高考数学第一轮复习立体几何二理

1、立体几何中的数量问题二. 重点、难点：1. 角度（1）两条异面直线所成角（2）直线与平面所成角（3）二面角2. 距离（1）作垂线 （2）体积转化【典型例题】例1 pa、pb、pc两两垂直，与pa、pb所成角为45°，60°，求与pc所成角。解：构造长方体 例2 正四棱锥sabcd中，ab=，sa=，m为sa中点，n为sc中点。（1）求bn，dm所成角的余弦值；（2）p、q在sb、ca上，求pq与底面abcd所成角的正切值。解：（1）mefdh为sn中点 异面直线md、bn所成角的余弦值为（2）过p作ph/so交bd于h ph面abcd pqh为pq与底面所成角 例3 sa面

2、abc，abbc，de在面sac内，垂直平分sc，交sc、ac于e、d，若sa=ab=1，bc=，求二面角（1）bsca的余弦值；（2）ebdc。解：（1）面deb deb为二面角ascb的平面角面sac edc为二面角cbde的平面角 ab=sa=1 ac= sc=2 be=1 de= cd= 例4 正方体abcda1b1c1d1中，ab=1，求：（1）d到面d1ac的距离；（2）c到面ab1d1的距离；（3）m为bb1中点，m到面d1ac的距离；（4）ac1与bb1的距离解：（1）连bdac=e过d作dfd1e于f， df为距离 （2）设c到面ab1d1的距离为h （3）连dm交d1e于h

3、，设m到面d1ac距离为 （4）例5 四棱锥pabcd，底面abcd为菱形，ab=2，bad=60°，pb=pd，pa=pc=，求：（1）b到面pad的距离；（2）bc与pa的距离；（3）ac与pd的距离。解：（1）acbd=h，连phbf为所求pa=，ah，ph，pb=2 be=de=，bd=2 bf= 另 （2）（bc，面pad）=（b，面pad）=（3）过h作hmpd于m为公垂线例6 直二面角，ab，ab与所成角为，ab与所成角为，求证：。证明：过a作ac于c，过b作bd于d ac bd bad= abc= 当且仅当c、d重合时，例7 如图所示，已知直线ab平面，线段bc，cd

4、bc且cd与平面成30°的角，设ab=bc=cd=2，ce是cd在平面内的射影。（1）求证：ad与bc是异面直线；（2）求ac与de之间距离；（3）求ad与bc所成角的度数。解析：（1）证明：假设ad与bc在同一个平面内， ab，bc abbc，又cdbc， ab/cd， cd，这与cd与成30°角矛盾 ad与bc是异面直线（2） ce是cd在平面内的射影 de，从而dece由bccd得bcce，由ab，ce得ceab ce平面abc，ac平面abc ceac ce是ac与de的公垂线，cd=2，dce=30° ce=（3）延长de到f，使ef=de，则dfab连

5、接bf，则bfad fbc是ad与bc所成的角 fbc=45°例8 如图所示，四面体abcs中，sa、sb、sc两两垂直，sba=45°，sbc=60°，m为ab的中点，求：（1）bc与平面sab所成的角；（2）sc与平面abc所成角的正切值。解析：（1） cssb，cssa sc平面sab bc在平面sab上的射影为sb sbc为sb与平面sab所成的角，又sbc=60°故bc与平面sab所成的角为60°（2）连结mc，在中，sba=45° smab 又absc ab面smc 面smc面abc过点s作somc于点o so面abc s

6、cm为sc与平面abc所成的角设sb=，则sm=，在sbc中，sc=sbtan60°= 例9 如图，已知四棱锥pabcd的底面为直角梯形，ab/dc，dab=90°，pa底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中点。（1）证明：面pad面pcd；（2）求ac与pb所成的角余弦值；（3）求面amc与面bmc所成二面角的余弦值。解析：（1）证明： pa面abcd，cdad 由三垂线定理得：cdpa因而，cd与面pad内两条相交直线ad，pd都垂直 cd面pad 又cd面pcd 面pad面pcd（2）过点b作be/ca，且be=ca，则pbe是ac与pb所成的角（或

7、为其补角）连结ae，可知ac=cb=be=ae=，又ab=2所以四边形acbe为正方形，由pa面abcd得peb=90°在中，be=，pb= ac与pb所成角的余弦值为（3）作ancm，垂足为n，连结bn在中，am=mb，又ac=cb amcbmc bncm，且bn=an，故anb为所求二面角的平面角 cbac，由三垂线定理，得cbpc在中，cm=mb，所以cm=am在等腰三角形amc中， ab=2 故所求二面角余弦值为例10 如图，在三棱锥sabc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m，n分别为ab，sb的中点。（1）证明：acsb；（2）求二面角n

8、cmb的正切值；（3）求点b到平面cmn的距离。解析：（1）取ac中点d，连结sd，db， sa=sc，ab=bc acsd且acbd ac平面sdb，又sb平面sdb acsb（2） ac平面sdb，ac平面abc 平面sb平面abc，过n作nedb于e，则ne平面abc；过e作efcm于f，连结nf，则nfcm nfe为二面角ncmb的平面角 平面sac平面abc，sdac sd平面abc又 ne平面abc ne/sd sn=nb ，且ed=eb在正abc中，由平面几何知识可求得ef=mb=在中，（3）在中， ，设点b到平面cmn的距离为 ，ne平面cmb 即点b到平面cmn的距离为例11

9、 如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为，e，f分别是bb1、cd的中点。（1）求证：add1f；（2）求ae与d1f所成角的大小；（3）求点f到平面a1d1e的距离。解析：（1）证明： abcda1b1c1d1为正方体 ad平面d1dcc1 d1f平面d1dcc1 add1f（2）取ab的中点g，连结fg，ag，a1g与ae交于点m f为dc的中点 fg/ad，且fg=ad fg/a1d1，且fg=a1d1 四边形a1gfd1为平行四边形，ga1/d1f，a1g=d1f a1g与ae所成的角就是ae与d1f所成的角在正方形a1abb1中，g、e分别为ab，bb1的中点 a1agab

10、e，aa1g=bae ama1=90° ae与d1f所成的角为90°（3）在（2）中已证fg/a1d1 fg/平面a1d1e g点到平面a1d1e的距离就是f点到平面a1d1e的距离过点g作gha1e于点h，连结eg a1d1平面a1abb1 a1d1gh gh平面a1d1e gh为所求距离 ，即f点到平面a1d1e的距离为例12 如图，为60°的二面角，等腰直角三角形mpn的直角顶点p在上，且mp与所成的角等于np与所成的角。（1）求证：mn分别与、所成角相等；（2）求mn与所成角。（1）证明：作na于a，mb于b，连接ap、pb、bn、am，再作ac于c，bd

11、于d，连接nc、md na，mb mpb、npa分别是mp与所成角及np与所成角 mnb，nma分别是mn与，所成角 mpb=npa在rtmpb与rtnpa中，pm=pn，mpb=npa mpbnpa mb=na在rtmnb与rtnma中，mb=na，mn是公共边 mnbnma mnb=nma即（1）结论成立（2）解：设mnb=，mn=，则pb=pn=，mb=na=，nb= mb，bd， mdb是二面角的平面角 mdb=60°，同理nca=60° bd=ac= mb，mppn bppn bpn=90°，dpb=cnp bpdpnc 即 整理得， 解得或，或当时，不

12、合理，舍去 mn与所成角为30°【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个半平面的二面角必定（ ） a. 相等 b. 互补 c. 相等或互补 d. 不能确定2. 已知边长为的菱形abcd，a=60°，将菱形沿对角线bd折成120°的二面角，则ac 的长为（ ） a. b. c. d. 3. 已知二面角为直二面角，a是内一定点，过a作直线ab交于b，若直线ab与二面角的两个半平面所成的两个角分别为40°，50°，则这样的直线最多有（ ） a. 1条 b. 2条 c. 3条 d. 4条4

13、. 三棱锥abcd中，ab=ac=bc=cd=ad=，要使三棱锥abcd的体积最大，则二面角bacd的大小为（ ） a. b. c. d. 5. 如图，ac1是正方体，m，n分别是棱a1d1和d1d的中点，过平行线mn与b1c作平面，得到截面mb1cn，设该截面与右侧面cb1c1所成的二面角为，则为（ ）a. 不存在 b. c. d. 6. 已知平面与所成的二面角为80°，p为，外一定点，过点p的一条直线与，所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ） a. 1条 b. 2条 c. 3条 d. 4条7. 已知二面角的大小为60°，为异面直线，且，则所成的角为（

14、） a. 30° b. 60° c. 90° d. 120°8. 如图，acb=90°，平面abc外有一点p，pc=4cm，点p到角的两边ac，bc的距离都等于，那么pc与平面abc所成角的大小为（ ）a. 30° b. 45° c. 60° d. 75°9. 在正方体abcda1b1c1d1中，o为ac，bd的交点，则c1o与a1d所成角为（ ）a. 60° b. 90° c. d. 10. pa，pb，pc是从点p引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，则直线pc与平

15、面apb所成角的余弦值是（ ）a. b. c. d. 11. 把正方形abcd沿对角线ac折起，当a，b，c，d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd与平面abc所成的角的大小为（ ） a. 90° b. 60° c. 45° d. 30° 12. 如下图，abc是直角三角形，ab是斜边，三个顶点a，b，c在平面内的射影分别是a1，b1，c1。如果a1b1c1是等边三角形，且aa1=，bb1=，cc1=，并设平面abc与平面所成的二面角为，则的值为（ ）a. b. c. d. 13. 正方体abcda1b1c1d1的棱长为，e是cc1的中点，则e到a1b

16、的距离是（ ） a. b. c. d. 14. abc中，ab=9，ac=15，bac=120°，abc所在平面外一点p到三个顶点a，b，c的距离都是14，那么点p到平面的距离为（ ） a. 7 b. 9 c. 11 d. 1315. 在四面体pabc中，pa，pb，pc两两垂直，m是面abc内一点，且点m到三个面pab，pbc，pca的距离分别为2，3，6，则点m到顶点p的距离是（ ） a. 7 b. 8 c. 9 d. 1016. 正方体abcda1b1c1d1的棱长为，则平面ab1d1与平面bc1d的距离为（ ）a. b. c. d. 17. 在正三棱柱abca1b1c1中，若

17、ab=2，aa1=1，则点a到平面a1bc的距离为（ ） a. b. c. d. 18. 如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则o到平面abc1d1的距离为（ ）a. b. c. d. 19. 长方体abcda1b1c1d1中，b1a1c1=bab1=30°，aa1=1，则a1a与b1c间的距离为（ ） a. 1 b. c. d. 220. 已知长方体abcda1b1c1d1中，棱a1a=5，ab=12，那么直线b1c1和平面a1bcd1的距离是（ ）a. 5 b. c. d. 8 21. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这个新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）a. b. c. d. 22. 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，p是侧面bb1c1c内一动点，若p到直线bc与直线c1d1的距离相等，则动点p的轨迹所在的曲线是（ ） a. 直线 b. 圆 c. 双曲线 d. 抛物线 23. abcd为正方形，p为平面abcd外一点，pdad，pd=ad=2，二面角padc为60°，则p到ab的距离是（ ）