高三数学第二轮复习空间角与距离

1、 空间角与距离高考考什么【考点透视】异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.【热点透析】1转化思想： 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形 2求角的三个步骤：一猜,二证,三算猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证3二面角的平面角的主要作法：定义 三垂线定义 垂面法距离【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。【热点透析】 转化思想： ； 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与

2、面的距离。2空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：体积法； 直接法,找出点在平面内的射影高考将考什么【范例1】（07北京理16题）如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角动点的斜边上（i）求证：平面平面；（ii）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（iii）求与平面所成角的最大值解法一：（i）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（ii）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中，又 在中，异面直线与所成角的大小为（iii）由（i）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，垂足为，与平面所成角的最大值为解法二：

3、（i）同解法一（ii）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为（iii）同解法一【范例2】（07福建理18题）如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1中点。（）求证：ab1面a1bd；（）求二面角aa1db的大小；分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答：解法一：（）取中点，连结为正三角形，正三棱柱中，平面平面，abcdof平面连结，在正方形中，分别为的中点， ， 在正方形中， 平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，

4、所以二面角的大小为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得， 点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面， 平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzabcdofy， ， 平面（）设平面的法向量为， 令得为平面的一个法向量由（）知平面， 为平面的法向量，二面角的大小为【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。【变式】在梯形abcd中，ab=bc=1，ad=2，沿对角线ac将折起，使点b

5、在平面acd内的射影o恰在ac上。（1）求证：ab平面bcd（2）求异面直线bc与ad所成的角。解：(1)在梯形abcd中,ad=2，又平面acd，故又，且平面bcd（2）因为ba=bc，为ac中点，取cd中点e，ab中点f，连结oe、of、ef，则oe/ad，of/bc，所以ad与bc所成的角为或其补角.作fh/bo交ac于h，连结he, 则fh平面acd在三角形eof中，又，eo=1由余弦定理知故异面直线bc与ad所成的角为60【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。【范例3】在四棱锥p-abcd中，abcd为正方形，pa面abcd，paa

6、ba，e为bc中点.（1）求平面pde与平面pab所成二面角的大小；（2）求平面pba与平面pdc所成二面角的大小解：（1）延长ab、de交于点f，则pf为平面pde与平面pad所成二面角的棱，pa平面abcd， adpa、ab, paab=ada平面bpa于a, 过a作aopf于o，连结od,则aod即为平面pde与平面pad所成二面角的平面角。得，故面pde与面pad所成二面角的大小为（2）解法1（面积法）如图adpa、ab, paab=ada平面bpa于a, 同时bc平面bpa于b,pba是pcd在平面pba上的射影, 设平面pba与平面pdc所成二面角大小为, cos=spab/spc

7、d=/2 =450 ，即平面bap与平面pdc所成的二面角的大小为45°。解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥p-abcd补形得正方体abcd-pqmn，则pqpa、pd，于是apd是两面所成二面角的平面角。 在rtpad中，pa=ad，则apd=45°。即平面bap与平面pdc所成二面角的大小为45°。【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。【范例4】如图，四面体abcd中， o、e分别是bd、bc的中点，（i）求证：平面bcd；（ii）求异面直线ab与cd所成角的大小；（

8、iii）求点e到平面acd的距离。方法一：（i）证明：连结oc在中，由已知可得而即平面（ii）解：取ac的中点m，连结om、me、oe，由e为bc的中点知直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角在中，是直角斜边ac上的中线，异面直线ab与cd所成角的大小为（iii）解：设点e到平面acd的距离为在中，而点e到平面acd的距离为方法二：（i）同方法一。（ii）解：以o为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线ab与cd所成角的大小为（iii）解：设平面acd的法向量为则令得是平面acd的一个法向量。又点e到平面acd的距离【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角

9、以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。【变式】已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为1，m是底面bc边上的中点，n是侧棱cc1上的点，且cn2c1n（）求二面角b1amn的平面角的余弦值；（）求点b1到平面amn的距离。解（）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，m（0，0）,c(0,1,0), n (0,1,) , a ()，所以,因为所以,同法可得。故为二面角amn的平面角故二面角amn的平面角的余弦值为。（）设n=(x, y, z)为平面amn的一个法向量，则由得, 故可取设与n的夹角为a，则。所以到平面amn的距离为。【范例5】

10、如图，所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截面而得到的，其中ab=4，bc=2，cc1=3，be=1.（）求bf的长；（）求点c到平面aec1f的距离.解法1：（）过e作eh/bc交cc1于h，则ch=be=1，eh/ad，且eh=ad.afec1，fad=c1eh. rtadfrtehc1.df=c1h=2. （）延长c1e与cb交于g，连ag，则平面aec1f与平面abcd相交于ag.过c作cmag，垂足为m，连c1m，由三垂线定理可知agc1m.由于ag面c1mc，且ag面aec1f，所以平面aec1f面c1mc.在rtc1cm中，作cqmc1，垂足为q，则cq的长即

11、为c到面aec1f的距离.解法2：（i）建立如图所示的空间直角坐标系，则d（0，0，0），b（2，4，0），a（2，0，0），c（0，4，0），e（2，4，1），c1（0，4，3）.设f（0，0，z）.aec1f为平行四边形，（ii）设为面aec1f的法向量，的夹角为a，则c到平面aec1f的距离为【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。正三棱柱的底面边长为8，对角线，d是ac的中点。（1）求点到直线ac的距离.（2）求直线到平面的距离解：（1）连结bd，由三垂线定理可得：，所以就是点到

12、直线ac的距离。bacd在中（2）因为ac与平面bd交于的中点，设，则/de，所以/平面，所以到平面bd的距离等于点到平面bd的距离，等于点到平面bd的距离，也就等于三棱锥的高， ，即直线到平面bd的距离是【点晴】求空间距离注意三点：_o_e_a_b_c_d_p_x_y_8_z1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例6】如图，在四棱锥pabc右，底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab=，bc=1，pa=2， e为pd的中点（）求直线ac与pb所成角的余弦值；（）在侧面pab内找一点n，使ne面pac，并求出n点到ab和ap的距离解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则a、b、c、d、p、e的坐标分别为a(0，0，0)，b(，0，0)，c(，1，0)，d(0，1，0)，p(0，0，2)，e(0，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.设与的夹角为，则，ac与pb所成角的余弦值为（） n点在侧面pab内，故可设n点坐标为(x, 0, z),则由ne面pac可得即化简得即n点的坐标为（，0，1），从而n点到ab、ap的距离分别