初中数学一元二次方程总复习知识点梳理

1、一元二次方程总复习考点 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程一般形式： ax2 bx+c=0(a 0）。注意： 判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。考点 2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如 (x+a） 2=b（ b 0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。X+a=bx1=-a+bx2 =-a-b2.配方法： 用配方法解一元二次方程：ax2 bx+c=0(k 0）的一般步骤是： 化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；配

2、方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；如果b 0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b 0，则原方程无解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程的求根公式是bb 24ac2 4ac 0)。步骤：把方程转化为一般形式；确定a，x2a(bb， c 的值；求出b2 4ac 的值，当 b2 4ac 0 时代入求根公式。4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若ab=0，则 a=0 或 b=0 。步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等

3、于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a 0因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a， b， c的值；若b2 4ac 0，则方程无解 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式如2(x 4) 2=3（ x 4）中，不能随便约去 x4。 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法 （除特别要求外） 但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分

4、解法公式法6一元二次方程解的情况 b2 4ac 0方程有两个不相等的实数根； b2 4ac=0 方程有两个相等的实数根； b2 4ac 0方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用b2 4ac 解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点 3：根与系数的关系 :韦达定理bc对于方程 ax2bx+c=0(a 0）来说， x1 +x2 = a ， x1 x2=a 。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 x12x22( x1x2 )22 x1 x211x1x2x1x2x1 x2。解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一

5、个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。二、经典考题剖析：【考题 1 1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（A ax2bx+c=0B. k2 x 5k+6=0）1C.3x2 2x+ x =0D.( k2 3) x2 2x+1=0【考题 1 2】解方程： x2 2x 3=0【考题 1 3】（2009、青岛， 6 分）已知方程5x2+kx 10=0 一个根是 5，求它的另一个根及k 的值三、针对性训练：1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）211A.3(x1)2(x 1)B. x2y2 0C.ax2bxc0D.x 22xx 212、若 2x23与2x4互为相反数，则 x的值为(

6、 )11A 2B 、2C、± 2D、±23、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A.x2-2x-99=0 化为 (x-1)2=100B.x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25(t7) 281( y2 ) 210C.2t2-7t-4=0 化为416D.3y2-4y-2=0 化为394、关于 x 的一元二次方程(m 1)x2xm22m30 的一个根为 x=0 ，则 m 的值为（）A m=3 或 m= 1B m= 3 或 m= 1C m= 1D m= 35、 (2009 济南 )若 x1， x2是方程 x25x+6=0 的两个根，则x1 +x2 的值是（）A .1B.5

7、C. 5D.6116、 (2009 眉山 ) 若 x1， x2 是方程 x23x 1=0 的两个根，则x1x2 的值为（）11A.3B. 3C. 3D 37、 (2009 潍坊 ) 若 x1 ， x2是方程 x2 6x+k 1=0 的两个根，且x12x2224，则 k 的值为（）A.8B. 7C.6D.58、 (2009 成都 ) 若关于 x 的方程 kx2 2x 1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A.k 1B. k 1 且 k0C. k 1D. k 1 且 k 09、已知一元二次方程x 2+2x 8=0 的一根是2，则另一个根是 _.10、(2009 泰安 ) 若关于 x的

8、方程 x 2+（ 2k+1 ）x+2 k 2=0 有实数根，则 k 的取值范围是 _11、解方程： (1) 2(2 x3)232;(2)3 y( y 1)2( y 1) ;(3) 3(4x29) (2x 3)=0;(4) x2 6x+8=0k24 =0 有两个不相等的实数根，12、 (2009 鄂州 )关于 x 的方程 kx +(k+2)x+(1)求 k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；

9、 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1± x）2=b ，其中 a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率） ， b 表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。 经济利润问题：总利润=（单件销售额单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额总成本。 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意

10、检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性二、经典考题剖析：C【考题 1】（2009、深圳南山区） 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为 130平方米的花圃（如图12 1），打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为33 米的旧围栏，求花圃的长和宽解：设与墙相接的两边长都为x 米，则另一边长为33 2x 米，依题意得 x 33 2x 130，132 x233 x1300 x110x22又 当 x110 时， 332 x13当 x21320 152 时， 33 2xx13x 102 不合题意，舍去答：花圃的长为13 米，宽为10 米【考题 2】（ 2009、襄樊）为

11、了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10平方米提高到12.1 平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（）A.9 B.10C. 11D.12解：设年增长率为x，根据题意得10(1+x)2，=12.1解得 x1=0.1 ， x2 = 2.1因为增长率不为负，所以x=0.1 。故选 D 。【考题 3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少 20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克

12、应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x 元，依题意，得(500 2 0 x) （10+x ） =6000整理，得x 2 15x 50=0解这个方程，x 1 =5， x 2 =10 要使顾客得到实惠，应取x=5 答：每千克应涨价5 元点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况【考题 4】如图，在 ABC 中， B=90°，AB=5 ，BC=7 ，点 P 从 A 点开始沿AB 边向点 B 点以 1cm/s的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 .（ 1）如果点 P、 Q 分别从 A 、 B

13、 两点同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于4？（ 2）如果点 P、 Q 分别从 A 、 B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于5？CQBPA解：（ 1）设经过x 秒钟， PBQ 的面积等于4，则由题意得AP=x ， BP=5 x， BQ=2x,11由 2 BP· BQ=4 ，得 2 （5 x）· 2x=4，解得， x1 =1，x 2 =4当 x=4 时， BQ=2x=8 7=BC ，不符合题意。故x=1（ 2）由 BP 2 +BQ 2 =5 2 得（ 5 x） 2 +（ 2x） 2 =5 2 ,解得 x1=0 （不合题意）， x2=2 所以 2 秒后， PQ 的

14、长度等于5。三、针对性训练：1小明的妈妈上周三在自选商场花10 元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0 5 元，结果小明的妈妈只比上次多花了2 元钱，却比上次多买了 2 瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元。为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4 元，那么平均每天就可多售出8 件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装应降价多少？3在宽为 20 米、长为

15、32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540 米 2，道路的宽应为多少？20m32m4小红的妈妈前年存了5000 元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145 元 .求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5如图 12-3 ， ABC 中， B=90 °，点 P 从 A 点开始沿AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动。（ 1）如果 P、Q 分别从 A 、 B 同时出发，经几秒钟，使ABQ 的面积等于8cm2?(2) 如果

16、 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进， Q 以 C 后又继续在 AC边上前进，经几秒钟，使PCQ 的面积等于12.6 cm2 。1解：依题意，得：2 （ 6-x）·2x=8解这个方程得：x1=2 ，x2=4即经过 2s，点 P 到距离 B 点 4cm 处，点 Q 到距离 B 点 4cm 处；经过4s，点 P 到距离 B 点 2cm 处，点 Q 到距离 B 点 8cm 处。故本小题有两解。（ 2）设经过 x 秒，点 P 移动到 BC 上，且有 CP=（ 14-x）cm, 点 Q 移动到 CA 上，且命名 CQ=（ 2x-8 ）cm，过 Q 作

17、 QD CB 于 D 。 CQD CAB ，QDAB6(2x8) 2x 8AC ，即 QD=10。16( 2x8)依题意，得：2 （ 14-x ）·10=12.6，解这个方程得：x1=7 ，x2=11经过 7s，点 P 在 BC 距离 C 点 7cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 6cm 处，使 S PCQ=12.6cm2经过 11s，点 P 在 BC 距离 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距离 C 点 14cm 处，14 0,点 Q 已超出CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。中考真题1.钟老师出示了小黑板上的题目 (如图 1 2 2）后，小敏回答： “方程有一根

18、为 1”，小聪回答： “方程有一根为 2”则你认为（ ）A 只有小敏回答正确B只有小聪回答正确C两人回答都正确D两人回答都不正确2.解一元二次方程 x 2 x12=0，结果正确的是（）A x1 = 4， x 2 =3B x 1 =4， x 2 = 3C x1 =4， x 2 = 3D x 1 =4，x 2 =33.方程 x( x3)(x3) 解是（）A x 1 =1B x 1 =0 ， x 2 = 3C x 1 =1，x 2 =3D x 1 =1， x 2 = 34.若 t 是一元二次方程ax 2 bx+c=0(a 0）的根，则判别式= b 2 4ac 和完全平方式 M=(2at+b) 2的关

19、系是（）A =MB MC MD 大小关系不能确定5.方程 x2 (x1)0 的根是（）A 0B 1C 0， 1D0，16.已知一元二次方程x2 2x 7=0 的两个根为 x 1 ， x 2，则 x1 + x 2 的值为（）A 2B 2C 7D 77.已知 x 1 、 x 2 是方程 x2 3x 1 0的两个实数根，则11的值是 ()x1x21A 、 3B、3 C、3D 、 18.用换元法解方程 (x 2 x) 2 (x 2 x) 6 时，如果设 x2 x y，那么原方程可变形为（）A 、 y 2 y 6 0B 、y 2 y6 0C、y 2 y6 0D、 y 2 y 6 09.方程 x2 5x=

20、0 的根是（）A 0B0，5C5，5 D510.若关于 x 的方程 x2 2x k=0 有实数根，则（）A k 1， B k 1 C k 1 D k 111.如果一元二次方程x 2 4x 2 0 的两个根是 x 1 ， x 2 ，那么 x 1 x 2 等于（）A.4B. 4C.2D. 212.用换元法解方程 (x2 x)x 2x 6 时，设x 2 x y，那么原方程可化为（）A. y2 y 6 0B. y 2 y 6 0C. y2 y 6 0D. y 2 y6 013.设 x 1 ， x 2 是方程2x 2 +3x-2=0 的两个根，则x 1 x 2 的值是()22A-3B 3C 3D 314

21、.方程 x 3 -x=0 的解是（）A0，1B 1， -1C0， -1D 0， 1， 1(x)25 x40时，若设 x=y, 则原方程15.用换元法解方程x1x1x+1_16.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是_17.方程 x2 x=0 的解是 _18.等腰 ABC 中，BC=8 ， AB 、BC 的长是关于 x 的方程 x 2 10x+m= 0的两根，则 m 的值是 _.19.关于 x 的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则 a 的取值范围是 _.20.解方程2x2 -9x+5=x-321.解方程： x 3 2x 2 3x 0.y=x+1x 2

22、 +y 2 =522.解方程组：23.解方程： 2（x 1） 2 +5（ x l ） +2=024.解方程： x 2 2x 2=025.解方程： x 2+5x+3=026.已知关于 x 的一元二次方程x2(k 1)x6 0 的一个根是2，求方程的另一根和k 的值27.已知关于 x 的一元 二次方程 ( k4) x 23x k 23k 40 的一个根为 0，求 k的值28.如图 1 23 为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为 20厘米，钟面数字 2 在长方形的顶点处，则长方形的长为_ 厘米（此题用到三角函数）中考预测题一、基础经典题( 44 分 )(一 )选择题

23、 (每题 4 分，共28分 )【备考 1】如果在 1 是方程 x 2 +mx 1=0 的一个根，那么m 的值为（）A 2B 3C 1D 2【备考 2】方程 2 x( x3)5( x 3) 的解是（）x 35C.x13, x253B.xD.xA 22【备考 3】若 n 是方程 x2mx n0 的根， n 0，则 m+n 等于（）A 7B 6C 1D 1【备考 4】关于 x 的方程 x2mxn 0 的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A m 0， n 0B m0， n 0C m 0， n = 0D m0， n 0【备考 5】以 5 26 和 5+26 为根的一元二次方程是（）A x21

24、0 x 1 0B x210 x 1 0C x210x 10D x 210 x 10【备考6】已知 x1， x2是方程 x 2 x 3=0 的两根，那么 x12x22 值是（）49A 1B 5C 7D、 41x2(m3)x m20m 的最大整数是（ ）【备考7】关于 x 的方程 4有两个不相等的实根，那么A 2B 1C 0D l（二）填空题（每题4 分，共 16分）【备考8】已知一元二次方程x 2 3x+1=0 的两个根为 x 1 ，x 2 那么（ 1+ x 1 ）（1+ x2 ）的值等于 _.【备考9】已知一个一元二次方程x 2 +px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则 P 的值是 _.【备考10】如图，在 ABCD中， AE BC 于 E，AE=EB=EC=a ，且 a 是一元二次方程 x 2+2x