2016年山西省太原市中考数学一模试卷含答案解析(DOC)

1、2016年山西省太原市中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑. 1 3 的相反数是（ ） A - 3 B. 一 C. 3 D.一 U Is* 2 下列运算正确的是（ ） 2 3 6 3、26632 A. x +x =x B . 2x+3y=5xy C. （x ） =x D. x x =x 3.从陕西省页岩气地质调查与评价获悉，我省页岩气资源储量约为 4.44 万亿立方米, 把 4.44 万亿用科学记数法表示为（ ） 8 10 11 12 A . 4.44X10 B . 4.4

2、4X10 C . 4.44XI0 D . 4.44X10 4 小明帮助做生意的父亲整理仓库， 在仓库的一角整齐地堆放着若干个相同的正方体货箱， 如图是小明画出的这堆货箱的三种视图，这堆正方体货箱共有（ ） （x - 1） =2 （x - 1） （x+1 ）,这一变形过程体现的数学思想主要是（ A 类比思想 B 转化思想 C 方程思想 D 函数思想 得亠-M &不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ） Is - 4x0 A 11 箱 B 10 箱 C 9 箱 D 8 箱 5 小明从一副扑克牌中取出 3 张红桃、2 张黑桃共 5 张牌与弟弟做游戏，把这 5 张牌背面 朝上洗匀后放在桌子上，小

3、明与弟弟同时各抽一张，两人抽到花色相同的概率是（ ABCD 是O O 的内接四边形，若/ C=140 ,则/ BOD 的度数为（ C 90 D 100 7 解分式方程 在方程的两边同时乘以 （x - 1）（x+1），把原方程化为 x+1+2x 6 如图，四边形 C A 70 B 80 第 1页（共 23页） D 1 9. 如图， 在钝角 ABC 中， AC v BC,用尺规在 BC上确定一点 P,使 PA+PC=BC，下面 是四个同学的作法（只留下了作图痕迹，未连接 PA）,其中正确的是（ ） 10. 如图，小明把一个边长为 10 的正方形 DEFG 剪纸贴在 ABC 纸片上，其中 AB=AC

4、=26， BC=20，正方形的顶点 D , G 分别在边 AB、AC 上，且 AD=AG，点 E、F 在厶 ABC 内部， 则点 E到 BC 的距离为（ ） 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，把答案写在答题卡对应的横线上. 2 11. 因式分解：a - 4= _ . AB 2 12. 如图，已知 AD / BE / CF, . : , DE=3，则 DF 的长为 _ . 13在一个纸箱中，装有红色、黄色、绿色的塑料球共 60个这些小球除颜色外其他都完全 相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一 过程，小明发现其中摸到红色球、

5、绿色球的频率分别稳定在 15%和 45%，则这个纸箱中黄 色球的个数可能有 _ 个. 14如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第 个图案有 4 个黑棋子，第 个图案有 9 个黑棋子，第 个图案有 14 个黑棋子，.依次规律，第 n个图案有 _ 个黑棋子.（用含 n的代数式表示）%* 图 圏 图 图 第 2页（共 23页）第 4页(共 23 页) 15.如图，已知正五边形 ABCDE , AF / CD，交 DB 的延长线于点 F，则/ DFA= _ 度. 16如图，直角三角形纸片 ABC，按如下方式裁剪后，所得的图形恰好是一个正方体的平 面展开图，如果 AB=10，则该正方体的棱长

6、为 _ . 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 0 2 17. (1)计算：2|+ (2 - n) - 4X. (2 )解方程:X2+4X - 2=0 . 18. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务. 古希腊的几何学家海伦在他的度量一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的 伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为 a、b、c,设 p=驾三，则三角形的面积 s= . 我国南宋著名的数学家秦九韶， 曾提出利用三角形的三边求面积的 秦九韶公式”(三斜求积 术):如果一个三角形的三边长分别为 a、b、c,则三角形的面积 的图象上，AB /

7、 X 轴，过点 A 作 AD 丄 X 轴于点 D,连接 OB 与 AD 相交于点 C,且 AC=2CD . (1 )求 m 的值; (1 )若一个三角形的三边长分别是 (2 )若一个三角形的三边长分别是 5, 6, 7,则这个三角形的面积等于 _ 口 0)的图象上，点 B 在反比例函数 第 5页(共 23 页) (2) 求反比例函数 y= 的表达式. 1第 6页(共 23 页) 20. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均 滞尘量的 2 倍少 4mg，若一年滞尘 1000m

8、g 所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550mg 所需 的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量. 21. 随着现代通讯工具的发展，学生带手机已经成为一种普遍现象， 手机对于学生的影响越 来越受到社会的关注.于是，某课题小组对此进行了问卷调查， 其中的一个问题有三个选项： 有利，无影响，有弊，要求每人必选且只选一项他们随即调查了若干名学生和家长，整理 并制作了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1 )求这次调查的家长人数，并补全图( 1); (2) 求图(2)中表示 有利”的扇形圆心角的度数； (3) 该地区约有 10 万名学生，据此估计学生认为带手机

9、有弊”的人数. 被调查学生和家恆对学生常手机的态度统计图 被调查冢味对学生講手机的态度统计區 22. 如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图， 处，此时，点 B 与旗杆 PQ 的顶部点 P 以及点 C 恰好在一直线上， (1 )已知旗杆的高为 10 米，在 B 处测得旗杆顶部点 P 的仰角为 30在 A 处测得点 P 的 仰角为 45求 A、B 之间的距离； (2)此时，在 A 处测得风筝 C 的仰角为 75设绳子 AC 在空中为一条线段，求 AC 的长.(结 果保留根号) 280 b 学生 210 140 140 so 70 ! U 赞成 无所谓 反对 无祈谓 沁 从地面 A 处放飞的风筝

10、几分钟后飞至 C PQ 丄 AB 于点 Q . 某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形 点 0 为矩形 ABCD 对角线的交点. 家长 .赞咸 第 7页(共 23 页) 23. 在学习完矩形的内容后， ABCD 中，AB=4 , BC=6 , 操作发现： 如图(1)所示，点 E 为 AD 边上任意一点，连接 EO 并延长与 BC 边交于点 F. (1 )小组成员甲发现 AE=CF ”请你完成证明； (2) _ 如图(2),连接 BE、DF ,小组成员乙发现 四边形 BEDF 的形状一定是 _ , 当 AE 的长为 _ 时，四边形 BEDF 是菱形”； 探究发现： 受前面两位组员

11、的启发， 小组成员丙与丁对图形进一步操作， 将图(2)中的 ABE 与厶 CDF 分别沿 BE 与 DF 进行翻折，点 A 与点 C 分别落在矩形 ABCD 内的点 A； C 处. (3) 如图(3),连接 AD , BC ；发现四边形 BADC 是平行四边形”，请你证明这个结论； (4) 如图(4),连接AC, AC 有最小值吗？若有，请你直接写出 AE 的长；若没有，请 说明理由. 2 24. 如图，抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A、B (3, 0)两点，与 y 轴交于点 C (0, - 3), 点 D 为顶点，连接 BC、BD、CD . (1) 求抛物线的表达式； (2)

12、试判断 BCD 的形状，并说明理由； (3) 将该抛物线平移，使它的顶点 P 与点 A 关于直线 BD 对称， 求点 P 的坐标并写出平移 第 8页（共 23页） 2016 年山西省太原市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑. 1. 3 的相反数是（ ） A . - 3 B C. 3 D. U Is* 【考点】相反数. 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为 0，采用逐一检验法求解即可. 【解答】 解：根据概念，3 的相反数在 3 的前面加-，

13、贝 y 3 的相反数是-3. 故选：A. 2. 下列运算正确的是（ ） A、 x +x =x B . 2x+3y=5xy C. （x ） =x D . x 畝=x 【考点】同底数幕的除法；合并同类项；幕的乘方与积的乘方. 【分析】原式各项利用合并同类项法则， 幕的乘方，以及同底数幕的除法法则计算得到结果, 即可作出判断. 【解答】解：A、原式不能合并，错误； B、 原式不能合并，错误； C、 原式=x6,正确； 3 D、 原式=x，错误. 故选 C . 3. 从 陕西省页岩气地质调查与评价获悉，我省页岩气资源储量约为 4.44 万亿立方米， 把 4.44 万亿用科学记数法表示为（ ） 8 io

14、 11 12 A . 4.44X10 B . 4.44X10 C . 4.44Xl0 D . 4.44X10 【考点】 科学记数法一表示较大的数. 【分析】科学记数法的表示形式为 aX0n的形式，其中 1 弓 a|v 10, n为整数.确定 n的值时, 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数 绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值v 1 时，n是负数. 【解答】 解：4.44 万亿=4440000000000=4.44 X012, 故选 D . 4 .小明帮助做生意的父亲整理仓库， 在仓库的一角整齐地堆放着若干个相同的正方体货箱, 如图是小明画出的这

15、堆货箱的三种视图，这堆正方体货箱共有（ ） 第 9页（共 23页） A . 11 箱 B . 10 箱 C . 9 箱 D . 8 箱第 10页(共 23页) 【考点】由三视图判断几何体. 【分析】易得这个几何体共有 3 层，由俯视图可得第一层正方体的个数， 由正视图和左视图 可得第二层，第三层正方体的个数，相加即可. 【解答】解：由俯视图可得最底层有 6 箱，由正视图和左视图可得第二层有 2 箱，第三层有 1 个箱，共有 6+2+1=9 箱. 故选：C. 5小明从一副扑克牌中取出 3 张红桃、2 张黑桃共 5 张牌与弟弟做游戏，把这 5 张牌背面 朝上洗匀后放在桌子上，小明与弟弟同时各抽一张

16、，两人抽到花色相同的概率是（ ） 列表法与树状图法. 先利用画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，再找出两人抽到花色相同的结果 数，然后根据概率公式求解. 【解答】解：画树状图为： 红 红红黒黒共有 20 种等可能的结果数，其中两人抽到花色相同的结果数为 o 5 所以两人抽到花色相同的概率=-= 故选 D . 6.如图，四边形 ABCD 是O O 的内接四边形，若/ C=140 则/ BOD 的度数为（ A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理. 【分析】根据圆内接四边形的性质求出/ A 的度数，根据圆周角定理解答. 【解答】 解：四边形 A

17、BCD 是O O 的内接四边形， / A+ / C=180 / A=40 由圆周角定理得，/ BOD=2 / A=80 故选：B.【考点】 红 红 da Ep 红红红黒 黒 红红纤黒 第 11页（共 23页） 7解分式方程 -=2时，在方程的两边同时乘以(X - 1)(x+1)，把原方程化为 X+1+2X X _ 1 x+1 (x - 1) =2( x - 1) (x+1 )，这一变形过程体现的数学思想主要是( ) A 类比思想 B 转化思想 C .方程思想 D 函数思想 【考点】解分式方程. 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，故利用的数学思想是转化思想. 【解答】解：解分式方程- 时，

18、在方程的两边同时乘以(x- 1) (x+1 )，把原方 X _ 1 Xrl 程化为 x+1+2x (x- 1) =2 ( x- 1) ( x+1)，这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想， 故选 B 2 - x 的解集在数轴上可表示为( 8- 4x 1, 解得 x丝. 则不等式组的解集是 X 丝. 故选 A 9. 如图， 在钝角 ABC 中， AC v BC,用尺规在 BC上确定一点 P,使 PA+PC=BC，下面 是四个同学的作法(只留下了作图痕迹，未连接 PA),其中正确的是( ) 【考点】作图一复杂作图. 【分析】首先根据线段的和差关系可得 BP=AP，进而可得点 P 应在 AB 的垂

19、直平分线上, 然后从选项中确定答案即可. 【解答】 解：I PA+PC=BC , BP+CP=BP , BP=AP , 点 P 应在 AB 的垂直平分线上， 根据线段垂直平分线的做法可得 D 正确；【考点】 【解答】 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集. 首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集. 岁2” - , 8 解： &不等式组 A B C. D 第 12页(共 23页) 10. 如图，小明把一个边长为 10 的正方形 DEFG 剪纸贴在 ABC 纸片上，其中 AB=AC=26 , BC=20，正方形的顶点 D，G 分别在边 AB、AC 上，且 A

20、D=AG，点 E、F 在厶 ABC 内部， 则点 E 到BC 的距离为（ ） 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质. 【分析】过点 A 作 AM 丄 BC,交 DG 于点 H, BC 于点 M，根据等腰三角形的性质和勾股 定理求出 AH ,再根据正方形的顶点 D , G 分别在边 AB、AC 上，且 AD=AG ,得出 DG 丄 AH , DH=HG= DG,求出 DH，再根据 AA 证出 ADH ABM，求出 AD，从而得出 AH，最 2 后根据 HM 的长减去正方形的长就是点 E 到 BC 的距离，代值计算即可得出答案. 【解答】 解：过点 A 作 AM 丄 BC ,交 DG 于点

21、 H , BC 于点 M , / AB=AC , BC=20 , BM=MC= BC=10 , 2 AHm； i.=. 1 i 厂=24, 正方形的顶点 D, G 分别在边 AB、AC 上，且 AD=AG , DG 丄 AH , DH=HG= DG , 2 / DG=10 , DH=5 , / BAM= / MAB，/ ABC= / ADH , ADH ABM , AD=13 , AH=HM=12 , 点 E 到 BC 的距离为：12 - 10=2 ； 故选 B .DEBffl- ilc 一一 一一 AEABAE2第 13页（共 23页） 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共

22、18 分，把答案写在答题卡对应的横线上. 11 .因式分解：a2- 4= (a+2) (a- 2) . 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】 直接利用平方差公式分解因式得出即可. 【解答】 解：a2- 4= (a+2) (a-2). 故答案为：(a+2) (a-2). AR 5 12.如图，已知 AD / BE / CF, 一一一 I, DE=3，则 DF 的长为 7.5 DC J 结果. 【解答】 解： AD / BE / CF, 更=塑/ U :， 即 =, :, 解得：EF=4.5, DF=DE+EF=3+4.5=7.5 . 故答案为：7.5. 13.在一个纸箱中，装有红色、黄色、绿

23、色的塑料球共 60 个这些小球除颜色外其他都完全 相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一 过程，小明发现其中摸到红色球、绿色球的频率分别稳定在 15%和 45%，则这个纸箱中黄 色球的个数可能有 24 个. 【考点】利用频率估计概率. 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近， 可以 从比例关系入手，设未知数列出方程求解.【分析】由平行线分线段成比例定理得出 ；，求出 Eg , DF=DE+EF，即可得出 第 14页(共 23页) 【解答】 解：共 60 个球，其中摸到红色球、绿色球的频率分别稳定在 黄球所占的比例为

24、100% - 15% - 45%=40% , 解得：x=24. 故答案为：24. 14如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第 个图案有 4 个黑棋子，第 个图案有 9 个黑棋子，第 个图案有 14 个黑棋子，.依次规律，第 n个图案有 5n -1 个黑棋子.（用含 n的代数式表示） 图（D 图2 图 图 【考点】规律型：图形的变化类. 【分析】仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系， 找到规律，利用规律求 解即可. 【解答】 解：观察图 有 5X1 -仁 4 个黑棋子； 图有 5 X2 -仁 9 个黑棋子； 图有 5 X3-仁 14 个黑棋子； 图有 5X4-仁 19

25、个黑棋子； 图 n有 5n- 1 个黑棋子, 故答案为 5n - 1 . 15.如图，已知正五边形 ABCDE , AF / CD，交 DB 的延长线于点 F,则/ DFA= 36 度. 【考点】多边形内角与外角；平行线的性质. 【分析】首先求得正五边形内角/ C 的度数，然后根据 CD=CB 求得/ CDB 的度数，然后利 用平行线的性质求得/ DFA 的度数即可. 【解答】 解：正五边形的外角为 360。巧=72 / C=180 - 72 =108 / CD=CB , / CDB=36 / AF / CD , / DFA= / CDB=36 故答案为：36.15% 和 45%, 设盒子中共

26、有黄球 x 个，则 第 15页（共 23页） 16如图，直角三角形纸片 ABC，按如下方式裁剪后，所得的图形恰好是一个正方体的平 2C -9 【考点】相似三角形的判定与性质；几何体的展开图；正方形的性质. 【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为 x,可得 EG=x，ED=3x，FG=3x，HE=x , 易证得 EFGSA AHE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程 _，：，解此 10 和 方程即可求得答案. 【解答】 解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为 x, 则 EG=x , ED=3x , FG=3x , BD=x , / AB=10 , AH=10 - 3x, / EG

27、 / AB , EFGAEH , .匚 出 正方体的棱长为一, 故答案为：. 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (1)计算：I-2|+ (2 - n) 0- 4X - 2 (2 )解方程：x2+4x - 2=0 . 【考点】实数的运算；零指数幕；负整数指数幕；解一元二次方程 -配方法. 【分析】(1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幕法则计算， 第三 解得: 2C 面展开图，如果 AB=10，则该正方体的棱长为 第 16页(共 23页) 项利用负整数指数幕法则计算，最后一项利用平方根定义计算即可得到结果； (2

28、 )方程利用配方法求出解即可.第 17页(共 23页) 【解答】 解：（1）原式=2+1 - 1 - 8=3 - 9=-6; （2）方程整理得：X2+4X=2 , 配方得：X2+4X+4=6，即（X+2 ） 2=6, 开方得：X+2= +7, 解得：Xi= - 2+ , X2= - 2 -、* , 18阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务. 古希腊的几何学家海伦在他的度量一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的 伦公式”如果一个三角形的三边长分别为 a b、c，设p= 则三角形的面积 5，6，7,则这个三角形的面积等于 6 _ . 0 )的图象上，点 B 在反比例函数 y= 1 x

29、x 的图象上，AB / x轴，过点 A 作 AD 丄 x轴于点 D,连接 0B 与 AD 相交于点 C,且 AC=2CD . (1 )求m 的值； 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式. 【分析】(1)把 A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得. (2)过点 B 作 BE 丄 x轴于 E,延长线段 BA，交 y 轴于 F,得出四边形 AFOD 是矩形，四 边形 OEBF是矩形，得出 S矩形AFOD=3 , S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得 AB=2OD ,即 OE=3OD ,即可求得矩形 OEBF 的面积，根据反比例函数系数 k 的几何意义即

30、可求得 k 的值. 【解答】 解：(1)：点 A (m, 3)在反比例函数 y=- (x0)的图象上， 二 3=，解得 m=1 , n (2)过点 B 作 BE 丄 x轴于 E,延长线段 BA，交 y 轴于 F, / AB / x 轴， AF 丄 y 轴， 四边形 AFOD 是矩形，四边形 OEBF 是矩形， AF=OD , BF=OE , AB=DE , 点 A 在双曲线 y=y= (x0) 上, -S 矩形 AFOD =3 , 同理 S矩形OEBF=k, / AB / OD , =鱼丄 一厂-=， AB=2OD ,第 19页（共 23页） DE=20D , S 矩形 OEBF=3S 矩形

31、AFOD=9 , k=9 , 20. 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物， 具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均 滞尘量的 2 倍少 4mg，若一年滞尘1000mg 所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550mg 所需 的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量. 【考点】分式方程的应用. 【分析】首先设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘 量为（2x - 4）毫克，根据关键语句 若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞 尘 550 毫克所需的国槐树叶的片数

32、相同， ”可得方程 = ，解方程即可得到答案，注 zx 4 x 意最后一定要检验. 【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘 量为（2x - 4）毫克，由题意得： 1000 = -=-, 解得：x=22, 经检验：x=22 是所列方程的解. 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 22 毫克. 21. 随着现代通讯工具的发展，学生带手机已经成为一种普遍现象， 手机对于学生的影响越 来越受到社会的关注.于是，某课题小组对此进行了问卷调查， 其中的一个问题有三个选项： 有利，无影响，有弊，要求每人必选且只选一项.他们随即调查了若干名学生和家长，整理 并制作了

33、如下两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1 ）求这次调查的家长人数，并补全图（ 1）; （2） 求图（2）中表示 有利”的扇形圆心角的度数； （3） 该地区约有 10 万名学生，据此估计学生认为带手机 有弊”的人数.反比例函数 y=.的表达式为 第 20页（共 23页） 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图. 【分析】（1）根据认为无所谓的家长是 80 人，占 20%，据此即可求得总人数； （2）禾【用 360 乘以对应的比例即可求解； （3 ）禾 9 用总人数乘以对应的比例即可求解. 【解答】 解：（1）这次调查的家长人数为 80 吃 0%=400 人，

34、反对人数是：400 - 40- 80=280 人， 补全图形如下： 械调查学生和家长对学生帯手机的态度统计艮 答：图（2）中表示 有利”的扇形圆心角的度数为 36 （3）琵10=1.5 （万人）， 估计学生认为带手机 有弊”的人数约为 1.5 万人. 22. 如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图， 从地面 A 处放飞的风筝几分钟后飞至 C 处，此时，点 B 与旗杆 PQ 的顶部点 P 以及点 C 恰好在一直线上，PQ 丄 AB 于点 Q . （1 ） 已知旗杆的高为 10 米， 在 B 处测得旗杆顶部点 P 的仰角为 30在 A 处测得点 P 的 仰角为 45求 A、B 之间的距离； （2

35、）此时，在 A 处测得风筝 C 的仰角为 75设绳子 AC 在空中为一条线段，求 AC 的长.（结 果保留根号）祯调查学生和家恢对学生带手机的态度绒计图 被调查家长对学生帯手机的态度统计區 无所谓 反对 答: 学生家长 B Q A D 【考点】 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】（1 ）在 RT BPQ 中利用 tanB=求出 BQ，在 RTA APQ 中根据等腰直角三角形性 BQ 质求出 AQ 即可. （2）如图作 AE 丄 BC 于 E,在 RT ABE 中求出 AE，在 RTA AEC 中求出 AC 即可. 【解答】解：（1）v PQ 丄 AB , / BQP= / AQP=9

36、0 在 RTA BPQ 中，T PQ=10,/ BQP=90 / B=30 tanB= 1 = , 3斑 BQ=10 _, 在 RTA APQ 中, APQ=90 -Z PAB=45 , AQ=PQ=10 , AB=BQ+AQ=10 *y + 10. 答：A、B 之间的距离为（10 二+10）米. （2）如图作 AE 丄 BC 于 E. AE=AB=5 _+5, / CAD=75 / B=30 /.Z C=45 在 RTA CAE 中，sinC=, AC， 五=53+5 . - 2 AC / AC= . - （ 5+5） =5 ；：+5 .二, 答：AC 的长为（5+5 ）米. 23在学习完矩

37、形的内容后，某课外学习小组对矩形的运动问题进行了研究，如图，在矩形 ABCD 中，AB=4 , BC=6，点 O 为矩形 ABCD 对角线的交点. 操作发现： 如图（1）所示，点 E 为 AD 边上任意一点，连接 EO 并延长与 BC 边交于点 F. （1 ）小组成员甲发现 AE=CF ”请你完成证明； 第仃页（共 23页），/ PAB=45 / B=30 AB=10 二 + 10, B Q A D 在 RTA ABE 中，/ AEB=90 第 22页(共 23页) (2) 如图(2),连接 BE、DF，小组成员乙发现 四边形 BEDF的形状一定是 平行四边形 ， 当 AE 的长为 时，四边形

38、 BEDF 是菱形”； E? 探究发现： 受前面两位组员的启发， 小组成员丙与丁对图形进一步操作， 将图(2)中的 ABE 与厶 CDF 分别沿 BE 与 DF 进行翻折，点 A 与点 C 分别落在矩形 ABCD 内的点 AC 处. (3) 如图(3),连接 AD , BC；发现四边形 BADC 是平行四边形”，请你证明这个结论； (4) 如图(4),连接AC, A C 有最小值吗？若有，请你直接写出 AE 的长；若没有，请 说明理由. 【分析】(1)由矩形的性质得到 OA=OC , AD / BC 从而得出 AOE COF,即可； (2)由矩形的性质和菱形的性质得出线段的关系，禾 U 用勾股

39、定理建立方程 16+X2=( 6 - x) 2,即可； (3)由对折的性质得出线段和角相等，判断出角相等，从而判断 平行且相等的四边形是平行四边形，即可； (4 )由 A C 最短，只有点A： C 在线段 EF 上，计算即可. (1)证明：如图 1,连接 AC : 点 0 在线段 AC 上, AD / BC: OA=OC : / AOE= / COF，/ EAO= / FCO : AOE COF, AE=CF ； 图2 (2)解：如图 2，连接 BD : 四边形 ABCD 为矩形， A B / C D，利用一组对边 (1) (2) 【考点】四边形综合题. 第 23页(共 23页) AB=CD，

40、/ BAE= / DCF : 由(1)有 AE=CF : DE=BF RtA ABE 也 Rt CDF , BE=DF , / EF=EF , 四边形 BEDF 是平行四边形. 设 AE=x，则 DE=6 - x, 四边形 BEDF 是菱形， BE=BD=6 -X, 在 Rt ABE 中，AB=4 , 根据勾股定理，得 AB 2+AE2=BE2, 2 2 16+x = (6 - X), x=二. 故答案为平行四边形， 图3 (3)解：如图 3，连接 BD，由(1)有，AE=CF , 四边形 ABCD 为矩形， / A= / C=90 AB=CD , AB / CD , Rt ABE 也 Rt

41、CDF , / ABE=CDF , 沿 BE 翻折，点 A 落在 A 处， Rt ABE 也 Rt ABE, A B=AB，/ ABE= / A BE= / ABA 2 同理可得，C D=CD，/ CDF= / C DF= / C DC, / ABA = / C DC , A B=C D , / ABO -Z ABA = / CDO -/ CDC , / OBA = Z ODC , A B / C D , 四边形 BA DC 是平行四边形； 第 24页(共 23页) (4) 解：如图 4，要使 AC 最小，只有点 A , C 落在矩形对角线 BD 上,第 25页(共 23页) 设 AE=x , EA=x, DE=6 - x,矩形的对角线 BD=门亠 丁卜=2 T , 由对折有 BA =BA=4 DA =BD - BA =2、厂-4, 在 Rt DEA 中，有 DE2=EA 2+DA 2 24.如图，抛物线 y=x +bx+c 与 x轴交于 A、