线性回归中的相关系数

1、线性回归中的相关系数山东 胡大波线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时， 应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程， 判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法下面为同学们介绍相关系数法.一、关于相关系数法统计中常用相关系数 r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当X不全为零，yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：nZ(X x)(yi -y)i 1n送 Xyi nxy i -1r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）. 说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量

2、x,y正相关；当r为负数时，表示两个变量x, y负相关；（2）另外注意r的大小，如果r 0.751 1,那么正相关很强；如果 r 1, -0.75 ,那么负相关很强；如果r " 0.75, -0.30 或r ：= 0.30,0.75 ,那么相关性一般；如果1-0.25,0.25 1,那么相关性较弱.下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线.二、典型例题剖析例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下:父亲身高（X ）60626465666768707274儿子 身高（y）63.565.26665.566.967.167.468.37

3、0.170（1）对变量y与x进行相关性检验；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；（3）如果父亲的身高为 73英寸，估计儿子身高._ _ 10 10 _ 22 解：（1） x =66.8 , y =67 , ' x =44794 , ' y. =44929.22 , xy =4475.6 , x =4462.24 ,_22°y =4489,Xi% =44836.4 ,i ±、Xiyi _nxy所以r二-x- - nx44836.4-10 4475.6(44794 -44622.4)(44929.22 -44890)80.46730.15280

4、.482.04<-0.98 ,所以y与x之间具有线性相关关系.(2)设回归直线方程为 y =a bx，则b10' x-y- -10xyi 4彳0 2 2、x- -10x-144836.4 -4475644794 -44622.4:-0.4685，a 二 y - bx =67 -0.4685 66.8 =35.7042 .故所求的回归直线方程为y =0.4685x - 35.7042 .(3) 当 x =73英寸时，y =0.4685 73 35.7042 =69.9047 ,所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸.点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描

5、述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、 预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这是此类问题常见题型.例210名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.(1) y与x是否具有相关关系；(2) 如果y与x是相关关系，求回归直线方程.解：(1)由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得10 10 _ _ 10瓦 x-=710，瓦 y- =723 , x=71, y=72.3，送 x-y-=51467 .-=1- =1i=110 102 2 ' x- =505

6、20 , 、' y- =52541 .10i 1-=1- =1x- y- -10xy51467 -71 72.3 10.(50520 _10 712)(52541 -10 72.32)0.78 由于r ： 0.78，由0.78 0.75知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系.(2) y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为y二a bx ,贝U10为 x y 10xyi 1b = 10 2 、x2 -10xi a51467 -10 71 72.350520 10 7121.22 ,a =y -bx =72.3 -1.22 71 - -14.32 .所以y关于x的回归直线方程为 y =1.22x -14.32 .点评：通过以上两例可以