不等式证明的常用基本方法(自己整理)

1、学习必备欢迎下载证明不等式的基本方法导学目标： 1. 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 .2. 会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式 自主梳理 1. 三个正数的算术几何平均不等式：如果a，b，c>0，那么 _ ，当且仅当 a b c 时等号成立2. 基本不等式 ( 基本不等式的推广 ) ：对于 n 个正数 a1， a2， an，它们的算术平均不小于a a ann它们的几何平均，即12 a ·a··a ，当且仅当 _ _时等n12n号成立3. 证明不等式的常用五种方法(1) 比较法：比较法是证明不等式最

2、基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是 _与 0 比较大小或 _与 1 比较大小(2) 综合法：从已知条件出发，利用定义、 _、 _、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(3) 分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实( 定义、公理或已证明的定理、性质等) ，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法(4) 反证法反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点， 结合已知条件， 应用公理、 定义、定理、 性质等，进行正确的推理，得到和命题

3、的条件 ( 或已证明 的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法反证法的特点先假设原命题不成立， 再在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与已知条件矛盾， 或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾(5) 放缩法定义： 证明不等式时， 通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键题型一 用比差法与比商法证明不等式1. 设 t a 2b， sa b2 1，则 s 与 t 的大小关系是 ( A)A. stB.s>tC.stD.

4、s<t2 12【答案】 A【解析】 s t b 2b(b 1) 0， st.2. 设 a (m21)(n 2 4) ，b (mn2) 2，则 (D)A a bB a b C a b D ab2222220， a b. 答案： D解析：a b (m 1)(n 4) (mn 2) 4m n 4mn (2m n)3. 设 a,b R, 给出下列不等式 : lg(1+a 2)>0; a2+b22(a-b-1); a2+3ab>2b2; ,其中所有恒成立的不等式序号是.【解析】 a=0 时不成立 ; a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1) 20, 成立 ; a=b=0

5、时不成立 ;a=2,b=1时不成立 , 故恒成立的只有 .学习必备欢迎下载题型二 用综合法与分析法证明不等式14.(1)已知 x， y 均为正数，且x>y，求证： 2x x2 2xy y22y 3；(2) 设 a， b， c>0 且 ab bcca 1，求证： abc 3.证明(1) 因为 x>0， y>0， x y>0，1112x x2 2xy y2 2y 2(x y)2 (x y) (x y) 2321132 3，所以2xx2 2xy y22y 3.(2) 因为 a， b， c>0，所以要证 a bc3，只需证明 (a b c) 2 3.即证： a2 b

6、2c2 2(ab bcca) 3，而 ab bc ca 1，故需证明： a2 b2 c2 2(ab bcca) 3(ab bc ca) 即证： a2 b2c2ab bc ca.2222 c22而 ab bcca a b b c a a2 b2 c2( 当且仅当 a b c 时等号成立 ) 成立222所以原不等式成立5. 已知 a、b 都是正实数，且 ab 2. 求证： (1 2a)(1 b) 9.证明：法一因为 a、 b 都是正实数，且ab 2，所以 2ab2 2ab 4.所以 (1 2a)(1 b) 1 2ab2ab9.21法二 因为 ab 2，所以 (1 2a)(1 b) (1 2a)1

7、a 5 2 aa .因为 a 为正实数，所以11所以 (1 2a)(1 b) 9.a 2a· 2.aab b法三 因为 a、 b 都是正实数，所以(1 2a)(1 b) (1 aa) ·12 2323 b23 a2b23· a ·3·4 9·4. 又 ab 2，所以 (1 2a)(1 b) 9.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时， 往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化

8、，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野题型三放缩法证明不等式1，且M 11，N ab，则 M 、N 的大小关系是 ( A )6.已知 0<a<b1 a1 b1 a1bA. M>N1B. M<NC.MND.不能确定解析：0<a<b， 1a>0,1 b>0,1 ab>0，M N 1 a 1 b2 2ab1 a1 b1 a1 b >0. 答案： A|a b|a|b|7. 若 a，bR，求证： 1 |a b| 1|a| 1 |b| .证明 当 |a b| 0 时，不等式显然成立当|a b| 0时，由 0<

9、|a b| |a| |b|?11，|ab|a| |b|a b|11|a|b|所以 1 |a b| 11 1 |a| |b|a b| 11|a| |b|学习必备欢迎下载|a|b|a|b|1 |a| |b|1 |a| |b|1 |a|1 |b| .思维升华(1)在不等式的证明中， “放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：111112，12变换分式的分子和分母，如 2<， 2>， <>.kN* ， k>1；kkk k k 1kk k 1上面不等式中利用函数的单调性；a am真分数性质“若 0<a<b， m>0，则 <”b bm(2) 在用

10、放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度11118. 设 n 是正整数，求证： 2 n1 n 2 2n<1.证明由 2nn k>n(k 1,2 ， n) ，得1 1 1 < . 2n n k n111111111当 k 1时，2n n 1<n；当 k2 时，2n n 2<n；，当 k n 时，2n n n<n，1 n111 n原不等式成立 < 1.2 2n n1n 22n n题型四用反证法证明不等式9. 设 a>0,b>0, 且 a+b=. 证明:(1)a+b 2;(2)a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立 .

11、【解析】由a+b=,a>0,b>0,得 ab=1.(1)由基本不等式及 ab=1, 有 a+b2=2, 即 a+b2.(2)假设 a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立 , 则由 a2+a<2 及 a>0 得 0<a<1; 同理得 0<b<1, 从而 ab<1,这与 ab=1 矛盾 . 故 a2+a<2 与 b2+b<2 不可能同时成立.1 110. 若 a>0， b>0，且 a b ab.(1) 求 a3 b3 的最小值； (2) 是否存在 a， b，使得 2a3b 6？并说明理由【解】 (1) 由1

12、122时等号成立ab ，得 ab2. 当且仅当 a babab333333故 a b2 a b 4 2，且当 a b 2时等号成立所以a b 的最小值为 4 2.(2) 由 (1)知， 2a3b2 6ab4 3. 由于 4 3>6，从而不存在a， b，使得2a3b 6.1.证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法2.应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：(1) 分清命题的条件和结论；(2) 作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立， 从而间接地

13、证明了命题为真3.放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性；(2) 等量加学习必备欢迎下载不等量为不等量； (3)同分子 (母 )异分母 (子 )的两个分式大小的比较缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求； 每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和123124.放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项， 如 a 24> a2；(2) 将分子或分母放大(缩11111212*小) ，如 k2<k k 1， k2>k k 1，k<k

14、k 1，k>kk 1(k N且 k>1) 等1. 设 a、 b 是正实数，给出以下不等式：ab> 2ab ； a>|a b| b； a2 b2>4ab 3b2；a b2ab ab>2，其中恒成立的序号为 (D)A. B. C.D. 2ab2ab 答案 D 解析 a、b R时， ab2 ab， a b 1， a bab，不恒成立，2排除 A、 B； abab2 2>2 恒成立，故选 D2.设 M1111，则( B)1010101122 1 2 22 1AM1 B M<1C M>1DM与 1 大小关系不定【解析】2 101>210， 21

15、0 2>210， 211 1>210 ，111111110M 210 210 1 210 2 211 1<210 210 2102个 1. 【答案】 Btt 23. 若不等式 t 29 a t 2在 t (0 ， 2 上恒成立，则 a 的取值范围是 ( B )121412， 1B.， 1C.，13D.， 2A. 613661a9，t 【解析】由已知t对任意 t (0 ， 2 恒成立，于是只要当t (0 ， 2 时，11 2at 2 t，1at9 max，9112 ta 112记 f(t)t t ， g(t) t 2t，可知两者都在 (0 ， 2 上单调递减，tt 2min13

16、2f(t) min f(2) 2， g(t)min g(2) 1，所以 a13，1 .【答案】 B12114. 已知 a，b 为实数，且 a>0，b>0. 则 a b aab a2的最小值为 (C )A 7B 8C9D101313【解析】因为a>0，b>0，所以 a ba 3a× b× a 3b>0，学习必备欢迎下载211321131同理可证： a b a2 3a × b× a2 3b>0. 1211331由及不等式的性质得a baa ba2 3b ×3b 9. 【答案】 C5. 下列结论正确的是 (B)A当

17、 x 0 且 x1时， lg x12 B当 x 0 时，x1 lg xx211C当 x2时， xx的最小值为 2D当 0x2时， xx无最大值解析：当 0 x 1时， lg x1 0，A 错误；lg x当 x 0 时，x1x·12x2，B 正确；x15当 x2时， x 的最小值为，C错误x21当 0x2时， xx是增函数，最大值在x 2 时取得，D 错误答案： Bxyz6. 若 P 1 x 1 y 1 z(x>0 ， y>0，z>0) ，则 P 与 3 的大小关系为 _ P<3_.【解析】 1 x>0， 1 y>0，1 z>0，xyz 1 x

18、1 y1 z< 3. 即 P<3.1 x1 y 1 z 1 x1 y1 z【答案】 P<37. 某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售， 准备对其生产的某种型号的彩电降价销售，现有四种降价方案：a ba b(1) 先降价 a%，再降价 b%； (2)先降价 b%，再降价 a%； (3) 先降价2 %，再降价2%；(4) 一次性降价 (a b)%. 其中 a>0，b>0，ab，上述四个方案中， 降价幅度最小的是 _ x3>x1x2>x4_解析：设降价前彩电的价格为1，降价后彩电价格依次为x1、x2、 x3、 x4.则 x1 (1 a%)(1 b%) 1 (

19、a b)%a%·b%x2(1 b%)(1 a%)x1，x3a ba b12，1%1% 1 (a b)% (a b)%224x41 (a b)%<1 (a b)%a%·b% x1 x2，a% b% 2x3x1a%·b%>0，x3>x1 x2>x4.8. 已知两正数 x， y 满足 x y 1，则 z x 1y1的最小值为 _25_xy4111 yx1（ x y） 2 2xy2【解析】 z x xy y xy xy x y xy xyxyxy xy 2，x y 2 1令 t xy ，则 0<t xy2 4.211233由 f(t) t t

20、 在 0， 4 上单调递减，故当t 4时 f(t) t t 有最小值4 ，12525所以当 xy 2时， z 有最小值4 . 【答案】4学习必备欢迎下载111*9. 求证：1222 n2<2(nR) 证明12<1 11，k k（ k 1）k 1 k1111111111 1222 n 2<1(1 2)( 23) ( n 1 n) 1 (1n) 2n<2.11110. 设 a、 b、 c 均为正实数，求证： a b c【证明】 a， b，c 均为正实数，1124 当 a b 时等号成立ababa b1 11222 ab bc acb c c a a b.1124b cbc

21、b c当 b c 时等号成立1124a cac a c当 a c 时等号成立三个不等式相加即得222222444a b cabbcac a b b c ac当且仅当 a b c 时等号成立111111222即.a b cabbcaca bb ca c11. 已知函数 f(x)m |x 2| ， m R，且 f(x 2) 0 的解集为 1,1 111(1) 求 m的值； (2) 若 a， b， c 大于 0，且 a 2b3c m，求证： a 2b3c9.【解】 (1) f(x 2) m |x| ， f(x 2) 0 等价于 |x| m.由|x| m有解，得 m0且其解集为 x| mxm又 f(x

22、 2) 0 的解集为 1,1 ，故 m1.(2) 证明：由 (1)111知 1，且 a，b， c 大于 0，a2b3c1112ba3c a3c2ba 2b 3c (a 2b 3c)a 2b 3c 3 a 2b a 3c 2b 3c2ba3ca3c2b3 2a · 2b 2a · 3c 22b· 3c9.1当且仅当 a 2b 3c 3时，等号成立因此 a 2b3c9.111的最小值12. 设 a， b，c R 且 ab c 1，试求：2a1 2b 1 2c 1111解： a b c 1，a， b， c 为正数，2a 12b 1 2c1 (2a 1 2b 1 2c1)

23、21119(1 1 1) ， 2a1 2b 1 2c 15. 当且仅当 2a 1 2b 12c 1，即 a b c 时等号成立，当11119a b c 时，取最小值 .32a12b 12c 15答案：方案 (3)13.设 a 0， b 0， ab 1，1 1(1) 求证： ab ab 44 ； (2)探索猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2 212 ()；a3b3 313 ()；a ba b(3) 由 (1)(2)归纳出更一般的结论，并加以证明学习必备欢迎下载解析： (1)证法一： ab1122 4) 0.ab4? 4a b 17ab4 0? (4ab 1)(ab4 ab ( ab)2 a b 2 1，2 4 4ab 1，而又知 ab14 4，因此 (4ab 1)(ab 4) 0 成立，故ab 1 41 .ab4证法二： ab1 ab4115，22ab·ab4 ·aba b 2