1.4生活中的优化问题举例学案

1、I1.4生活中的优化问题举例产预习导学全挑战自我，点点落实_学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识链接设两正数之和为常数 c,能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式屮 2佰(a, bQ)2答设一个正数为 x,则另一个正数为。一池两数之积为/(-V)=-(0-V)=CXX(0.Y0, bQ),即二厂 b0),当且仅当 a=b时等号成立.预习导引1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最髙等问题，这些问题通常称为优化问题.2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化问题的基本思路是优化问题一用函数表示的数学问题优化

2、问题的答案一用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.尹课堂讲义垂点难点.个个击破要点一用料最省问题例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边月处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂 位于离河岸 40千米的万处，乙厂到河岸的垂足 Q 与 A 相距 50千米，两厂要在此岸边合建一 个供水站 G从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5a元，问供水站 C 建 在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点 C位于线段初上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点 C距点。为.Ykm,则丽,又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y=3a(50 x) +5

3、迅左+4(T(0v v令q =0,解得 v=20. V 当 X20 时,q 0,当 V=20时,q取得最小值,即速度为 20海里/时时，航行 1海里所需费用总和最小.要点二而积、容积的最值问题例 2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影 部分)，这两栏的而枳之和为 18 000cm,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白 的宽度为 5 cm.怎样确泄广告的高与宽的尺寸(单位：cm),能使矩形广告而积最小？5&北/Y+40:，令y =0,解得 =30, (x= 30 舍去)BA C其D3解设广告的髙和宽分別为-Ycm, 则每栏的髙和宽分别为

4、X20 cm, 其中020, y25 卩一 25两栏而积之和为 2CY 20) 匕二=18 000,18 000JV-20 -x , -360 000 , “-+2O=A-20=+25令 S 0 得 x140,令 S 0 得 20K140.函数在(140, +8)上单调递增,在(20,140)上单调递减, S3的最小值为 5(140).当A-=140时， y=175.即当 x=140,y=175 时， S取得最小值 24500,故当广告的高为 140cm,宽为 175cm时，可使广告的而积最小.规律方法(1)解决而积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的 函数，结合实际问题

5、的立义域，利用导数求解函数的最值.(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤1找关系： 分析实际问题中各量之间的关系： 列模型： 列岀实际问题的数学模型； 写关 系：写出实际问题中变量之间的函数关系 y=A.Y)；求导：求函数的导数 f Cr),解方程 f (=0：比较：比较函数在区间端点和使 f G)=0 的点的函数值的大小，最大(小) 者为最大(小)值：结论：根据比较值写出答案.跟踪演练 2圆柱形金属饮料罐的容积一泄时，它的高与底而半径应怎样选取，才能使所用 的材料最省？解如图，设圆柱的髙为力，底半径为斤，则表而积y cm,y25由此得 y18 000A20+25.(18 000广告的而积

6、 S=xy=?0卜 25x,BS=2 兀 Rh+2 n R.y由 V= n Rh.得 h=,几 Ay9 y则 S(用=2 n R+2 n jf=+2 n 用,KK因为 S（用只有一个极值，所以它是最小值.所以，当罐的髙与底面直径相等时，所用材料最省.要点三 成本最省，利润最大问题 例 3 甲、乙两地相距 s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c千米/时，已 知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固立部分组成：可变部分与速度 a 千米/时的平方成正比，比例系数为固左部分为&元.（1）把全程运输成本 y（元）表示为速度以千米/时）的函数，并指出这个函数的左义域;（2）

7、为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解（1）依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为三 全程运输成本为所求函数及其左义域为尸畦+则，胆（0, d（2）由题意 s、扒 b、卩均为正数.此时”0,即 y在（0, c上为减函数.所以当卩=c 时，y最小.综上可知，为使全程运输成本 y 最小,令 S(/?) =2V若6 则 PG(0, c,卜 4 n/?=0,解得斤=0 得 v=fy则当 r=但 vE (0, c.,全程运输成本 y最小;c时，行驶速度 4=5当时行驶速度 v=c.规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意：1合理选择变量，正确给出函数

8、关系式.2与实际问题相联系.3必要时注意分类讨论思想的应用.跟踪演练 3 已知某商品生产成本 C与产量 q 的函数关系式为*100 + 4q,价格 p 与产量 q的函数关系式为 P=25-G求产量 q为何值时，利润 Z 最大？= -f+21q-100（0q200）令厂=0.即一扌 q+21 = 0,求得唯一的极值点7=84.所以产量为 84时，利润 L最大.解析 设底面边长为贝 0表而积 s=f+Mya0）. =史（一 40.令 S =0,2xx得 x=y4V.3.在边长为 60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最

9、大？最大容积是多少？60 x60、尸一解 设箱底边长为-Ycm,则箱高= cm,箱子容积 V3 = f h=（0 x60）.33Cv） =60A*-Y令 V 3 =60-Y-y=0t25g-討）- （100+4q）利润 L=RC=答案 C6解得 x=0（舍去）或 x=40,并求得 7（40）=16 000.由题意知，当 x过小（接近 0）或过大（接近 60）时，箱子容枳很小，因此，16000 是最大值. 答当 x=40 cm时，箱子容积最大，最大容积是 16 000 cm3.4.统讣表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗汕量 y（升）关于行驶速度/千米/13时）的函数解析式可以表示为 r=

10、12S 0QQA-3-A-F8（0A120）已知甲.乙两地相距 100 千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为 X千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了型小时，设耗汕量为血）升,X依题意得力 3 =（詁亦-和+8）X晋二島缺+竽-孕（0X120）,h 3=缶-啤=肓再（0（0,80）时，h 30,力 Cv）是增函数，所以当 x=80时，h（x）取得极小值厶（80） =11. 25（升）.因为力（在（0,120只有一个极小值，所以它是最小值.答 汽车以 80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗汕最少，最少为 11.25升.课堂尘结71. 解有关函数最大值、

11、最小值的实际问题，在分析问题中的齐个变量之间的关系的基础上, 列岀合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域.注意所求得的结果一左符合问题的实际 意义.2. 利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使/ G）=0,如果函数在该点取得极大（小）值，极值就是函数的最大（小）值，因此在求有关实际问题的最 值时，一般不考虑端点.三分层训练全解疑纠偏，训练检测一.基础达标1.方底无盖水箱的容积为 256,则最省材料时，它的髙为（）A. 4C. 4.5答案 A 解析设底而边长为,髙为力,256则卩 3=殳力=256,：.h=rxS3=+4=+4I4X256x96令 S (=0,解得 “

12、=& =祚-=42.某银行准备新设一种泄期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系 数为MQO） .已知贷款的利率为 0.048 6,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款 利率为 x,丄 （0,0. 048 6）,若使银行获得最大收益，则 x 的取值为（）A. 0.016 2B. 0.032 4C. 0. 024 3D 0. 048 6答案 B解析 依题意，得存款量是;银行支付的利息是上 v，获得的贷款利息是 0.048 6 上乙苴 中 XE （0,0. 048 6）所以银行的收益是 y=0. 048 6：-X（0A0. 048 6）,则/ =0. 097 2kx

13、3kf令y =0,得 x= 0.032 4 或 x=0（舍去）.当 00；B 6D. 88当 0. 032 4JK0. 048 6 时，/ 0, o是其唯一的极值点.当时，P取得最大值，最大值为4.用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为（）A. 120 000 cm3B 128 000 cm3C. 150 000 cm3D. 158 000 cm5答案 BV解析 设水箱底边长为 xcm,则水箱高 A=602（cm）水箱容积 K=K（-Y）=yA=60y-y （00),为使耗电量最小，则其速度应左为

14、_ .答案 40解析由题设知昇=/一 39*40,令卩 0.解得.Y40,或 x0)在40, +8)上递增，在(0, 40上递减二当-v=40时，y取得最小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定为 40.7.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张 贴的海报，要求版心而积为 128dm=,上、下两边各空 2 dm,左、右两边各空 1 dm.如何设 计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为-V dm,则版心的宽为1 OOdm，此时四周空白而积为 xS(x) = (x+4)| 今+2)128于是宽为乎=誓=8.当曲(,时，s 当 xW(16, +8)

15、时，s Gr)0因此，x=16是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点.所以，当版心髙为 16 dm,宽为 8 dm时，能使四周空白而积最小.二、能力提升8.把长为 12 cm 的细铁幺纟截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积=2A4512 Ix8,妙 0 求导数.得$3=2512aX令 S 3=2解得-v=16 CY= 16舍去)51211之和的最小值是（）B. 4 cmD. 2 羽 cm:答案 D解析设一个正三角形的边长为 xcm,则另一个正三角形的边长为（4 一 x）cm,则这两个正 三角形的而积之和为$=芈/+芈（4一=芈（X2）”+4 $25（cm：）,故选 D.9

16、.某公司生产一种产品，固怎成本为 20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加 100元,若总收入斤与年产量 w的关系是斤 3= 希+400” 0WxW390,90 090, Q390,则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（）A. 150C. 250答案 D解析由题意得，总利润3尸 3=希+300 20 000, 0W*W390,70 090 100為 0390,令 P （对=0,得丫=300,故选 D10._ 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从川孔流 入，经沉淀后从方孔流出，设箱体的长为 a米，髙为 b米.已知流出的水中该杂质的质量分 数与 a,

17、&的乘积必成反比，现有制箱材料 60平方米，问当 a=_ , b=_时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（乩万孔的而积忽略不计）.答案 6 3解析 设 y为流岀的水中杂质的质量分数，则）=疔;，其中&（Q0）为比例系数.依题意，即30 zykB. 200D. 30012所求的 a， b值使 y值最小， 根据题设， 4b+2ab+2 曰=60 （00,b0） 得右.于是卩=二 得 a=6 或 a= 10(舍去).只有一个极值点，.此极值点即为最值点.当&=6 时，b=3,即当 a为 6米，b 为 3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最 小.11.某地建一座桥，

18、两端的桥墩已建好，这两墩相距血米，余下工程只需建两端桥墩之间的 桥面和桥墩.经测算:，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为*米的相邻两墩之间的桥而 工程费用为(2+&)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑苴他因素, 记余下工程的费用为 y 万元.(1) 试写岀 y 关于 x的函数关系式；(2) 当昕=640米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？解(1)设需新建 n 个桥墩，则(”+1)*=皿m即 n=l.x所以 y A-v）=256n+ （力+1） （2+寸;）x=256（三-1）+彳（2+心）x256/z? 厂-2m 256.(2)由知,F 3=_字+詁一

19、*=急喝一 512).3令3=0,得叼=512,所以 x=64 当 0*64 时，/ CYXO, f(在区间(0, 64)内为减函数:当 640, f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x=64处取得最 小值.故需新建 9 个桥墩才能使 y最小.12.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40元，其他费用每小时需 200 元，火车的最髙速度为 100 km/h, 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为 km/h,甲、乙两城距离为 akm 则总费用 f3 =(用+200) 仝=&(用+型)xxm此时刀=一640641=9.13由已知条件,得 40=& 20，.*=扁,得10/20当 0X10/20时，f (JVXO；当 10/20CY0 Q当 X=1O倔时，f3有最小值,3即速度为 1020 km/h 时，总费用最少.三、探究与创新13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为瞥立方米，且 12r.假设该容器的建 造费用仅与其表而积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元， 半球形部分每平方 米建造