公式及数列的前n项和解：由已知,得,其特征方程为解之得,或, 下面再欣赏用特征根法解决09年江西高考真题各项均为正数的数列 中，1）当解：由得化间得，作特征方程，。所以，故形如型方法：不动点法:我们设,由方程求得二根x,y,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.例1.