数学与应用数学毕业论文秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究

1、秩幂等矩阵的刻画与幂等矩阵进一步研究 ( 莆田学院数学系 指导教师: )摘 要:本文主要采用jordan标准形的方法，极小多项式的理论，从矩阵的秩幂等性出发来研究其幂等性,沟通了矩阵的秩幂等性与幂等性.本文还进一步刻画了秩幂等矩阵与幂等矩阵.关键词:秩幂等矩阵 幂等矩阵矩阵的秩 jordan标准形极小多项式abstract:in this paper, applying the method of the jordan normal canonical and the minimum multinomial theory，we begin with the rank-idempotent ma

2、trices ,and establish a bridge between rank-idempotent matrices and idempotent matrices .also we further the discusses of idempotent matrices and rank-idempotent matrices . keywords: rank-idempotent matrix idempotent matrix rank of matrix jordan normal canonical minimum multinomial.1.引言为任意数域,为复数域. 表

3、示数域上所有矩阵组成的集合.表示上的维列向量组成的维线性空间.表示阶单位矩阵.,表示的值域, 表示的核子空间.表示的秩.表示的次方幂，在本文总规定是自然数.特别地，是可逆矩阵时,有意义，且 .定义1. 设对任意，则称为次幂等矩阵.注:我们之所以强调幂等指数的最小性,是因为存在矩阵,满足但.例如.为了更细致的刻画幂等矩阵,我们定义了次幂等矩阵. 定义2. 设,则称为幂等矩阵. 若,则简称为幂等矩阵.现有文献1-479-13都是讨论满足条件的矩阵的相关性质.这些文献并未强调幂等指数的最小性.为了更广泛的讨论幂等矩阵,我们定义了幂等矩阵.注:定义1与定义2的区别是在定义1中强调幂等次数的最小性,在定

4、义2中只要求矩阵满足条件 即可.定义3 .设.,满足则称为为秩幂等矩阵. 注:在后文的定理2中我们证明了在本质上就是故在此处不需再像定义2那样定义秩幂等矩阵.因为目前文献对幂等矩阵的定义都是满足定义2的矩阵.而就简称为幂等矩阵.定义3中定义秩幂等矩阵是很自然的,因为只要与的秩相等,就称其为秩幂等矩阵.定义4. 设满足且,则称为次幂等矩阵.注:这样定义的矩阵是自身逐次乘方后首次出现与前面的相等的矩阵. 定义5. 设,若存在自然数使当时成立,则称为幂等矩阵.注:这在粗略的只讨论满足条件的矩阵时是可取的.定义4强调了幂等次数的最小性,而且定理5只是讨论满足条件的矩阵.本文将分别对次幂等矩阵与幂等矩阵

5、进行讨论.定义6. 设，若存在自然数使且对有 则称为次秩幂等矩阵.定义6比定义3更严格.定义3中包含了可逆矩阵,而特别的在定义6中令则本质为且也即不包括可逆矩阵. 定义7. 设,次数最低的,首项系数为1的,以为根的多项式叫做的极小多项式.记为.关于幂等矩阵(是指满足条件的矩阵.这与定义1中的次幂等矩阵不同,与定义2中的幂等矩阵相同,并不强调幂等次数的最小性)的刻画已有不少文献: 1, 2, 3, 4, 7, 9,10,11,12,13.其中文9-13都是从秩的等式去刻画. 文1-3给出了三幂等矩阵(满足)的不同形式的等式.命题1 (见文1,()式)设, 则 命题2 (见文2,推论1) 设, 则

6、 ； ； 注(1.1)式是大家所熟知的结论.可通过矩阵初等变换的方法证得.其中(1.3)式中不正确.反例:令满足, 命题3 (见文3,()()式) 设, 则特别地,若则有文 4-5 给出了一般的幂等矩阵(满足)的等价刻画.命题4 (见文4定理3.1)设,为正整数，则 命题5 (见文4推论1)设, 为正整数, 则对任意的自然数有如果.命题6(见文5()式)设, 则 其中， 利用此命题而易得 以上这些命题都可通过用分块矩阵初等变换的方法证得. 文6-8主要从矩阵的值域,核子空间与线性空间的关系来刻画幂等矩阵.主要结果如下:命题7 (见文6,命题4,5,7,8)为幂等矩阵,则 (1) ; (2) ;

7、 (3) ; (4) .命题8 (见文7,命题9)设阶方阵的秩为,为幂等矩阵,则存在加逆矩阵, 使 .命题9 (见文8,推论1)设为数域上的阶方阵,则下列命题等价: (1);(2); (3).命题7-9通过线性变换的方法结合维数公式可得证.文9首先用两种不同的方法建立了二阶幂等矩阵的表现定理,进而对一般幂等矩阵作出刻画.命题10 (见文9,定理1)是二阶矩阵,则是幂等矩阵,当且仅当是零矩阵或单位矩阵,或有以上之表现 其中为任意复数 且 .命题11 (见文9,定理2)是阶幂等矩阵,当且仅当存在阶矩阵及阶(0,1)对角形矩阵，使得.文10利用线性代数的方法研究秩幂等矩阵的性质,得到了秩幂等矩阵的一

8、些充要条件,揭示了秩幂等矩阵的值域,核子空间与的联系.命题12 (见文10,定理1) 如果,那么下列各条等价:(1) 是秩幂等矩阵; (2) ; (3) , ; (4) , . 这个定理的核心结果是:,结果(3),(4)都可由维数公式易得.而核心结果由引理9可证. 命题13 (见文10,定理2) 如果,那么下列各条等价:(1) 是秩幂等矩阵; (2) ; (3) ; (4) . 此命题的核心结果是:.由引理9,及由大空间与子空间的关系可证得,它本质的刻画了其他结果.而(4)由命题12中的(3),(4)直接推得.命题14 (见文10,定理1)如果 ,那么下列各条等价:(1) ;(2) 存在可逆方

9、阵,使得 其中,;(3) 存在可逆方阵,使得; (4) 的特征值的几何重数与代数重数相等. 此命题由引理9及扩基的方法再加以适当的计算而得到. 命题15 (见文11,定理5) 设为幂等矩阵的特征值,则,或为次单位根.命题16 (见文11,定理7)设,为的最小多项式,则为幂等矩阵,当且仅当. 文1-5都是从幂等矩阵出发来研究其秩的等式,同时用矩阵的秩去刻画矩阵的幂等性.而文10则首次提出了秩幂等矩阵的概念,并给出了一些等价刻画.我们将从反面着手,从矩阵秩的幂等性出发来研究矩阵的幂等性.上述文献大多集中在研究二幂等矩阵与三幂等矩阵(其研究并不强调幂等次数的最小性,即满足定义2的矩阵).而我们将研究

10、一般的次幂等矩阵与更为一般的幂等矩阵, 秩幂等矩阵与次秩幂等矩阵以及它们之间的联系. 由于在后文中我们证明了矩阵的秩的性质与数域是无关的.所以我们采用jordan标准形的方法与极小多项式的理论来研究.这是与上述文献中的方法不同的. 我们主要的工作有以下几个方面. 的本质.文10利用引理9证明,给出了其等价刻画.而我们用jordan 标准形的方法来研究,进一步指出本质上就是,也即只需研究的情况就可以了.在此基础上找到过渡到的充要条件,沟通了秩幂等矩阵与次幂等矩阵. 由于,但与有所不同.为此本文进一步刻画次秩幂等矩阵的特征.过渡到的充要条件.此外本文还指出了所讨论的这几个方面之间的关系.2.引理引

11、理1. 矩阵是次幂等矩阵当且仅当与相似的矩阵是次幂等矩阵. 证明: 设且().与相似, 则存在 ,使得 且.否则 ,由 得 这与 矛盾.同理可证.(因为相似关系是等价关系,具有自反性.) 引理2. 矩阵为秩幂等矩阵,当且仅当与相似的矩阵的矩阵是次秩幂等矩阵.证明: 1）设,且与相似, 则存在 使得 .所以 则 , 所以故.2）往证 否则 .， 由1）的证明过程知 定理1. 矩阵的幂等性与秩幂等性不随数域的改变而改变. 证明: 设为任意数域,为复数域.1) 设在上的秩为,则存在 , 使得 又 故故在上的秩也为.2) 设在上的秩为,则在的秩也为.否则,在的秩为,由1)中的证明知在上的秩为,这与假设

12、矛盾.3) 矩阵的幂等性不随数域的改变而改变.证明显然.(因为矩阵方幂实质是矩阵中元素的运算,数的四则运算与数域无关)综合1),2),3)知,矩阵幂等性与秩幂性不随数域的改变而变. 引理3. 12 设,则存在可逆方阵 ,使得 其中 , 且 .注: 因为复数域是最大的数域,所以对,我们可以将其转化为上去研究.因为的秩幂等性与幂等性不随数域的改变面改变.而且在相似条件下具有不变性.由引理3 知任意数域上的矩阵都与复数域上的一个jordan标准形相似.故任意数域上的矩阵的秩幂等与幂等的有关性质都可归结到复数域与其相似的jordan标准矩阵上去研究.引理4.设且满足(2.1),(2.2),(2.3)则

13、 . 证明: 对数学归纳法.往证(2.4)式成立.即当 时,. . .假设 则 ， .时, .时, .所以 (2.4) 式成立.下面证 (2.5) 成立. .因为 ,所以 ,任意,即(2.5)式成立. 注: 在此总约定的jordan标准形为上述形式,即将jordan 块分为两类,前个为特征值为零的jordan 块,后面的个特征值非零的jordan 块.在后文的证明中沿用此记号. 引理5. (见文2,引理1)设 是阶若当块,则其中,当时,.引理6. 与对角矩阵相似的充要条件为,的不变因子没有重根.引理7. 与对角矩阵相似的充要条件为,的最小多项式没有重根.引理8. , 则. 引理6-8证明祥见文

14、12.引理9.(见文10,引理3) (forbenius)如果,那么.3.主要结果及证明3.1 秩幂等的刻画定理2. 设为任意数域,满足(2.1)(2.2)(2.3),则下列命题等价:(1) ; (2) 引理3,(2.2) 中, ; (3) 证明: 由引理2,引理3知 , .由 得 则必有 , .否则存在 使得 , 则由引理4中(2.4)式可知又由引理8知 所以 由引理4中(2.5)知 由得 .这与式矛盾.故 ,.成立.由 , 知 则由引理4中(2.5)式可知,又由引理1可得. 由引理8知所以 .此定理说明秩幂等矩阵与2秩幂等矩阵在本质上是一样的.故在下面只要需讨论2秩幂等矩阵的情况即可.在引

15、理2,引理3,定理1中已证明矩阵的秩在相似条件下不变而且与数域无关,所有的数域都是复数域的子域,所以我们可以用复数域上的jordan标准形来研究.由上述的证明可知在(2.1)(2.2)(2.3)的所设下,的秩由的秩决定,而的秩由其零特征值的jordan块的阶数决定,即由决定(因为任意乘方后不改变秩),由此得到的充要条件为(3.1.2).而文10借助引理9来证明,因而未指出对的本质作用. 定理3. 则下列命题等价:(1) 其中 ，;(2) ; (3) 引理3,(2.2)中 , 且存在, 使得 .证明: 反证法,假设存在, 使得 .由引理4,(2.4)知若 , 则若 , 则因为，故总有而对任意的

16、都有, .所以 故 这与(1)矛盾.所以 , .往证存在 ,使得 .否则 .由引理4,(2.4)知, , 又 由引理4,(2.5)知, . 所以 .这与 矛盾.往证 因为 由引理4,(2.4)知.所以 即 又由引理1得.往证 同理的证明.注：由定理1可知, ,本质上说就是，归结为jordan 标准形就是定理2中的（2）,即零特征值是jordan最多是一阶的.事实上，却存在着，, .本定理就找到了一般的次秩幂等矩阵的等价刻画. ,在本质上就是归结为jordan形为定理3中的（3）.即零特征值的jordan块有阶的,且最高阶为阶的。其实旨为幂零块,幂零次数为,其乘方后的为引理4中所示.的秩完全由这

17、些幂零块的阶数决定. 这样我们可以对任意数域上的矩阵按秩幂等次数进行分类。即分别取这样矩阵可分为类.这是由零特征值的jordan块的阶数决定的.即，与，当且仅当时与是同一类的.可以证明这样的分类是可行的,满足分类的原则,即不重不漏.3.2 秩幂等矩阵与幂等矩阵 定理4. 满足(2.1)(2.2)(2.3), ,则为次幂等矩阵的充要条件是且为次单位根,且存在 使得,其中. 证明: , 由定理2知 .其中 .又 , . .所以 .往证 其中.否则,存在, 使得.设为的特征值,属于的特征向量为 , 则, 由知即 .若,则这与已知(存在 ,使得,其中)矛盾.,设为的特征值,属于的特征向量为 , 则,即

18、 由 得即 .所以或为次单位根.往证存在 , 使得,.否则,对任意,若存在，其中, 使得.则由充分性的证明知.这与已知矛盾.又为的零化多项式,且无重根.设为的极小多项式,则所以 也无重根.由引理7知, 可对角化.所以,.注: 幂等矩阵一定是秩幂等矩阵,但秩幂等矩阵不一定是幂等矩阵,此定理给出了秩幂等矩阵过渡到次幂等矩阵的充要条件. 特别地, 时,则 可逆矩阵 使得 其中为的秩, 且. 时, , 则存在可逆矩阵,使得 其中 为的秩,且.因为相似关系是等价关系,也即是经过一系列的初等变换而得的,所以我们就从本质上刻画了2次幂等矩阵与3次幂等矩阵.这是与文9-11所不同的.在此定理中，我们可以类似的

19、找到秩幂等过渡到幂等矩阵(不强调幂等次数的最小性)的充要条件.可表述为下面的定理.定理5. 满足(2.1)(2.2)(2.3) 且,则为幂等矩阵的充要条件为为次单位根,.证明同理定理4.定理4与定理5的区别是定理4给出了秩幂等矩阵到次幂等矩阵的充要条件.而定理5给出了秩幂等矩阵到幂等矩阵的充要条件.前者的条件更为严格.因为次幂等矩阵强调了幂等次数的最小性,而幂等矩阵并不强调幂等到次数的最小性而只是广泛的满足条件的矩阵.这两个定理说明次幂等矩阵与幂等矩阵的刻画是有差别的.定理6. 设 且满足(2.1)(2.2)(2.3)且为次秩幂等矩阵,则为次幂等矩阵的充要条件为且为次单位根,且存在,使得对任意

20、的都有. 证明： 1)由引理3知存在 , 使得因为由定理4知,.由引理4可知故 为次单位根，则，所以即 所以 .2) 因为为次秩幂等矩阵,则有,否则, 其中这与为次幂等矩阵矛盾.3) 因为存在,使得对任意的都有,故,.否则 存在 满足使得 .设的特征值为,属于的特征向量为则 .由得 .若 则 为次单位根. 这与已知中 存在,使得对任意的都有 矛盾.综合1),2),3)可得为次幂等矩阵.4）设的特征值为,属于的特征向量为则 .因为所以 .令 其中 ,因为 所以 又因为 ,由定理3知所以.由知, 故为 次单位根.5）往证.否则,存在 则 所以 则, 由引理1知 这与已知矛盾.故，成立.6）往证存在

21、,使得对任意的都有.否则对任意 存在使得 则由充分性中1)的证明知()这与为次幂等矩阵矛盾.定理7. 设且满足(2.1)(2.2)(2.3)且为次秩幂等矩阵,则 的充要条件为且为次单位根，.注：比较定理5，在前提条件的限定下的充要条件为且为 次单位根,.因为在下可保证其实质上就是要求可对角化而在定理7，只要求,（其中）就可以了，也即只要非零特征值的jordan块最多是一阶的这是因为在条件的限定下就保证了（其中这样就不需要限定也即不需要一定可对角化但定理5与定理7又是有联系的,特别的时定理7就是定理5的内容.文11给出了一个幂等矩阵的必要条件是的特征值是0或次单位根.我们可以证明这个条件不是充分

22、的.例如令 其特征值为其中为2次单位根.但.与文11中的结果相比,此定理给出了秩幂等到幂等的一个充要条件.事实上,若放弃秩幂等的大前提,我们用类似的方法可以找到矩阵为幂等的一个充要条件.推论1:设满足(2.1) (2.2)(2.3),则为幂等矩阵(满足定义5)的充要条件其特征值为0或次单位根,且与7相比,我们找到了判定幂等矩阵(满足定义5)的一个充要条件.结束语本文主要从矩阵的秩的幂等性，幂等性以及两者之间的关系三个方面来讨论，前人的讨论大都讨论幂等矩阵秩的等式与不等式幂等矩阵线性组合的幂等性等方面。本文的不同就是从反面出发，矩阵的秩的幂等性出发来研究幂等矩阵本文所采用的方法主要是jordan标准形的方法与极小多项式的理论.进一步给出了矩阵秩幂等性与幂等性的刻画，其中每个定理的内容都是新颖的.主要包括的本质就是.过渡到次幂等矩阵的充要条件,找出了秩幂等矩阵与次幂等矩阵的联系. 进一步刻画次秩幂等矩阵的特征. 过渡到的充要条件.还可以对幂等矩阵的分类进行讨论.本文给出