第五章平均指标和变异指标

1、第一章绪论第二章统计调查第三章统计资料的整理第四章总量指标与相对指标 第五章平均指标和变异指标第六章时间数列第七章统计指数第八章抽样调查第九章回归与相关分析第十章统计预测第十一章统计分析综述第十二章我国国民经济核算体系一、平均指标概述一、平均指标概述二、数值平均数二、数值平均数三、位置平均数三、位置平均数四、标志变异指标四、标志变异指标五、平均指标的运用原则五、平均指标的运用原则主要内容主要内容 一一. 平均指标及其特点平均指标及其特点二二. 平均指标的作用平均指标的作用一、平均指标一、平均指标平均指标反映同类现象的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，也是对变量分布集中趋势的测定

2、。数据集中区数据集中区变量变量 xx 作用作用: 对现象进行对比分析 用来综合测定工作质量和工作效率 分析现象之间的依存关系 可以进行数量上的估算和推算 常用的平均指标常用的平均指标: 数值平均数数值平均数: 算术平均数，几何平均数,调和平均 数. 位置平均数位置平均数: 中位数，众数。一一. 算术平均数算术平均数二二. 调和平均数调和平均数三三.几何平均数几何平均数算术平均数的计算算术平均数的计算算术平均数算术平均数=总体标志总量总体标志总量总体单位总数总体单位总数数据集数据集),(121NNixxxxx数据个数数据个数 NxNxx简单算术平均数简单算术平均数 身高身高 组中值组中值 人数人

3、数 比重比重 （cm） （cm ) （人）（人） （%） 150-155 152.5 3 3.61 155-160 157.5 11 13.25 160-165 162.5 34 40.96 165-170 167.5 24 28.92 170以上以上 172.5 11 13.25 总计总计 83 100某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料组距数列组距数列次数次数f频率频率f/f变量值变量值xffxx加权算加权算术平均术平均数数fxfx权数与加权权数与加权23456781924. 421191817263554432221x算术平均数的计算取决于变量算术平均数的计算取决于变量值和权数的

4、共同作用：值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置权数则决定平均数的位置 必须是标志值的直接承担者; 与标志值相乘具有标志总量的意义; 组的权数必须不尽相同。 各标志值与算术平均数离差之和等于零; 各标志值与算术平均数离差平方之和最小; 各标志值同时减去一个常数一 (不等于零),计算的平均数再加上一与原平均数相等; 将每个标志值同时除以常数 D(D 不等于零) 之后，计算的平均数乘以 D,等于原来的平均数; 将每个标志值同时减去常数一再除以常数 D(A,D 不等于零) 得新变量值,新变量值的平均数乘以 D 再加上一之后与原变量平均值相等。 注意

5、 A,D 的选择: A:最接近变量平均数的值, D:最大公约数。fxfxx、f 为已知为已知若只知若只知 x 和和xf ，而，而f 未未知，则不能使用知，则不能使用加权算术平均方式，只能使用其变形即加权算术平均方式，只能使用其变形即加权调和平均方式加权调和平均方式。xfxxfx1 苹果苹果 单价单价 购买量购买量 总金额总金额 品种品种 （元）（公斤）（元）（公斤） （元）（元）红富士红富士 2 3 6青香蕉青香蕉 1.8 5 9 xfxf875. 15358 . 132x875.18 .192696x概念概念 计算公式计算公式 特点特点优点：优点：灵敏度高灵敏度高在某种不能计算在某种不能计算

6、的条件下，可以代的条件下，可以代替替缺点：缺点：不易理解不易理解 易受极值影响易受极值影响 有有“ 0 ”值时不能值时不能计算计算调和平均数调和平均数（）（）标志值倒标志值倒数平均数数平均数的倒数的倒数简单：简单：加权：加权：HxiHxnx/1iXiiHmmx/调和平均数调和平均数计划完成计划完成程度程度 (%)组中值组中值 (%) X企业数企业数实际完实际完成数成数 (万万元元) M计划任计划任务数务数 ( 万元万元) M/X90-100100-110110-1209510511558295840115100800100合计_1510501000几何平均数几何平均数概念概念 计算公式计算公式

7、 特点特点优点：灵敏度高优点：灵敏度高 受极值影响小受极值影响小于和于和 适宜于各比率适宜于各比率之积为总比率的变之积为总比率的变量求平均量求平均缺点缺点:有有“ 0 ”或负或负值时不能计算值时不能计算 偶数项数列只偶数项数列只能用正根能用正根 几何平均数几何平均数（）（）几个变量几个变量值连乘积值连乘积的几次根的几次根。简单：简单：加权：加权：GxniGxxififiGxx就用途而言，几何平均方法直就用途而言，几何平均方法直接用于个体数量相乘等于总数量的接用于个体数量相乘等于总数量的现象的平均。现象的平均。某产品的总合格率某产品的总合格率各连续作业工序合格率之积各连续作业工序合格率之积若干年

8、间总的若干年间总的1+利率（复利）利率（复利）各年度各年度1+利率之积利率之积第一道工序第二道工序全工序第一道工序第二道工序全工序投入制品投入制品1000个个900个个1000个个合格产品合格产品 900个个810个个 810个个合格率合格率 90 90 81 81%=90%90%向银行借款向银行借款1000元，年利率（复利）元，年利率（复利）为为10%，则：第一年利息额，则：第一年利息额100元，第二元，第二年利息额年利息额 110元，两年合计元，两年合计210元。两年后元。两年后还款本利和与借款额的比例为还款本利和与借款额的比例为1.21。 1.21=1.11.1一一. 中位数中位数二二.

9、 众数众数三三.各种平均数之间的关系各种平均数之间的关系152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168

10、168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174中位数（中位数（median）：位于变）：位于变量值序列中点的数值量值序列中点的数值中位数中位数中位数的确定方法中位数的确定方法对于未分组数据：对于未分组数据：中位数位置为中位数位置为21N某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料 身高身高 人数累计人数累计（CM） （人）（人）人数人数 152 11 154 2 3 155 2 5 156 4 9 157 1 10 158 2 12 159 2 14 160 12 26 161 7 33 162 8 41 163 4 45

11、 身高身高 人数人数 累计累计（CM） （人）（人） 人数人数 164 3 48 165 8 56 166 5 61 167 3 64 168 7 71 169 1 72 170 5 77 171 2 79 172 3 82 174 1 83 总计总计 83 422183中位数的确定方法中位数的确定方法 身高身高 人数人数 累计累计 （CM） （人）（人） 人数人数 150-155 3 3 155-160 11 14 160-165 34 48 165-170 24 72 170以上以上 11 83 总计总计 83 某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料dfSfLMmme1204.164

12、53414283160eM中位数一定存在；中位数一定存在；中位数与算术平均数相近；中位数与算术平均数相近；中位数不受极端值影响；中位数不受极端值影响；变量值与中位数离差绝对值之和最小变量值与中位数离差绝对值之和最小。中位数的作用及用法中位数的作用及用法众数（众数（mode）：出现次数最多）：出现次数最多即出现频率最高的变量值。即出现频率最高的变量值。 身高身高 人数人数（CM） （人）（人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM） （人）（人） 164 3 165 8 16

13、6 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167

14、 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174众数的确定方法众数的确定方法某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料 身高身高 人数人数（CM） （人）（人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4 身高身高 人数人数（CM） （人）（人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1总计总计 83 身高身

15、高 人数人数 比重比重 （CM） （人）（人） （%） 150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上以上 11 13.25 总计总计 83 100某年级某年级83名女生身高资料名女生身高资料众数的确定方法众数的确定方法2ULMo概约众数：众数所概约众数：众数所在组的组中值，在在组的组中值，在本例为本例为162.5cmdLMo21148.1635102323160oM要点解释要点解释权数（重量了），是分布数列中的频数或频率对求权数（重量了），是分布数列中的频数或频率对求平均数具有权衡轻重的作用，是影

16、响平均数变动的平均数具有权衡轻重的作用，是影响平均数变动的两个因素之一（另一因素是变量值）。两个因素之一（另一因素是变量值）。权数权数例例(1)(2)(3)X456合计合计频数频数 频率频率 (%)10201025.050.025.040100.0X456合计合计频数频数 频率频率 (%)20402025.050.025.080100.0X456合计合计频数频数 频率频率 (%)20101050.025.025.080100.0 x =5x =5x =4.75调和平均数与算术平均数的区别调和平均数与算术平均数的区别频率分布变了，均值也变因此，严格地说，频率分布变了，均值也变因此，严格地说，权数

17、应指频率。权数应指频率。凡是掌握被平均指标的分母资料时，用算术平均法。凡是掌握被平均指标的分母资料时，用算术平均法。凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和平均法。凡是掌握被平均指标的分子资料时，用调和平均法。平均指标平均指标分子：标志总量分子：标志总量分母：总体单位总数分母：总体单位总数几何平均等于对数的算术平均几何平均等于对数的算术平均 组矩数列求中位数组矩数列求中位数是用插值法对中位数组分割的结果。是用插值法对中位数组分割的结果。组距数列求众数组距数列求众数是以频数之差计算的比例分割众数组组距的结果。是以频数之差计算的比例分割众数组组距的结果。价格（元）价格（元）3.32.52.0合计合计

18、销售量（斤）销售量（斤）3451254350 . 245 . 233 . 3iiiffxx元492. 2129 .29算术平均算术平均求某种商品三种零售价格的平均价格求某种商品三种零售价格的平均价格调和平均调和平均100 . 21105 . 21103 . 311010101iiiHmxmx494. 203.1230价格（元）价格（元）3.32.52.0合计合计销售额（元）销售额（元）10101030位置平均数与算术平均数的关系位置平均数与算术平均数的关系XfXfXfMoMex(对称分布对称分布)MoMex正偏态分布（右）正偏态分布（右）MoMex负偏态分布负偏态分布(左）左）在偏斜不大时在偏

19、斜不大时)(2MexMoMexMeMo2332xMoMe23MoMex1212xxMeMeMoMoxMeMo一一. 标志变异指标的意义和作用标志变异指标的意义和作用二二. 变异指标的种类和计算方法变异指标的种类和计算方法概念概念标志变异指标是反映变量分布离散趋势、与平均标志变异指标是反映变量分布离散趋势、与平均指标相匹配的指标。指标相匹配的指标。 （ 1 ） （ 3 ）在抽样调查中有重要作用。）在抽样调查中有重要作用。 （ 2 ）反映经济活动过程的均衡性、节奏性和稳）反映经济活动过程的均衡性、节奏性和稳定性；定性；作用作用是评价平均数代表性的依据；是评价平均数代表性的依据；集中趋势弱、集中趋势

20、弱、离散趋势强离散趋势强集中趋势强、集中趋势强、离散趋势弱离散趋势弱cmx164cmx164概念概念 计算计算 特点特点数列中最大值数列中最大值与最小值之差与最小值之差1 极差极差 （ R ）R=最大值最大值-最小值最小值优点：容易理解，优点：容易理解，计算方便计算方便缺点：不能反映全缺点：不能反映全部数据分布状况部数据分布状况2 平均差平均差 （ A,D ）各标志值与各标志值与均值离差绝均值离差绝对值的算术对值的算术平均平均iiffiXXDAnXXDAi简单：简单：加权：加权：优点：反映全部优点：反映全部数据分布状况数据分布状况 缺点：取绝对值缺点：取绝对值，数字上不尽合，数字上不尽合理理1

21、52 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166 166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 1

22、70 170 171 171 172 172 172 174全距全距174-152=22（cm）四分位差四分位差167-1607（cm）152 154 154 155 155 156 156 156 156 157 158 158 159 159 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 160 161 161 161 161 161 161 161 162 162 162 162 162 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165 165 165 165 165 165 165 166 166

23、166 166 166 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 169 170 170 170 170 170 171 171 172 172 172 174 185 190 190 200全距全距200-152=48（cm）四分位差四分位差168-1608（cm）Q1Q2Q3极极小小值值极极大大值值x1x2 x3 x4 x5x6x73 4 4 4 5 5 10 x1x2 x3 x4 x5x6x73 3 4 5 6 7 71.4341.43概念概念 计算计算 特点特点各标志值与均各标志值与均值离差平方的值离差平方的平均。平均。方差的平方根方差的平方根（取

24、正根）（取正根）3 方差方差（ 2 ）和和 标 准 差标 准 差 ()优点：反映全部优点：反映全部数据分布状况，数据分布状况，数字上合理。数字上合理。缺点：受计量单缺点：受计量单位和平均水平影位和平均水平影响，不便于比较响，不便于比较4 标准标准差系数差系数 （ V ）标准差与均值标准差与均值之商，是无量之商，是无量纲的系数纲的系数简单：简单：加权：加权：优点：适宜不同优点：适宜不同数据集的比较数据集的比较缺点：对数据结缺点：对数据结构变化反应不灵构变化反应不灵敏敏ffXX22nXXi22XV2方差（方差（ 2 ）和标准差（）和标准差（）是应用最广的标志变异指标）是应用最广的标志变异指标方差及

25、标准差的计算方差及标准差的计算Nxx22)(Nxx2)(简单式简单式ffxx22)(ffxx2)(加权式加权式总体方差总体方差及标准差及标准差1)(22NxxS1)(2NxxS简单式简单式样本方差样本方差及标准差及标准差是非标志的均值及标准差是非标志的均值及标准差其值仅表现为具有某种特征其值仅表现为具有某种特征或不具有某种特征两种情况的标或不具有某种特征两种情况的标志称为是非标志，也称交替标志志称为是非标志，也称交替标志。性别：男、女（非男）性别：男、女（非男）产品质量：合格、不合格产品质量：合格、不合格1 01 0是非标志的均值及标准差是非标志的均值及标准差1N0NN具有某种标志具有某种标志的总体单位的总体单位数数不具有某种标志不具有某种标志的总体单位数的总体单位数总体单总体单位总数位总数PffNN11QffNN001 QP是非标志的均值