圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系06949

1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系同圆重合的两个圆重合的两个圆OOO等圆半径相等的两个圆半径相等的两个圆同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等第1页/共33页圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系弧弦ABCD等弧在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧第2页/共33页如图：以圆心O O为顶点作一个角，这个角的两边与圆O O相交，如果设这个角是，那么OAOA、OBOB分别与O O相交于点与点 顶点在圆心的角称为圆心角，把以点和点B的端点的弧AB称为圆心角所对的弧，把象这样的以圆心到弦的距离称为弦的弦的弦心距(OBAM第3页/共33页练习：判别下列各图中的角是

2、不是圆心角， 并说明理由。OOOO第4页/共33页圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在等圆中ABOABO 这两个这两个相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弦弦分别是哪两条？分别是哪两条？它们它们相等相等吗？吗？ 这两个这两个相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧分别是哪两条？分别是哪两条？它们它们相等相等吗？吗？用尺量一量！用尺量一量！两位同学先作一个度数相同的圆心角！两位同学先作一个度数相同的圆心角！用什么方法验证的用什么方法验证的?叠合法叠合法第5页/共33页根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位的位置时，置时， AOBAOB，射线，射线

3、 OA与与OA重合，重合，OB与与OB重重合而同圆的半径相等，合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点点 A与与 A重重合，合，B与与B重合重合OAB探究探究OABABAB二、二、.ABA B 重合，AB与AB重合 如图，将圆心角如图，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置，你的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？能发现哪些等量关系？为什么？与与第6页/共33页圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABOABO相等的圆心角相等的圆心角所对的弧相等所对的弧相等，所对的弦相等所对的弦相等，所对的弦心距相等前提条件前提条件OAABBDD第7页/共33页三、巩固应用、变式练习三、巩固应用

4、、变式练习1 、 判断题，下列说法正确吗？为什么？判断题，下列说法正确吗？为什么？AOBBA（2）在）在 O和和 O中，如果中，如果 AB=AB,那么那么AB=AB.（不对）（不对）（不对）（不对）（1）如图：因为）如图：因为AOB=AOB， 所以所以AB=AB.第8页/共33页圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(1)定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弦 相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。 思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：条件：条件：结论：结论：在等圆或同圆中在等圆或同圆中圆心角相等圆心角相等圆心角所对弧相等圆心

5、角所对弧相等圆心角所对弦相等圆心角所对弦相等圆心角所对的弦心距相等圆心角所对的弦心距相等演示猜想：猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？交换位置，有怎样的结果？第9页/共33页圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABCDO在自己的圆内作两条长度相同的弦，量在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一量它们所对的圆心角一量它们所对的圆心角第10页/共33页圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系ABOABO 两位同学作一条长度相同的弦，看一两位同学作一条长度相同的弦，看一看它们所对的圆心角是否相同看它们所对的圆心角是否相同第11页/共33页(2) 推论：在同

6、圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。OAABBDD第12页/共33页在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的，相等的弧所对的圆心角弧所对的圆心角_， 所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角，相等的弦所对的圆心角_，所对的弧，所对的弧_弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等。相等相等相等相等相等相等相等相等同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等三、定理三、定理第13页/共3

7、3页推推论论在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心距两条弦心距中中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那么它们所对应的那么它们所对应的其余各组量都分别相等其余各组量都分别相等. .OABDABD如由条件如由条件:AB=AB AB=AB OD=OD可推出可推出AOB=AOB第14页/共33页一一.判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：1相等的圆心角所对的弧相等。（相等的圆心角所对的弧相等。（ ）2相等的弧所对的弦相等。（相等的弧所对的弦相等。（ ）二二. .如图，如图，O O中，中，AB=CD,AB=CD, ，则，则

8、501._2 O OD DC CA AB B12试一试你的能力试一试你的能力50o第15页/共33页 如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗？相等吗？为什么？为什么？CABDEFOAOBCOD AB=CDAOBCOD AB=CD四、练习四、练习CD=ABCD=ABCD=AB OEOF证明：证明： OEAB OF CD ABCD AECF OAOC RtAOE Rt COF OEOF第

9、16页/共33页 顶点在圆心的圆心角等分成360360份时，每一份的圆心角是1 1的角，整个圆周被等分成360360份，我们把每一份这样的弧叫做1 1的弧。 （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）结论：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。1 1弧的概念：弧的概念：第17页/共33页证明： AB=AC又ACB=60， AB=BC=CA. AOBBOCAOC.ABCO五、例题五、例题AC=AB例例1 如图，在如图，在 O中，中， ,ACB=60,求证求证AOB=BOC=AOCAC=AB第18页/共33页PABCDOMN 例例1：如图，点如图，点O是是EPF平分线上的一点，平分线上的一点，以以O为圆心

10、的圆和角的两边分别交于点为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和和C、D 求证：求证：AB=CD证明：作证明：作OMAB，ONCD，M、N为垂足，为垂足，MPO=NPOOMABONCD OMON ABCD 第19页/共33页ABCDOMN变式变式1 1：第20页/共33页OABCDEFPMN变式变式2：已知：如图，已知：如图， O的弦的弦AB，CD相交相交于点于点P，APO=CPO 求证：求证：AB=CD第21页/共33页ABCDMNO如图如图M、N为为AB、CD的中点的中点,且且AB=CD.求证：求证：AMNCNM变式变式3 3：第22页/共33页例例2 2、在、在O O中，弦中，弦ABAB所

11、对的所对的劣弧为圆的劣弧为圆的1/31/3，圆的半径为，圆的半径为2 2厘米，求厘米，求ABAB的长的长ABOC例3 3、已知 ABAB和CDCD为O O的两条直径, ,弦CEAB, ECCEAB, EC弧的度数等于4040. . 求BODBOD的度数。E EA AD DO OB BC C第23页/共33页 2 2、已知：如图，、已知：如图，O O中，中， ABAB、CDCD交于交于E E，AD=BCAD=BC。求证：求证：AB=CDAB=CD。EODCAB四、课堂练习四、课堂练习1 1、在、在O O中，直径为中，直径为1010厘米，厘米，ABAB弧是圆的弧是圆的1/41/4，求弦，求弦ABA

12、B的长。的长。第24页/共33页3 3、如图，、如图，O O中弦中弦ABAB，CDCD相交于相交于P P，且，且AB=CD.AB=CD.求证：求证：PB=PDPB=PDPABCDO第25页/共33页思考题：思考题：已知已知AB和和CD是是 O的两条弦，的两条弦，OM和和ON分别是分别是AB和和CD的弦心距，如果的弦心距，如果ABCD，那么那么OM和和ON有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角、在同圆或等圆中，大弧

13、所对的圆心角 也较大。也较大。第26页/共33页二、弦、弦心距之间的不等量关系二、弦、弦心距之间的不等量关系已知已知 O中，弦中，弦ABCD，OMAB，ONCD，垂足分别为，垂足分别为M，N，求证：求证：OMCD，那么OMON。第27页/共33页 1 1、一条弦把圆分成3 3：6 6两部分，则优弧所对 的圆心角为 . . 2 2、A A、B B、C C为O O上三点，若 、 、 的度数之比为1 1：2 2：3 3， 则AOB=AOB= ， BOC=BOC= , COA=, COA= . . 3 3、在O O中，ABAB弧的度数为6060，ABAB弧的长 是圆周长的 。 4 4、一条弦长恰好等于

14、半径，则此弦所对的圆 心角是 度。三、基础练习：三、基础练习：240601201801/660AmBBCABCD第28页/共33页6、如图，弦AB所对的劣弧为圆的 ,则AOB= . ACB= 31C CO OA AB B5、弦长为24cm,这条弦的弦心距为 cm， 这条 弦所对的圆心角是 度，圆的半径是 。34120cm3812060第29页/共33页三三, 如图，在如图，在 O中，中，AC=BD， ,求求2的度数。的度数。你会做吗你会做吗?145 解解: AC=BDAC=BD（已知）（已知） AB=CDAB=CD1=2=451=2=45（在同圆中，相等的弧所对的（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）圆心角相等） 图 23.1.5 AC-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC （等式的性质）（等式的性质）第30页/共33页如图，AB是 O 的直径， COD=35，求AOE 的度数AOBCDE