2016年3月石景山高三数学(理)试题及答案综述

1、高三数学（理科）第1页（共 11 页）石景山区 20152016 学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共 6 页，150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合M二x| x _0 , x R,N二x |x2：1 , x R，则M门N=（）A.10 ,1B.（0 ,1 ） C.（0,1D.【0,1）2设i是虚数单位，则复数2i在复平面内所对应的点位于（）1 -iA.第一象限B.第二象限C.第三象

2、限D.第四象限3下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）31A .y=x+1B. y = xC. y=D.y = XXx1 1 114.下图给出的是计算-的值的一个框图，2 4 610其中菱形判断框内应填入的条件是（）A.i 5B.i：5C .i 6D .i：65.某四面体的三视图如图所示,A.8B. 6.2该四面体四个面的面积中最大（）C .10D. 8.26.在数列 畀 中，“sn3n ”是“数列 畀 为递增数列”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.函数f（x）二As in （，x：W）（A 0,0,）的部分图象如图所示,2TT则将y

3、= f （x）的图象向右平移一个单位后，得到的函数图象的解析式6为（）2兀A.y =sin 2xB .y=sin（2x）nC .y =si n（2x）D .y =cos 2x恻（左视图高三数学（理科）第2页（共 11 页）&德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n如果n是偶数，就将它减半（即n）;如果n是奇数，则将它乘 3 加 1（即3n 7），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到21.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数规则施行变换后的第 8 项为 i （注：i 可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（）A

4、. 4B. 6C. 32D. 128第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.29双曲线一-y2=1的焦距是_ ，渐近线方程是 _2x 28,10.若变量X,y满足约束条件OWx兰4,则z = 2x+y的最大值等于 _0 Wy兰3,11如图，AB是半圆0的直径，.BAC =30,BC为半圆的切线，且BC =4J3，则点O到AC的距离OD=_.X = 1 + Sl的参数方程为（s为参数），曲线C的参数方程为I y = 1s（t为参数），若直线l与曲线C相交于A,B两点，则log2x ,x 0,13 .已知函数f （x）关于x的方程f（x），x-a=0

5、有且只有一个实根，则实数a的取值范2,x0,围是_.14. 某次考试的第二大题由 8 道判断题构成，要求考生用画“/和画“X”表示对各题的正误判断，每 题判断正确得 1 分，判断错误不得分请根据如下甲，乙，丙 3 名考生的判断及得分结果，计算出考生 丁的得分.第 1 题第 2 题第 3 题第 4 题第 5 题第 6 题第 7 题第 8 题得分甲XXVXXVXV5乙XVXXVXVX5丙VXVVVXXX6丁VXXXVXXX?八首项）按照上述12 在平面直角坐标系中，已知直线AB=高三数学（理科）第3页（共 11 页）丁得了_ 分.三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证

6、明过程.15.（本小题共 13 分）设厶ABC的内角A , B ,C的对边分别为a , b ,c,且bsin . 3acos B（i）求角B的大小；（n）若b = 3,si nC =2s in A，求a,c的值.16.（本小题共 13 分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果 6S 手机的 100 人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期频数3525a10b已知分 3 期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（i）求ab的值；（n）

7、求“购买手机的 3 名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有 1 名顾客分 4 期付款”的概率；（川）若专卖店销售一部苹果 6S 手机，顾客分 1 期付款（即全款），其利润为 1000 元；分 2 期或 3 期 付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元.用X表示销售一部苹果 6S 手机的利润， 求X的分布列及数学期望.高三数学（理科）第4页（共 11 页）17.（本小题共 14 分）的中点.（I）求证：AB、/ 平面BDC1；（H）求二面角C1_BD _C的余弦值;（川）在侧棱AAI上是否存在点P，使得CP丄平面BDC1?若存在，求出AP的长；若不存在，说明

8、理由.18.（本小题共 13 分）已知函数f （x） = sin x -xcosx.（I）求曲线y = f（x）在点（n,f（冗）处的切线方程；如图，三棱柱ABC _A B,C,中,AA1丄平面ABC,BC _ AC,BC = AC =2,AA、_3 ,D为AC高三数学（理科）第5页（共 11 页）（n）求证：当x三（0 ,）时，f （x） : - x3；23TT（川）若f （x）kxxcosx对x（0，）恒成立，求实数 k 的最大值.2高三数学（理科）第6页（共 11 页）19.（本小题共 14 分）x2v2J2已知椭圆C:二2=1（a b 0）的短轴长为2,离心率为，直线ab21l : y

9、 = kx m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点（0，_ ）.2（I）求椭圆C的标准方程；（）求厶AOB（O为坐标原点）面积的最大值.20.（本小题共 13 分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列a 的前n项和S =a，则称a 是“回归数列”nnmnJ（I）前n项和为Sh=2的数列 an是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为bn=2n的数列bn是否是“回归数列”？并请说明理由；（H）设an是等差数列，首项a1日，公差dcO，若an是“回归数列”，求d的值；（川）是否对任意的等差数列an，总存在两个“回归数列”bn和cn,使得an=bn-cn（n三N*）成立，请

10、给出你的结论，并说明理由.高三数学（理科）第7页（共 11 页）石景山区 2015 2016 学年第一次模拟考试高三数学（理）参考答案、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案DBDACBCB、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.15.（本小题共 13 分）解：(I), bsi nA=.3acosB,. 2 分由正弦定理得sin Bsin A =、3sin AcosB,在厶ABC中，si n A=0，即tan B二3,B(0，力,.4 分B =- . 6 分3(n) 丁sinC=2sin A,由正弦定理得c = 2a ,.8 分由余弦定理b2二a

11、2 c2-2accosB,22n得9二a 4a -2a (2 a) cos ,.10 分3解得a=呵3，二c=2a=2.3 .13 分16.(本小题共 13 分)a解: (I)由题意得0.15,100所以a =15,又35 25 a 10 b =100，所以b =15 .3 分题号91011121314答案2鹿，心孚103(1,+旳)6（第 9 题第第二三、解答题共 80一空 2 分,空 3 分）共 6 小题,分.高三数学（理科）第8页（共 11 页）（n）设事件A为“购买一部手机的 3 名顾客中，恰好有 1 名顾客分 4 期付款”. 4 分由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.

12、1 ,.5 分所以P（A） =C30.1X0.92=0.243. 7 分(川)记分期付款的期数为E,依题意得P(E =1) = 0.35,P(E=2) =0.25,P( 3) = 0.15,P(E =4) = 0.1,P(E= 5) = 0.15,因为X可能取得值为1000元，1500元，2000元，. 8 分并且易知P(X =1000)rP(E二1)=0.35 ,.9 分P(X = 1500) = P(和2) P( 3) = 0.4,. 10 分P(X =2000) = P(E二4) P(E二5) =0.25 ,.11 分所以X的分布列为X100015002000P0.350.40.25所以

13、X的数学期望EX =1000 0.351500 0.42000 0.25=145013 分17.（本小题共 14 分）解：（I）证明：连接BC,与BC1相交于O,连接OD. BCC1B1是矩形，O是BC的中点.又D是AC的中点，OD/AB1. 2 分AB-平面BDC1,OD-平面BDG,-AB1/ 平面BDC1.（n）如图，建立空间直角坐标系，贝 yG（0,0, 0）,C（0,3,0）,A（2,3,0）,D（1,3,0）,分设n=（为，,zj是平面BDC1的一个法向量，In GB = 0,3 %+ 2z1 0,贝叭彳亠即g力1“n C1D =0,X13% =0,B(0,3,2)高三数学（理科）

14、第9页（共 11 页）1 1令=1，则n =（1,-一，） ,.7 分3 2高三数学（理科）第10页（共 11 页）易知GC =（0,0）是平面ABC的一个法向量,由题意知二面角G - BD -C为锐角,2面角G - BD -C的余弦值为|.则巨看，即3(y-30，CP C1D=0,23(y-3) =o,方程组无解.假设不成立.f (x) = cos x -(cos x - x sin x) = x sin x（I）f（二）=0,f（二）=二.所以切线方程为y二二.13(H)令g(xrf(x)-3x,贝U g (x)二xsin xx2二x(sin x -x),当x (0,)时，设t(x)二si

15、n x - x，贝V t (x)二cosx一1：0 2所以t(x)在x (0 ,)单调递减，t( x) = sin x - x：t(0) = 02即sin x : x，所以g (x) : 0.6 分jr所以g（x）在（0,）上单调递减，所以g（x）：g（0）= 0,213所以f （x）：- X3. . 8 分3IT（川）原题等价于sinx kx对x（0，一）恒成立，2sin xn即k :-对x (0，)恒成立，.9 分n CiC-cos . n ,GC =CiC-1610 分（川）假设侧棱AAi上存在一点P（2, , ,0）(0_y _3)，使得CP_ 平面BDC1.12 分侧棱AA1上不存在

16、点P，使CP丄平面BDG.14 分18.解：（本小题共 13 分）高三数学(理科)第11页(共 11 页)x2令h（x）二沁xcosx -sinx2xf(x)10 分高三数学（理科）第12页（共 11 页）易知f(x)=xsin x . 0，即即f(x)在(0,)单调递增，2所以f(x) . f(0) =0,所以h (x)：, 0 ,.11 分故h(x)在(0,)单调递减，所以k空h(1)=Z.22兀2综上所述，k的最大值为-.13 分3119.(本小题共 14 分)C运 5a2解: (I)由已知可得 丿2b=2 ,解得a =2 ,b =1,a2= b2+c2,i2故椭圆C的标准方程为y2=

17、1.2(n)设AX ,yj,BX ,祠,y = kx m,联立方程x2x2d消去y得(1 2k2)x24kmx 2m2- 2 = 0.当 =8(2k2_m21)0,即2k2m2-1时,2-4km2m-2XX?2,XX22.121 2k2121 2k2所以x1X2 _-2km% y2 _m21 +2k221 +2k21高三数学(理科)第13页(共 11 页)当k=0时，线段AB的垂直平分线显然过点(0, -丄)2高三数学（理科）第14页（共 11 页）S曲OB= 3 AB m =? m 22 Ji m?=. (1 m2) m2因为m (-1,0)一(0,1)，所以m2(0,1)SAOB2）2吟，

18、当m=2时，取到等号1当k = 0时，因为线段AB的垂直平分线过点（0 , 一丄）,23-（-丄）1所以一221,XiX2 _0k2 -化简整理得2k2 1 = 2m.2k21 =2m,2 22k 1m,得0 : m :2.又原点O到直线AB的距离为d =m1k2AB = J1 +k2% - x2=21 k2、4k2-2m221 2k2所以SAOBABm4k2_2m2+21 2k2而2k21 =2m且0： ：m . 2,则S.AOB= L/4m-2m2,0 cm c2.2所以当m =1，即k2乂1时,2S.AOB取得最大值综上,S.AOB最大值为- 8 分9 分10 分11 分12 分13 分14 分20.（本小题共 13 分）解：（I）Sn=2n，作差法可得an二Sn-Snv=2心（n - 2）,当n =1时，S -a1；高三数学(理科)第15页(共 11 页)当n丄2时，& = a* i，存在m = n 1，使得Sn= Om数列On是“回归数列”.2 分2 2;bn= 2n，前n项和=n n,根据题意n n = 2m n(n 1)一定是偶数，存在m1，使得Tn=bm二数列0是“回归数列”.4 分(n)& =n也，根据题意，存在正整数m，使得$=am成立21 *即2 d = 1 (m - 1)d,d0,m：2,m二Nm -2- m =1，即d -