高中数学椭圆点差法教资材料

1、点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于m、n两点，点是弦mn的中点，弦mn所在的直线的斜率为，则. 证明：设m、n两点的坐标分别为、，则有，得又同理可证，在椭圆（0）中，若直线与椭圆相交于m、n两点，点是弦mn的中点，弦mn所在的直线的斜率为，则.典题妙解例1 （04辽宁）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点a、b，o为坐标原点，点p满足，点n的坐标为.当绕点m旋转时，求：（1）动点p的轨迹方程；（2）的最大值和最小值.解：（1）设动点p的坐标为.由平行四边形法则可知：点p是弦ab的中点 .焦点在y上， 假设直线的斜率存在.由得：整理，得：当直线的斜率不存在时

2、，弦ab的中点p为坐标原点，也满足方程。所求的轨迹方程为（2）配方，得：当时，；当时，例2 （07年海南、宁夏）在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点p和q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为a、b，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线的方程为由得：直线与椭圆有两个不同的交点，0.解之得：或.的取值范围是.（2）在椭圆中，焦点在轴上，设弦pq的中点为，则由平行四边形法则可知：与共线，与共线.，从而由得：，由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.例3（09年四川）已知

3、椭圆（0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.() 求椭圆的标准方程；() 过点的直线与该椭圆相交于m、n两点，且，求直线的方程.解：（）根据题意，得.所求的椭圆方程为.（）椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦mn的中点为.由平行四边形法则知：.由得：.若直线的斜率不存在，则轴，这时点p与重合，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.由得： 代入，得整理，得：.解之得：，或.由可知，不合题意.，从而.所求的直线方程为，或.例4 (09全国)已知椭圆（0）的离心率为，过右焦点f的直线与c相交于a、b两点. 当的斜率为1时，坐标原点o到的距离为.（1）求的值；（2）c上是否存在点p，使得当绕f转

4、到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点p的坐标与的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为，直线的斜率为1时，则其方程为，即. 原点o到的距离：，.又，. 从而.， .（2）椭圆的方程为. 设弦ab的中点为. 由可知，点q是线段op的中点，点p的坐标为.若直线的斜率不存在，则轴，这时点q与重合，点p不在椭圆上，故直线的斜率存在.由得：.由和解得：.当时，点p的坐标为，直线的方程为；当时，点p的坐标为，直线的方程为.金指点睛1. 已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） a. b. c. d. 2.（06江西）椭圆（0）的右焦点为，过点f的一动直线m绕点f转动，并且交椭圆于a、b两点，

5、p为线段ab的中点.（1）求点p的轨迹h的方程；（2）略.3（05上海）（1）求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆c的方程为（0）.设斜率为的直线，交椭圆c于a、b两点，ab的中点为m. 证明：当直线平行移动时，动点m在一条过原点的定直线上；（3）略.4. (05湖北)设a、b是椭圆上的两点，点是线段ab的中点，线段ab的垂直平分线与椭圆相交于c、d两点.（1）确定的取值范围，并求直线ab的方程；（2）略.5. 椭圆c的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为其中一条准线.（1）求椭圆c的方程；（2）设直线与椭圆c相交于a、b两点，使a、b两点关于直线对称，求的值.

6、参考答案1. 解：由得，.弦mn的中点，由得，直线mn的方程为.即. 由得：.设，则.故答案选c.2. 解：（1）设点p的坐标为，由得：，整理，得：.点p的轨迹h的方程为.3解：（1）右焦点坐标是，左焦点坐标是. .由椭圆的第一定义知，. . 所求椭圆的标准方程为. （2）设点m的坐标为，由得：，整理得：.a、b、k为定值，当直线平行移动时，动点m在一条过原点的定直线上.4. 解：（1）点在椭圆内，即12.的取值范围是.由得，焦点在y轴上.若直线ab的斜率不存在，则直线ab轴，根据椭圆的对称性，线段ab的中点n在x轴上，不合题意，故直线ab的斜率存在.由得：，.所求直线ab的方程为，即.从而线段ab的垂直平分线cd的方程为，即.5. 解：（1）在双曲线中，焦点为.在抛物线中，准线为.在椭圆中，. 从而所求椭圆c的方程为.（