2020—2021年西城区高三数学理科期末试题及答案

1、2020-2021年西城区高三数学理科期末试题及答案高三数学(理科)第I卷(选择题共40分)2020.1(C) 0(D) 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选岀符 合题目要求的一项.1. 设集合A = l,0,l, B = xx2-x<29 则集合ACB=()(A) 一1,0(B) 1,0<C) 0,12. 设命题：V平而向量“和b. a-b<a + b9则一炉为()(A) 平而向量"和b . a-ba + b(B) 日平面向量"和b > ab<Aa l + ll(C) 弓平而向量。和b 9 a-b&

2、gt;a + b(D) 日平而向量“和 b , ab I a + b3. 在锐角AABC中，角A, B, (7所对的边分别为b, c.若a = 2bsin B =,贝ij (4(A)371(B) A = 6(C)sin卡(D) sinA = -34. 执行如图所示的程序框图，输出的x值为(A) 4(B) 5(C) 6(D) 75. 设函数f（x） = 3x+bcosx, xeR>则“ b = 0”是“函数/（x）为奇函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么关于那个四棱锥，下列说法中正确的是（

3、）<A）最长棱的棱长为A（B）最长棱的棱长为3（C）侧而四个三角形中有且仅有一个是正三角形正（主）视图H1M侧（左）视图俯视图（D）侧而四个三角形差不多上直角三角形7.已知抛物线C:y2=4xf点P（心0）, O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点0,使得ZOQP = 90 ,则实数加的取值范畴是（)(A) (4,8)(B) (4,+oo)(C) (0,4)(D) (&+oo)Ix+yWl,2“声7表示的平而区域，点B（a9b）为坐标平面内一点，若关于区域D内的任一点A（x9y）9都有OA 081成立，贝怙+b的最大值等于（）（A） 2（B） 1第II卷(非选择题共110分)二、填

4、空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.复数 Z =,贝 ljlzl= l + 2i10设件只为双曲线C： 4- = 1(«>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，假如 cr 162X3ya32125szIPFJ-IPF, 1=4,那么双曲线C的方程为:离心率为.11在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y + z=E，F，且” =2近那么磊=:ZA= 12.如图，在MBC中，以BC为直径的半圆分别交AB. AC于点13现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演岀顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目

5、，那么演出顺序的排列种数是(用数字作答)14设P, 0为一个正方体表而上的两点，已知此正方体绕着直线P0旋转0 (0<<2n) 角后能与自身重合，那么符合条件的直线P0有条.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写岀必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)已知函数/(x) = 2jJsin=cos = + cosxGR的部分图象如图所示.442(I) 求函数/(X)的最小正周期和单调递增区间；(II) 设点B是图象上的最髙点，点A是图象与x轴的交点，求tanZBA O的值.16. (本小题满分13分)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情形如下:(1)

6、投资股市：投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率1132S8(2)购买基金:投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率P13q(I) 当/?=-时，求g的值；4(II) 已知甲、乙两人分别选择了 “投资股市”和“购买基金”进行投资，假如一年后4他们中至少有一人获利的概率大于上，求的取值范畴：5(III) 丙要将家中闲巻的10万元钱进行投资，决泄在"投资股市”和“购买基金”这 两种方案中选择一种，已知"=,g =丄，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投2 6资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由.17. （本小题满分14分）如图，在四棱柱 ABCD A4G9 中，A&q

7、uot;丄底 ABCD> ZB AD = 90 , ADH BC、RAA = AB = AD = 2HC = 2 ,点E在棱AB上，平而与棱相交于点F（I）证明：F /平面妨CE;DDi（II）若E是棱AB的中点，求二而角-EC-D的余弦值;（HI）求三棱锥BfEF的体积的最大直18（本小题满分13分）已知函数f（x） = mF _bx（u > 0）和g（x） = In x的图象有公共点P，且在点P处的切线相 同.（I）若点P的坐标为（丄,一1）,求a b的值:e（II）已加a = b,求切点P的坐标.19（本小题满分14分）2 2已知椭圆G + = 1的右焦点为F,右顶点为儿 离

8、心率为&点P（m0）（?>4）满16 12足条件IMIL4PI（【）求加的值：（II）设过点F的直线/与椭圆C相交于M, N两点,记WMF和APNF的而积分别 为S2,求证:詈惴20.(本小题满分13分)设函数/(x) = x(9-x),关于任意给是的加位自然数仏=仏1(其中q是个位数 字，“2是十位数字，)，定义变换A： A(n0) = /(a,) + /(a2) + . + /(aOT).并规定A(0) = 0.记 q=A(qJ, n2 = A(nt), nk = A(n),(I)若 q)=2O15,求®oi5：(ID当"J3时，证明：关于任意的加gN)位

9、自然数"均有A(”)(III) 假如n0<l(r(mNm>3),写出山的所有可能取值.(只需写出结论)北京市西城区2020 2020学年度第一学期期末高三数学(理科)参考答案及评分标准2020.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共4()分1. C2. D3A4. C5. C6. D7B8. A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 110 U7541611. 1212.-7142313. 9614. 13注：第10, 12题第一问2分.第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15. (本小题满分13分

10、)(I )解：因为/(x) = 2j?sincosi + cos442=/3sin + cos- 2 分2 2= 2sin(+ ) > 4 分2 6因此7斗=4l2故函数f(x)的最小正周期为4兀6分由题意，得2kn- + -2kTi + -,2 2 6 2解得 4,3 313分因此 tanZBAO = =AC 3兀16. （本小题满分13分）（I）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，因此 “+* + ?二1. 2 分乂因为P = »4因此炉丄312分（II）解：记事件A为“甲投资股市IL盈利”，事件B为“乙购买基金

11、J1盈利”,事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C=ABJABJAB 9 且£ B 独立.由上表可知，P(A)=-，P(B) = p2因此 P(C) = P(AB) + P(AB) + P(AB)分因为p（g =丄+丄p>幺225因此/?>-.5又因为 p + £ + g = 1，qNO » 因此g|.因此|<吨.8分（HI）解：假设丙选择“投资股票'方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位: 万元），因此随机变量X的分布列为:X40-2113p288分贝'JeX=4x1 + 0x1 + （-2）x- =

12、-.10 分2884假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记r为丙购买基金的获利金额（单位：万元），因此随机变量Y的分布列为：Y20-1111p236K'JEy = 2xl + 0xl + （-l）xl = -12 分236 6因为EX>EY,因此丙选择“投资股市S才能使得一年后的投资收益的数学期望较大. 13分17. （本小题满分14分）（I）证明：因为ABCD-时&口是棱柱，因此平而ABCD/平面又因为平而ABCDD平而AECF = EC ,平而AQCp D平而A.ECF = AF .因此 AF / EC.4又因为AF (Z平而gCE，ECU平而B】CE，因此Af 平

13、而qCE分(II )解：因为 AA _L 底而 ABCD，Z.BAD = 90 »因此AA > AB, AD两两垂直，以A为原点，以AB. AD AA】分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系.则人(0,0,2), E(l,0,0), C 1,0),因此莊= (1,0,-2),犹=(2丄-2).设平而A.ECF的法向量为不=4<7? = 0,得<x - 2z = 0, 2x + y-2z, = 0.令z = l,得不=(2, 2,1)又因为平而DEC的法向量为” =(0.0.1),I* 一Hl RI因此 cos < m. n >= 一，I m l-

14、lnl 3由图可知，二面角-EC-£>的平面角为锐角,因此二而角A,-EC-D的余弦值为| (III)解：过点尸作册丄A3于点M,10分因为平而人ABB丄平而加 u平而A禺CQ,因此FM丄平面A.ABB. y因此 V“f =Vf_w=|xSiWxFM12分1 2x22=-xx FM = FM 3 23因为当尸与点§重合时，FM取到最大值2 （现在点E与点B重合），因此当F与点q重合时，三棱锥BfEF的体积的最大值为扌. 1418. （本小题满分13分）(I)解:由题意，得 e e" e分且 ff(x) = 2ax-b , gx) = -，x分由已知，得广(b

15、 = gC)，即-/? = e, e e e解得a = 2e2, b = 3c.(I【)解：若 a = b,则厂(x) = 2ax-a > gr(x) = -, x设切点坐标为(站)，其中s>0,由题意，得as2 -as = ns ,2as-a = - >由，得a代入，得=一!一，其中$工1, 5(25-1)2s 1.=ln5 2s 1（*）因为因此,>!X 1I设函数 F(x) = InX , xe(-,+x),2x 12则 F(Q = 4'T)aT).x(2x-l)2令r(A)=o，解得x=i或x = -(舍).io分4当x变化时，F与F(x)的变化情形如下

16、表所示，X中)1F'(x)+0F(x)/分因此当*1时，尸取到最大值F(l) = 0,且当xe(lj)U(L-)lMF(A)<0.因此,当且仅当兀=1时") = 0.因此方程(*)有且仅有一解$ = 1.因此 / = ln$ = 0,因此切点P的坐标为(1,0)13分19(本小题满分14分)2 2(I )解：因为椭圆C的方程为+= 1>16 122分3分因此 a = 4, b = 2yf3 , c =b = 2,i则 = _ = _, |朋|=2, I4PI=加一4 a 2因为FA 21I AP 加一 42(1【)解：若直线/的斜率不存在，则有S严S2, IPMT

17、PNI，符合题意.6分若直线/的斜率存在，则设直线/的方程为y = k(x-2), MUpy,), N(x2,y2).由E +匚1，1,1 1 16 12y = k(x-2)9得(4/+3)F 16RU + 16R248 = 0,分因此A()W20m6分可知>o恒成立，且旺+总=-一，粘=叹二4L+34L+3因为Ux、一 2)(x2 8) + k(x2 2)(x, 8)(Aj 8)(x2 8)2kxx2 -10(%, +x2) + 32k(X 8)(七8)因此16«22帯匕(册一8)(*2 8)如PF = NPF 12因ZWF和泌的而积分別为心加WnZ嘶,13S冷加沁N",分1420(本小题满分13分)(I )解:fit =14 + 0 + 8 + 20 = 42 , n2 = 20 +14 = 34 > n3 =18 + 20 = 38 , nA = 18 + 8 = 26 > 畀5 = 14 +18 = 32 , n6 = 18 +14 = 32 > 因此 6ois=32. 39 . 81分(II)证明：因为函数/(a)=a(9x) = _(x_2)因此关于非负整数X,知/(x)f(9-x)W20(当x = 4或5时，取到最大值)4分令 g(m) = 10心一