圆形跑道问题,赶火车的策略,奔波问题_答案

1、行程问题行程问题有关交通的数学模型有关交通的数学模型行程问题行程问题一、圆形跑道问题一、圆形跑道问题二、赶火车的策略二、赶火车的策略三、奔波问题三、奔波问题甲，乙两人分别从直径甲，乙两人分别从直径AB两端沿圆形跑两端沿圆形跑道同时相向起跑，第一次相遇时离道同时相向起跑，第一次相遇时离A点点50米，第二次相遇时离米，第二次相遇时离B点点50米，求跑道总米，求跑道总长。（假设甲，乙两人在圆形跑道上始长。（假设甲，乙两人在圆形跑道上始终做匀速运动）另外：终做匀速运动）另外：1.能否确定第三次、第四次、能否确定第三次、第四次、第、第n次次两人相遇的地点吗？两人相遇的地点吗？2.这样跑下去，甲乙两人会在

2、这样跑下去，甲乙两人会在A处或处或B处处相遇吗？相遇吗？一、圆形跑道问题一、圆形跑道问题今有今有12名旅客要赶往名旅客要赶往40千米远的一个千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有火车站去乘火车，离开车时间只有3个个小时了，他们步行的速度为每小时小时了，他们步行的速度为每小时4千千米，靠走路是来不及了。唯一可以利米，靠走路是来不及了。唯一可以利用的交通工具是一辆小汽车，但这辆用的交通工具是一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多只能乘坐小汽车连司机在内最多只能乘坐5人，人，汽车的速度为每小时汽车的速度为每小时60千米。问这千米。问这12名旅客能赶上火车吗？名旅客能赶上火车吗？二、赶火车的策略二

3、、赶火车的策略(321)4 02 0 0 ()千 米 用汽车来回送这12名旅客要分3趟，总路程为所需的时间为1 02 0 06 03（ 小 时 ） 3因此，单靠汽车来回接送旅客是无法让12名旅客全部赶上火车的。如果在汽车来回接送前一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，则可以节省一点时间。以下为具体计算过程：方案2 勉强赶到的方案方案方案1 不能赶到的方案不能赶到的方案x46 04 02 .xx51 .2 5 ()4x 小 时。4 01 .2 543 5（ 千 米 ） 。y46 03 52 .yy3 51 . 0 9 ()3 2y小时。3 52 4 53 543 0 .6 33 28（ 千 米 ）

4、。第一趟，设汽车来回共用了和其他旅客的总路程为一个来回，所以解得 此时，剩下的8名旅客与车站的距离为第二趟，设汽车来回共用了小时，那么解得 此时剩下的4名旅客与车站的距离为小时，这时汽车30.63600.51（小时）。1.25 1.090.512.85（小时）。第三趟，汽车用了因此，总共需用时间约为用这种方法，在最后4名旅客赶到火车站时离开车还有9分钟，从理论上说，可以赶得上。但是，我们在计算时忽略了旅客上下车以及汽车掉头等所用的时间。因此，赶上火车是很勉强的。方案3 最快的方案。先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名旅客步行（此时其他8名旅客也在步行）；接着汽车回来再送4名旅客（剩下的4

5、名旅客继续步行），追上前面的4名旅客后也让他们下车一起步行了最后回来接剩下的4名旅客到火车站。为了省时，必须适当选取第一批旅客的下车地点，使得送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同事到达火车站。在整个过程中，每名旅客不是在乘车就是在步行，没有一名旅客是在原地浪费时间，所以，这是一种最快到达火车站的方案。x46 01 5xx（ 千 米 ）解法1，设汽车送第一批旅客行驶他们下车步行，此时其他旅客步行了千米后让1 41 5x1 41 5x1 41 41 51 56 046 043 2xxx(40)x4 023 24xx它们之间相差了于步行旅客的速度都一样，所以两批步行旅客之回行驶两趟，每来回一趟所用的

6、时间为由于汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客千米的时间，故千米。在以后的时间里，由间始终相差千米。而汽车要在这段距离间来步行32()x 千米3240322.53()604小 时 。解得所需的总时间为这说明，这个方案可以挤出大约28分钟的空余时间，足以弥补我们在计算时所忽略的一些时间。因此，这12名旅客可以赶上火车。x40604x60476048xxx。740603284xxxx 8()15x 小时解法2 设每组旅客坐车时间为小时，则步行时间小时。每个空车回程所用时间为而汽车共行驶了3个去程和2个回程，且汽车所用的总时间与每一组旅客所用的总时间相等，即解得 为由此可知，步行时间为406024

7、x（小时）所以，这12名旅客全部赶到火车站的时间是：822.5315（小时）。两兄妹分别在离家两兄妹分别在离家2千米和千米和1千米且方向千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以分别以4千米千米/小时和小时和2千米千米/小时的速度步小时的速度步行回家，一小狗以行回家，一小狗以6千米千米/小时的速度从哥小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？少路程？三、奔波问题三、奔波问题有关交通的数学模型有关交通的数学模型一、交通信号灯的管理一、交通信

8、号灯的管理二、交通路口的红绿灯模型二、交通路口的红绿灯模型问题背景问题背景: 温州七中高一段学生到人民路温州七中高一段学生到人民路城开天桥下的十字路口，希望通过对十字路城开天桥下的十字路口，希望通过对十字路口红绿灯开设时间及车流量调查，来粗略研口红绿灯开设时间及车流量调查，来粗略研究一下有关交通的数学模型。究一下有关交通的数学模型。 为此，先让学生分组去观察，把得到的为此，先让学生分组去观察，把得到的数据取平均，得到了下面一组数据：东西方数据取平均，得到了下面一组数据：东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒；南北秒；南北方向绿灯即东西方向红灯的时间为方向绿灯即东西

9、方向红灯的时间为39秒，所秒，所以红绿灯变换一个周期的时间为以红绿灯变换一个周期的时间为88秒。在红秒。在红绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东绿灯变换的一个周期内，相应的车流量：东西方向平均为西方向平均为30辆，南北方向平均为辆，南北方向平均为24辆。辆。这组数据说明了什么问题呢？这组数据说明了什么问题呢？在红绿灯变换的一个周期时间在红绿灯变换的一个周期时间T内，从东内，从东西方向到达十字路口的车辆为西方向到达十字路口的车辆为H，从南北，从南北方向到达十字路口的车辆数为方向到达十字路口的车辆数为V,问如何确问如何确定十字路口某个方向红灯与绿灯点亮的定十字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合

10、理？时间更合理？一、交通信号灯的管理一、交通信号灯的管理(1)黄灯时间忽略不计；只考虑机动车，黄灯时间忽略不计；只考虑机动车，不考虑人流量及非机动车辆；只考虑不考虑人流量及非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况。东西、南北方向，不考虑拐弯的情况。(2)车流量均匀。车流量均匀。(3)一个周期内，东西向绿灯，南北向一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯时间相等；东西向与南北向周期红灯时间相等；东西向与南北向周期相同。相同。分析：分析：这里所谓的合理，就是从整体上看，在红这里所谓的合理，就是从整体上看，在红绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留绿灯变换的一个周期内，车辆在此路口的滞留总时间

11、最少。总时间最少。模型假设模型假设(1)黄灯时间忽略不计；只考虑机动车，不考黄灯时间忽略不计；只考虑机动车，不考虑人流量及非机动车辆；只考虑东西、南北方虑人流量及非机动车辆；只考虑东西、南北方向，不考虑拐弯的情况。向，不考虑拐弯的情况。(2)车流量均匀。车流量均匀。(3)一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯时一个周期内，东西向绿灯，南北向红灯时间相等；东西向与南北向周期相同。间相等；东西向与南北向周期相同。1y2y 。1y。/V t T。建立模型建立模型 设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯时间设东西方向绿灯时间（即南北方向红灯时间）为）为t秒，则东西方向红灯时间（即南北方向绿灯秒，则东西方向红灯

12、时间（即南北方向绿灯时间）为（时间）为（T-t）秒。设一个周期内车辆在此路口）秒。设一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为的滞留总时间为y秒。秒。根据假设，一个周期内车辆在此路口的滞留总时根据假设，一个周期内车辆在此路口的滞留总时间间y分成两部分，一部分是南北方向车辆在此路口分成两部分，一部分是南北方向车辆在此路口，另一部分是东西方向车辆在此下面计算南北方向车辆在此路口滞留的时间下面计算南北方向车辆在此路口滞留的时间滞留的时间滞留的时间路口滞留的时间路口滞留的时间 在一个周期中，从南北方向到达路口的车辆数在一个周期中，从南北方向到达路口的车辆数为为V，该周期中你那北方向亮红灯的比率是，该周期中你

13、那北方向亮红灯的比率是t/T，需，需停车等待的车辆数是停车等待的车辆数是这些车辆等待时间最这些车辆等待时间最由此可知，南北方向车辆在此路口滞留的由此可知，南北方向车辆在此路口滞留的短为短为0（刚停下，红灯就转换为绿灯），最长为（刚停下，红灯就转换为绿灯），最长为t（到达路口时，绿灯刚转换为红灯），由假设（到达路口时，绿灯刚转换为红灯），由假设（2）“车流量均匀车流量均匀”可知，他们的平均等待时可知，他们的平均等待时间间/2t。是是时间为时间为2122VttVytTT22() .2HyTtT同理，东西方向车辆在此路口滞留的时间为同理，东西方向车辆在此路口滞留的时间为所以所以2212() .22V

14、HyyytTtTT2222222222()221(2)21(2)222()22()22 ()2VHytTtTTV tH tH T tH TTH TV tH tH T tTVHH TH TttTVHVHH THTH TtTVHVHTHtHV模型求解模型求解是关于是关于t的二次函数，容易求得当的二次函数，容易求得当时，时，y取得最小值。取得最小值。函数函数取取 “问题背景问题背景”中调查的数据，即中调查的数据，即88,30,24,THV则则222222222222430(88)(88)2 882315()()(88176)2288315()15 8830()228827882788()(15)(15) 15 8888278827yttttttttt88 3048.88893024tmin587()y秒当当时时，数值模拟数值模拟由此可见，我们计算所得的结果和同学们实际由此可见，我们计算所