光伏电池的选购问题论文

1、.一、（必做题）（背景）人口问题一直是我们非常关心的问题，研究人口发展的规律，控制人口的过度增长是我们的国策。一般认为，当人口数量不大，资源丰富的情况下，人口近似服从马尔萨斯指数增长模型，其中为初始时刻的人口数，常数为人口增长率。但是人类社会进入20世纪以后，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长，有限的地球资源开始承载着巨大的压力，急剧变化的环境质量开始制约人口的增长。可以认为从这个时期开始，人口增长率不再是常数，而是关于时间的一次减函数。按这样的规律发展，人口最终将达到峰值，然后将会开始缓慢减少。（问题）我国是世界第一人口大国，资料表明1994年我国人口数为12亿，并

2、有专家预测到2044年我国人口数将达到峰值15.6亿，问1995年，2000年，2054年，2094年我国人口数约为多少人？解：设，由题目中的马尔萨斯模型则有：由于题目中已经说明1994年人口为12亿，2044年人口达到峰值15.6亿，我们不妨令就为1994，则2044为当人口最大时，人口增长率为0，即：，：而对求解可以得到：代入，则c=12（单位：亿），再a、b关系及t=50时，（单位：亿），解得b=0.0105,a=-0.0002099,则当把依次代入上式可得（单位：亿）：1995年，；2000年，；2054年，；2094年，；二、（选做题）光伏电池的选购问题摘要本文以能够得到的发电功率最

3、大为目标，通过建立一般整数规划模型和约束条件下的整数规划模型，以及0-1规划模型，对在30平方米的屋顶用不超过6万5千元的钱购买要安装太阳能电池进行了优化设计，比并在综合考虑了多个因素的前提下设计出了一个可以得到最大发电功率的购买方案。在求解的时候我利用分类逐一求解功率，再进行综合比较的方法对模型进行求解。问题一要求我们在30平方米的屋顶用不超过6万5千元的钱购买要安装太阳能电池，对于这个问题我直接建立整数规划模型，通过lingo编程求解得到当只能够从a或者b中购买一类时可以获得的最大发电功率为4900瓦，需要购买b1型号的电池4块，b2型号的电池12块。当可以从a、b两类电池中同时购买时可以

4、获得的最大发电功率为4945瓦，此时需要购买a1型号的单晶硅电池4块，a2型号的单晶硅电池1块，b2型号的多晶硅电池11块,b4型号的1块。问题二要求所购买的电池的开路电压之差不超过2v，对这样一个约束条件下的整数规划，我通过对电池按这一条件对电池进行分组，分别求解出可以获得的最大功率，在进行比较，取最优者。我通过lingo编程求解得到当只能从a、b两类电池中购买一类时可以获得的最大发电功率为4800瓦，此时购买型号的电池15块，其他不购买，当从a、b中同时购买，可以获得最大功率4925瓦，此时购买型号的电池2块，型号的电池3块，型号的电池11块。问题三在前面两个问的基础上要求所购买的不同太阳

5、能型号的个数要相等，从电池的角度考虑，对于每一种电池只会有两种可能，要么购买，要么不买，因此对于此问，我建立一个0-1规划模型，利用问题二分组求解的办法，通过lingo编程求解得到可以获得的最大发电功率为4815瓦。此时需要购买a1型号的电池9块，b2型号的电池9块。本文最大的特色是对原问题做出了合理假设，没有考虑电池厚度，屋顶形状这些次要因素对模型的影响，然后再利用分组逐一求解的办法将较为复杂的问题简单化处理。关键词：整数规划、0-1规划、分组、逐一求解一、问题重述早在1839年，法国科学家贝克雷尔（becqurel）就发现，光照能使半导体材料的不同部位之间产生电位差。这种现象后来被称为“光

6、生伏特效应”，简称“光伏效应”。1954年，美国科学家恰宾和皮尔松在美国贝尔实验室首次制成了实用的单晶硅太阳电池，诞生了将太阳光能转换为电能的实用光伏发电技术。据预测，太阳能光伏发电在未来会占据世界能源消费的重要席位，不但要替代部分常规能源，而且将成为世界能源供应的主体。   现有一家公司欲在面积为30平方米的一片向阳的屋顶安装光伏电池以解决部分电力紧张的问题。请你利用附件提供的数据通过建立数学模型解决下面三个问题：（1）如果该公司准备投资6万5千元购买a或者b两种类型的光伏电池，请你为该公司确定购买方案使得发电总功率最大。（2）如果购买的光伏电池的开路电压之间的差不能超过2v，请你

7、为该公司重新确定购买方案。（3）实际中还要考虑电池串并联后并网发电的要求，即如果要购买两种或者两种类型以上的电池时，不同型号的电池的购买数量应该相等。请你在满足（1）（2）的前提下为该公司重新确定购买方案。附件：两种类型的光伏电池（a单晶硅、b多晶硅）组件设计参数和市场价格pv电池类型产品型号组件功率（w)组件尺寸（mm×mm×mm）开路电压（voc）价格（元/w）a单晶硅电池a12151580×808×4046.114.9元/wa23251956×991×4546.91a32001580×808×3546.1a4

8、2701651×992×4038.1a52451650×991×4037.73a62951956×991×4545.92b多晶硅电池b12651650×991×4037.9112.5元/wb23201956×991×4545.98b32101482×992×3533.6b42401640×992×5036.9b52801956×992×5044.8b62951956×992×5045.1b72501668×

9、1000×4037.83二、基本假设1、假设电池的不同厚度可以通过安装时调整是它不影响发电；2、假设a、b两种类型的电池共同使用时相互之间没有影响；3、假设房顶的形状为规则的几何图形；4、不论太阳能电池的个数是多少只要面积总和小于屋顶面积就可以找到铺设办法；三、符号说明符号意义单位备注z获得的发电功率瓦型号的电池的个数块 型号的电池对应的个数块 型号的电池接受阳光的面积平方米型号的电池接受阳光的面积平方米型号的电池的开路电压v型号的电池的开路电压va、b两种类型的电池分成的组a种类型的电池分成的组b种类型的电池分成的组型号的电池的组件功率瓦型号的电池的组件功率瓦四、问题分析题目中给出

10、了房顶的面积为30平方米，这也就决定了我们的方案中太阳能电池的最大表面积为30平方米，而题目的要求是让我们确定购买方案，也就是说我们要在30平方米的范围内安装电池使发电功率最大，我们可以通过建立合理的优化模型并通过lingo编程求解，此外考虑到实际含义，各种类型和型号的太阳能电池个数必须为整数。问题一中给出了总费用6万5千元，要求我们确定购买方案使功率最大，那么我们就在此约束条件下建立整数规划模型，通过分支定界法分别求解出购买a或b类电池的最大功率，但是为了简便我们直接通过lingo编程求解，再根据得到的结果去看电池板铺成的形状是否合理，若不合理我们在对模型进行恰当修改。问题二在问题一的基础上

11、要求电池的开路电压之间不能超过2v，我们可以依次为前提将电池按照其开路电压的值进行分组，将其分为c、d两类，如图4-1（其中），再分别求出购买各类电池下的最优解，最后再进行综合比较，确定出购买方案。问题三还要求购买的各类电池数相等，我们可以按照问题二中的方法将数据也进行分类，建立0-1优化模型，再分别求解出各类的最优解，在进行综合比较。对购买方案进行抉择。d c 图4-1电池分组例图五、模型的建立与求解5.1 问题一模型建立与求解5.1.1 问题一的分析首先我对数据进行处理，计算出a、b两类各个型号的电池的面积如下： 表5-1（a类电池面积） 表5-1（b类电池面积） 面积型号s 面积型号sa

12、11.276640b11.635150a21.938396b21.938396 a31.276640 b31.470144a41.637792b41.626880a51.635150b51.940352a61.938496b61.940352b71.668000问题一中要求我们用不高于6万5千元的价格在不大于30平方米的屋顶安装a或者b类太阳能使功率最大，对此我觉得题目上稍有歧义，我们既可以理解成购买a或者b其中一类，也可以理解为a和b两类中同时购买需要的电池，故我们可以通过撒网法分别建立一个只购买a或者b其中一类电池的整数规划模型和一个同时购买两种电池类型的整数规划模型，对于只购买一种类型的

13、电池的情况，我分别建立模型求解出只购买a类型和只购买b类型电池时获得的最大功率，在比较那种方案所获得的功率更大，从而选取其中较优者。5.1.2 问题一模型的建立设公司安装的各个型号的单晶硅太阳能电池分别为块，各个型号的多晶硅太阳能电池分别为块，其面积分别为安装以后获得的总发电为z瓦，针对上述规划问题，当a、b中只购买a类时，我们可以建立以下模型：model:当a、b中只购买b类时，我们可以建立以下模型：model: 比较与的大小，取其中的较大者：当a、b中只购买a、b类同时购买时，我们可以建立以下模型：model:5.1.3 问题一模型的求解当a、b中只购买一类时，我们按如下步骤对模型进行求解

14、：step1:求解出只购买a类型单晶硅电池时可获得的最大发电功率；step2:求解出只购买b类型多晶硅电池时可获得的最大发电功率；step3:比较与的大小，z取其中的较大者；对上述模型我们觉可以用分支定界法求解，但是考虑到过于繁琐，我们用lingo编程求解，对只购买a类电池时的模型，用lingo编程求解可以得到，该公司用不超过6万5千元在此30平方米的空地上安装太阳能可以得到最大发电功率为4360瓦，此时安装a1型号的电池9块，a2型号的5块，a3型号的4块. 对只购买b类型的电池的情况，同样用lingo编程求解可以得到需要购买b1型号的电池4块，b2型号的电池12块，其他型号的电池不购买时所

15、得能够得到的功率最大，为4900瓦。因为只购买b类型的多晶硅电池时可获得4900瓦发电功率，大于只购买a类单晶硅电池时可获得的最大发电功率4360瓦，故若只能在a、b两种电池中购买一种，则购买b类型的单晶硅电池，并且购买b1型号的电池4块，b2型号的电池12块。当a、b两种类型的电池同时购买时，按照前两个情况，我们同样用lingo编程求解可以得到当只购买a1型号的单晶硅电池4块，a2型号的单晶硅电池1块，b2型号的多晶硅电池11块,b4型号的1块时所获得的发电功率最大为4945瓦。5.1.4 问题一结果的分析及验证若只购买b类型的单晶硅电池，当达到最大功率为4900瓦时需要购买b1型号的电池4

16、块，b2型号的电池12块，这些电池所占面积为29.8012平方米，小于题目中所给的屋顶面积30平方米，符合实际要求。若a、b中只购买a、b类同时购买，当达到最大发电功率4945瓦时，需要购买a1型号的单晶硅电池4块，a2型号的单晶硅电池1块，b2型号的多晶硅电池11块,b4型号的1块，电池所占面积为29.9942平方米，小于题目中的限制30平方米，需要花52500元，小于6万5千元，故符合实际,故可行。5.2 问题二模型建立与求解5.2.1 问题二的分析问题二在问题一的基础上增加了购买的光伏电池之间的电压不超过2v的限制，同样，我们按照问题一的思路进行建模求解，只是在求解时，我们需要对每一种情

17、况下的电池按照其开路电压进行分类，再分别算出每一类下的最大功率，在综合比较其大小，从而选取最优者。例如当考虑只能购买a、b两类电池中的一种时，我们按如下流程求解：开始将a类型的电池按其开路电压不超过2v分为几组将b类型的电池按其开路电压不超过2v分为几组比较与的大小，令,输出z分别计算可以获得的最大功率，比较的大小，取去其中较大者分别计算可以获得的最大功率，比较的大小，取去其中较大者在建模之前，我们首先对数据进行处理，当在a、b两种类型的电池中只能购买一种时，我们分别对a、b电池按照其开路电压进行分类。仔细观察a类电池的开路电压，我们可以发现和开路电压非常接近，其差值小于2v，故将a类电池分为

18、两组:同理将b类多晶硅电池也分为三组,即：当a、b两类可以同时购买时，我们先将所有型号的电池按照开路电压的大小进行排序得到,再考虑其开路电压之差不超过2v，可以将所有的电池分为四类即：然后再用lingo逐一编程求解。5.2.2 问题二模型的建立设z为可以获得的功率，a类电池中型号的开路电压为，b类电池中型号的开路电压为(),当只能从a、b两类电池中购买一类时，针对上述问题，我们可以建立如下模型：model1:当我们可以在a、b两种类型的电池中同时购买时，我们可以建立下列数学模型：model2:5.2.3 问题二模型的求解对上述模型我们很难用lingo编程求解直接求解，故采取逐一求解的办法对模型

19、进行求解：step1:设分别为在组中购买电池安装可以获得的最大发电功率。分别为在组中购买所能够获得的最大发电功率，我们可以把模型等价转化为以下结构：step2:考虑若购买a类单晶硅电池，有下列关系： 再通过lingo编程对进行求解；step3: 比较的大小，取；step4：考虑若购买b类多晶硅电池有下列关系： 再通过lingo编程对进行求解，取， step5：比较与的大小，令通过lingo编程求解得到的最大值分别为4360瓦、4340瓦，则为4360瓦，得到的值分别为4200瓦，4770瓦，4800瓦，则为4800瓦；因为>，故z为4800瓦，此时购买型号的电池15块，其他不购买。当a、

20、b两类可以同时购买时，设分别为从各组中购买电池时所获得的最大发电功率，同上，由于模型不便于直接用lingo编程直接求解，我们采用类似于模型1的算法逐一进行求解。step1：通过对问题的分析，我们将模型进行等价转换，即原模型等价于：step2：考虑若购买组内各个型号的电池时，有下列关系，通过lingo编程对进行求解，得到该情况下可以获得的最大功率4200瓦此时购买b3型号的电池20块：step3：考虑若购买组内各个型号的电池时，lingo编程对进行求解得到的最大值为4800瓦，此时需要购买a4型号的电池7块，b1型号的电池11块：step4：考虑若购买组内各个型号的电池时，通过lingo编程对进

21、行求解，得到该情况下可以获得的最大功率4915瓦，需购买a1型号的电池5块，b2型号的电池12块。step5：考虑若购买组内各个型号的电池时通过lingo编程对进行求解，得到该情况下可以获得的最大功率4925瓦. 此时购买型号的电池2块，型号的电池3块，型号的电池11块。step6：比较的大小，取经过比较可以得到z的最大值为4925，即电池全部从组内购买。此时购买型号的电池2块，型号的电池3块，型号的电池11块，此时可以获得最大功率4925瓦。5.2.4 问题二结果的分析及验证当我们可以在a、b两种类型的电池中同时购买时，建立数学模型，通过lingo编程求解得到：购买型号的电池11块，其他不购

22、买时可以获得最大功率4925瓦。此时所占面积为29.0760平方米，小于屋顶面积，因此结果可行，符合实际情况。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 问题三的分析由于问题三明确说明了可以购买两种类型的电池，故此问我直接考虑同时购买a、b两种类型的电池，由于在前两问的基础上，此问要考虑实际的要求，各个型号的电池个数应该相同，故我设购买,（）型号的电池块，其中为0或者1。但其中的某些型号可能不买，与时我可以通过建立0-1变量模型，首先我还是将a、b两种类型各个型号的电池按其开路电压不超过2v分四个组即：由于题目的要求各个型号的电池电压不超过2v，故我们只能在各个组中购买，我们分别求解出其对应的最大

23、功率，在比较其大小，取：z即可以获得最大功率。5.3.2 问题三模型的建立设,（）型号的电池接收阳光的那一面的面积分别为，发电功率分别为，开路电压分别为，设,（）分别为根据前面对问题的分析，我们可以建立如下数学模型：5.3.3 问题三模型的求解针对上述模型我不便于用lingo编程直接求解，故我考虑用逐一的方法按下列步骤求解：step1：通过对问题的分析，我们将模型进行等价转换为下列结构：step2：计算若电池从组内购买时，满足下列关系： step3：计算若电池从组内购买时，按下列关系计算： step4：若电池从组内购买时，下列关系计算：step5：若电池从组内购买时，按照下列关系计算：step

24、6：比较的大小，取：通过lingo编程对以上问题逐一求解，得到当购买a1型号的电池9块，b2型号的电池9块时可以获得最大功率4815瓦。5.2.4 问题三结果的分析及验证当购买a1型号的电池9块，b2型号的电池9块时，此时的太阳能电池所占小于屋顶面积30平方米，所需要的钱小于6万5千元，故所得结果真实可行。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价对于我所建立的太阳能电池板选购模型，综合考虑了屋顶面积的限制，公司所投资的金额的限制等约束条件，通过求解最优解使屋顶面积得到充分的利用，尽可能地得到更大的发电功率，通过 lingo编程求解后又对结果进行验证，购买电池所花费的钱和电池所占面积均符合实际要求

25、。问题二和问题三的求解过程中由于模型不便于直接编程求解，故我对模型进行转化，使问题得到了有效的解决了。但是我所建立的模型还有许多不足之处，首先就是所建立的模型过于单一，其次文章的写作水平不高，还有就是由于题目只要求功率最大，故建模时没有考虑单位功率需要花费的钱等。6.2 模型的推广本模型实际解决的是一个最优化问题。人们在的生产与生活中，为了使自身资源得到合理的利用，都追求一种最优化的过程。然而现实中问题是受到许多的条件的限制的。例如对于本问题，目标当然是在30平方米有限的面积内部，用不超过6万5千元的钱是发电功率最大。由于太阳能电池的发电功率并不是照射的面积越大，总功率越大，这使得功率最大是并

26、没有占据最大的面积。在求解问题时由于不方便求解，故我便对问题进行合理转化，使其简单化，这种思想可运用与将各种复杂的实际问题简单化来求解。在考虑问题二和问题散的 过程中我还想到一种通过将数字按从小到大排列，再用直径为2的圆依次去圈，以此来划分区域，这种通过距离确定类别的思想也可广泛运用，如现在的聚类分析法也就是根据这个原理进行聚类的。七、参考文献1陈光亭、裘哲勇，数学建模（第一版），高等教育出版社，2010年2月，2耿秀荣等，数学建模及其常用数学软件，广西师范大学出版社，2012年6月八、附录8.1 附录清单附录1：求解问题一的lingo程序附录2：求解问题二的lingo程序附录3：求解问题二的

27、lingo程序8.2 附录正文附录1：求解问题一的lingo程序model:max=215*x1+325*x2+200*x3+270*x4+245*x5+295*x6;1.276640*x1+1.938396*x2+1.276640*x3+1.637792*x4+1.635150*x5+1.938396*x6<=30;14.9*(215*x1+325*x2+200*x3+270*x4+245*x5+295*x6)<=65000;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);endglobal optimal solution fou

28、nd. objective value: 4360.000 objective bound: 4360.000 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost x1 9.000000 -215.0000 x2 5.000000 -325.0000 x3 4.000000 -200.0000 x4 0.000000 -270.0000 x5 0.000000 -245.0000 x6 0.000000 -295.0000 row sl

29、ack or surplus dual price 1 4360.000 1.000000 2 3.711700 0.000000 3 36.00000 0.000000model:max=265*y1+320*y2+210*y3+240*y4+280*y5+285*y6+250*y7;1.635150*y1+1.938396*y2+1.470144*y3+1.626880*y4+1.946352*y5+1.940352*y6+1.6880*y7<=30;12.5*(265*y1+320*y2+210*y3+240*y4+280*y5+285*y6+250*y7)<=65000;g

30、in(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);gin(y6);gin(y7);endglobal optimal solution found. objective value: 4900.000 objective bound: 4900.000 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost y1 4.000000 -265.0000 y2 12.00000 -320.0000 y3 0.0000

31、00 -210.0000 y4 0.000000 -240.0000 y5 0.000000 -280.0000 y6 0.000000 -285.0000 y7 0.000000 -250.0000 row slack or surplus dual price 1 4900.000 1.000000 2 0.1986480 0.000000 3 3750.000 0.000000model:max=215*x1+325*x2+200*x3+270*x4+245*x5+295*x6+265*y1+320*y2+210*y3+240*y4+280*y5+285*y6+250*y7;1.2766

32、40*x1+1.938396*x2+1.276640*x3+1.637792*x4+1.635150*x5+1.938396*x6+1.635150*y1+1.938396*y2+1.470144*y3+1.626880*y4+1.946352*y5+1.940352*y6+1.6880*y7<=30;14.9*(215*x1+325*x2+200*x3+270*x4+245*x5+295*x6)+12.5*(265*y1+320*y2+210*y3+240*y4+280*y5+285*y6+250*y7)<=65000;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4

33、);gin(x5);gin(x6);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);gin(y6);gin(y7);end global optimal solution found. objective value: 4945.000 objective bound: 4945.000 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 236 total solver iterations: 494 variable value reduced cost x1 4.000000 -215.0000 x2 1.00

34、0000 -325.0000 x3 0.000000 -200.0000 x4 0.000000 -270.0000 x5 0.000000 -245.0000 x6 0.000000 -295.0000 y1 0.000000 -265.0000 y2 11.00000 -320.0000 y3 0.000000 -210.0000 y4 1.000000 -240.0000 y5 0.000000 -280.0000 y6 0.000000 -285.0000 y7 0.000000 -250.0000 row slack or surplus dual price 1 4945.000

35、1.000000 2 0.5808000e-02 0.000000 3 343.5000 0.000000附录2：求解问题二的lingo程序model:max=215*x1+325*x2+200*x3+295*x6;1.276640*x1+1.938396*x2+1.276640*x3+1.938396*x6<=30;14.9*(215*x1+325*x2+200*x3+295*x6)<=65000;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x6);endglobal optimal solution found. objective value: 4360.000

36、objective bound: 4360.000 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost x1 9.000000 -215.0000 x2 5.000000 -325.0000 x3 4.000000 -200.0000 x6 0.000000 -295.0000 row slack or surplus dual price 1 4360.000 1.000000 2 3.711700 0.000000 3 36.000

37、00 0.000000model:max=270*x4+245*x5;1.637792*x4+1.635150*x5<=30;14.9*(270*x4+245*x5)<=65000;gin(x4);gin(x5);endglobal optimal solution found. objective value: 4360.000 objective bound: 4360.000 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 8 total solver iterations: 71 global optimal solutio

38、n found. objective value: 4340.000 objective bound: 4340.000 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost x4 7.000000 -270.0000 x5 10.00000 -245.0000 row slack or surplus dual price 1 4340.000 1.000000 2 2.183956 0.000000 3 334.0000 0.0000

39、00 variable value reduced cost x1 1.000000 -215.0000 x2 10.00000 -325.0000 x3 3.000000 -200.0000 x6 1.000000 -295.0000 row slack or surplus dual price 1 4360.000 1.000000 2 1.771200 0.000000 3 36.00000 0.000000model:max=210*y3;1.470144*y3<=30;12.5*(210*y3)<=65000;gin(y3);endglobal optimal solution found. objective value: 4200.000 objective bound: 4200.000 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost y3 20.00000 -210.0000 row slack or surplus dual price 1 4200.0