地球内部密度重力加速度与压强分布公式的拟合

1、地球内部密度 、重力加速度与压强分布公式的拟合李安生(安阳师院 物理系 ,河南 安阳 455002)摘要 :利用地震学家布伦由地震波速度分布得出的密度 、重力加速度 、压强的一组典型数据 ,采用拟合的方法 ,得出了较简洁的密度 、重力加速度 、压强分布的近似公式 . 这些公式对研究地球内部的其他相关性质 ,具有 重要的意义 .关键词 :地球的密度 ;地球内的压强 ;公式的拟合中图分类号 : p 312文献标识码 :a文章编号 :0258 - 7971 (2007) 05 - 0480 - 051 5,由图 1 中的曲线可看出 , 密度 的分布是不在地球科学的研究中 ,地球的许多特性都与地球的密

2、度分布和压强分布有关 ,因此地球内部的密 度公式和压强公式就显得十分重要. 历史上曾由求解克雷若 ( a . c. clairaut ) 微分方程得到几种不同的密度公式1 , 但由于建立微分方程的假定和地 球的层状结构并不一致 ,而求解微分方程主要依据的是边界条件和数学规律 ,因而所得公式都不令人 满意. 近年来 ,不断有学者探讨地球的密度及其与地球的其它相关性质的关系2 ,3 ,也有学者尝试建立地球密度结构的数学模型4 ,但是 ,由于其所建 数学模型严重偏离公认的地球密度分布 ,所得一系列计算公式 ,基本都不成功 ( 见本文第 3 部分) . 为 了地球相关性质的研究方便 ,本文根据地震学家

3、布伦 ( k. e. bullen) 对地球的地震纵波和横波的波速分析所得出的数据 ,采用拟合的方法导出了密度 、 重力加速度 、压强随深度变化的近似公式 ,期望能有利于对地球内部其他相关性质的分析和研究.连续的 ,在上地幔 b 层与 c 层的分界面及附近有小跃变 ,在核幔边界处 ( 深 2 898 km) 有一大跃变 ,密度随深度的变化关系应大致分 3 段来考虑. 由图1 中 的 密 度 分 布 曲 线 , 对 照 已 知 函 数 的 图 像 类型6,可知在深度 33413 km 区间 ,密度函数的形式为 = 0 + b ( h - h0 ) , 由表 1 的数据很容易得出 = 3 . 32

4、 + 8 . 42 ×10 - 7 ( h - 33 ×103 ) , ( 1)表 1 地球的密度分布 、重力加速度分布和压强分布tab. 1 the densit y dist ributio n , t he gravit y acceleratio n and t he p ressure dist ributio n of t he eart h / ( g·cm - 3 )g/ ( m·s - 2 )h/ kmp/ gpa334139842 0002 898幔核界面2 8984 0004 9805 1206 3713 . 323 . 644 .

5、 555 . 115 . 569 . 8469 . 9609 . 96610 . 0110 . 730 . 914 . 137 . 987 . 01361地球内部密度与重力加速度分布公式表 1 是布伦提出的 a 模式中 , 地球内部几个特殊深度 h 处物质的密度和重力加速度 g 与压强 p 的数值 1 ,表中未列入地幔以上部分的数据 , 是因为地幔以上的部分 ,无论从横向还是纵向 ,都 有较大的变化 ,不易确定一个典型的代表值 ,故拟 合的公式从深度 33 km 做起 ,其上部分不做讨论. 根据表中的数据 , 和 g 随 深 度 的 变 化 曲 线 如 图9 . 9811 . 4212 . 1

6、712 . 2512 . 5110 . 737 . 884 . 784 . 310136247320328361力加速度 g 的变化均可粗略地看成线性的 , 即 g =a + bh 的形式. 直接利用表 1 中的数据 , 和 exc el 程序中提供的拟合直线参数的方法 , 可方便地得出 地球核外 、核内 2 个区域中的重力加速度计算公式g1 = 9 . 785 + 2 . 542 ×10 - 7 h ,g2 = 20 . 00 - 3 . 094 ×10 - 6 h .( 4)( 5)单位 m ·s- 2 . 使用公式 ( 4) 计算深度在 ( 0 2 898

7、km) 区间的重力加速度 g1 的相对误差小于3 % , 使用公式 ( 5) 计算深度在 ( 2 898 6 371 km) 区间的 重 力 加 速 度 的 相 对 误 差 小 于 4 % ( 地 心 除 外) . 其绝对误差均在 0 . 3 m ·s- 2 及以下.2地球内部的压强分布及变化率将地球看成一个均匀的球体 ,并忽略旋转离心图 1 地球的密度分布和重力加速度分布曲线tab. 1 the curve of t he density dist ributio n and t he grav2it y acceleratio n dist ributio n of t he e

8、art h力的作用 ,地球内部任一小柱体沿竖直方向的受力情况如图 2 ,则有 : f1 + g = f2 . 设其底面积为 s , 高为 h , 上底面所受的压强为 p1 , 下底面所受的 压强为 p2 , g = v g 为物体所受地球的引力 , 则有 p1 s +v g = p2 s , 注意到 v = sh , h 为深度 , 则 有 : p2 - p1 = gh , 当 h 0 时有单位为 g·cm - 3 . 另两段密度函数的形式均近似为 - 0 = a ( h - h0 ) b 的形式. 其中 h 是深度 , a 和 b 是待定的参数 . 作数学变换将方程的形式转换 为

9、线性形式 :ln (- 0 ) = ln a + bln ( h - h0 ) , 为 y= a + b x 的形式 , 利用直线拟合的方法可以求出a 和 b 的数值 , 再反变换即可得密度分布的具体函 数形式. 笔者用表 1 的数据和 exc el 程序中提供的拟合直线参数的方法 7 , 用函数 sl o p e 直接求 出了斜率 b 的值 ,用函数 in t erc ep t 直接求出了截距 a , 用函数 co rr el 求出了相关系数 , 并求出 了密度的近似公式. 分别如下 :在深度 ( 413 km , 2 898 km) 的核外区间 1 中 ,a 1 = 0 . 161 17

10、, b 1 = b1 = 0 . 501 3 , 反 变 换 a1 =d p = gd h .地球内部的压强随深度的变化率为( 6)d p= g .( 7)d h地球内部任一深度h 处的压强为p hhd ph0=gd h .( 8)p0a 1e= 1 . 175 , 取 h0 = 413 km ,0 = 3 . 64 g·cm - 3 ,密度公式为1 = 0 + a1 ( h - h0 ) b =3 . 64 + 1 . 175 ×10 - 3 ( h - 413 ×103 ) 0 . 501 3 .( 2)在深度 ( 2 898 km ,6 371 km) 的核

11、内区间 2 中 , h0 = 2 898 km ,0 = 9 . 98 g ·cm - 3 用 exc el 程序中提供的方法计算得 , a 2 = 0 . 263 15 , b 2 = b2 =图 2 小柱体沿竖直方向的受力情况fig. 2 small barrel alo ng vertical directio n st ress sit uatio na 2将密度 的公式和重力加速度 g 的公式代入( 7) 式 , 可得地球内部任一深度 h 处的压强的变化 率 .将密度 的公式和重力加速度 g 的公式代入( 8) 式 , 可得地球内部任一深度 h 处的压强. 然而 ,采用 (

12、 8) 式积分求地球内部的压强 , 不仅麻烦 , 结0 . 507 0 , 反变换 a2 = e= 1 . 30 , 则密度公式为= 9 . 98 + 1 . 30 ×10 - 3 ( h - 2 898 ×103 ) 0 . 507 .( 3)使用公式 ( 1) ( 3) 验算密度的分布 , 相对误 差均在 1 % 左右 , 比较可靠.由图 1 中重力加速度 g 的分布曲线可看出 :重2果也很繁杂 , 既不便使用也很难看出压强的变化趋势 , 故本文仍采用拟合的方法 .由表 1 中压强的数据可得地球内压强的分布 曲线如图 3 8 , 由图 3 可以看出 , 以核幔界面为界

13、, 地核内外的压强分布均近似为正弦曲线的一部分 ,式中 g 是万有引力常数 , m 是以 r0 为半径的球体的质量 ,是地球内部的密度分布 9 , 由上面得出 的密度分布公式 , 本可用 ( 11) 式积分可得出重力 加速度 g 的分布公式 . 但由于结果比较繁杂 , 且不 易看出其变化趋势 , 本文也未采用这种方法 , 仍采 用直线拟合的方法.符合 p = p0 + p m sin( x - x 0 )的形式. 采用m逐次逼近的方法 , 可得出在地核外pw = 136 ×109 + 158 ×109 ·( x - 2 898 ×103 )sin, (

14、9)在地核内pn = 136 ×109 + 230 ×109 ·( x - 2 898 ×103 )( 10)sin使用公式 (9) 计算核外部分的压强相对误差小于 5 % (接近地壳的部分除外) ,使用公式 ( 10) 计算 核内部分的压强相对误差小于 1 . 3 %.需要特别说明的是 ,在忽略旋转离心力的情况下 ,地球内部任一点的重力加速度是地球内其他所 有物质的质量对该点单位质量的引力之合. 即距地图 3fig. 3地球内部压强随深度的变化关系pressure , wit h t he chag erelatio n of t he dep t h

15、 wit hin t he eart h用所求的密度公式 (1) (3) ,重力加速度公式(4) , (5) ,压强公式 (9) , (10) ,计算地球内几个典型 部位的数值及与表 1 中公认数据的误差见表 2 .心r0 处的重力加速度 g 为 r0gm g2=4r d r ,0( 11)g=r2r200表 2典型部位的密度 、重力加速度 、压强以及相应误差tab. 2 density of t he t ypical positio n ,acceleratio n of gravit y ,p ressure and correspo nding errors计算值/ ( g·

16、cm - 3 )误差 /( g·cm - 3 )g/ ( m·s - 2 )g/ ( m·s - 2 )p/ gpah/ kmp/ gpa333 . 329 . 7931 . 090 . 0- 0 . 0530 . 194133 . 649 . 89013 . 40 . 0- 0 . 07- 0 . 79844 . 54310 . 03536 . 2- 0 . 0070 . 069- 1 . 72 0005 . 14810 . 29386 . 190 . 0380 . 283- 0 . 812 8985 . 52810 . 522136. 0- 0 . 032-

17、0 . 2080 . 02 8984 0004 9805 1209 . 98011 . 48412 . 05712 . 12711 . 0347 . 6244 . 5924 . 159136. 0244. 5320. 14328. 380 . 00 . 064- 0 . 113- 0 . 1230 . 304- 0 . 256- 0 . 188- 0 . 1510 . 0- 2 . 50 . 140 . 386 37112 . 6720 . 288365. 90 . 1620 . 2884 . 9/ 23 523 ×103/ 24 398 ×103/ 2x从表 2 中的数据

18、可看出 :这 3 组公式均能近似地反映地球内部各量的变化规律 ,而应用上述公式 计算的密度的绝对误差小于 0 . 162 g·m - 3 ,多数小 于 0 . 1 g·m - 3 ,重力加速度的绝对误差在 0 . 3 m·s2 及以下 ,压强的绝对误差除地心外都在 2 . 5 gpa 以 下 . 在要求不十分严格的情况下 ,上述公式近似地 反映了地球内部密度 、重力加速度和压强的分布情 况 ,对地球内部相关性质的分析是很有益处的.计算几个特殊点的重力加速度值 ,并和表 1 的数据相比较 ,结果见表 4 .由表 4 的数据可看出 ,重力加速度分布的计算 误差在核幔边

19、界附近达 14 % ,其他区域尚可 .而文献 4 在其得出的密度公式和重力加速度 公式的基础上导出的地球内部的压力公式 (12) ,同 样存在类似的问题 ,使用时应引起注意.表 3 密度的计算结果与公认数据的比较tab. 3 the result s of dense calculatio n and t he co mpari2so n of generally acknowledged data对关于创建地球密度结构数学模型的构想一文的看法地球的密度与地球的许多现象和性质有关 ,因 此探求地球密度的分布规律一直是人们十分关注的 问题. 由于地球的层状结构及温度 、压强等多因素的 影响 ,地

20、球密度的分布规律多以数表和图线的形式 给出 ,尚未有一个大家一致认可的地球密度分布公 式. 显然关 于 创 建 地 球 密 度 结 构 数 学 模 型 的 构 想4 一文的尝试是有积极意义的. 但是 ,该文所得 数学模型与目前公认的地球内部结构和密度分布的 基本模式存在很大的偏差 ,故提出予以商榷.在文献 4 中 ,作者首先假定地球密度的变化 从地心沿半径方向呈线性递减 ,即设3计算值 /( g·cm - 3 )公认值 /( g·cm - 3 )h/ km相对误差/ %334139842 0002 898幔核界面2 8984 0004 9805 1206 3712 . 71

21、43 . 3974 . 4226 . 2477 . 8603 . 323 . 644 . 555 . 115 . 56- 18 . 3- 6 . 7- 2 . 922 . 541 . 47 . 8609 . 83911 . 6011 . 8514 . 119 . 9811 . 4212 . 1712 . 2512 . 51- 21 . 2- 13 . 8- 4 . 7- 3 . 312 . 8=0 - k r ,(12)其中 是地球内距地心 r 处的密度 ,0 为地球核心处的密度 , k 是待定常数. 这一假定本身就违背 了地球密度分布的实际规律 , 注定其结果是错误 的 . 根据目前公认的布

22、伦模式 ,地球的密度分布和 重力加速度分布如图 1 ,从图中的曲线可看出 , 密度随半径 r 的变化绝对不是线性的 ,而且在 3 473 km 处有一大跃变 ,在上地幔 b 层与 c 层的分界面 及附近有小跃变 ,用一个连续的线性函数来表达 , 肯定是错误的 . 我们不妨用文献 4 中的密度公式 , 并利用文献 4 中导出的常数 :0 = 14 . 11 g/ cm3 和表 4 重力加速度的计算结果与公认数据的比较tab . 4 the result s of calculation of acceleration of gravity and t he comparison of gener

23、ally acknowledged data计算值 g/( m·s - 2 )公认值 g/( m·s - 2 )h/ km相对误差/ %334139 . 87610 . 149 . 8469 . 9600 . 31 . 898410 . 339 . 9663 . 6511 . 456= 1 . 796 ×10 - 8 g/ cm4 ,对不同深度k =6 378 ×1052 00010 . 0510 . 010 . 4(半径) 处的密度进行计算 (注意单位统一) ,与公认的数据进行对比 ,具体结果见表 3 .从表 3 的数据可看出 ,除个别区域外 ,相对误

24、 差都在 2 位数 , 特别是核幔边界 , 高达 41 % , 这显 然是不能接受的. 而在此基础上导出的重力加速度2 898幔核界面9 . 16710 . 73- 14 . 62 8989 . 16710 . 73- 14 . 64 0007 . 2507 . 88- 8 . 0分布公式 ,也必然存在类似的问题. 由文献 4公式 (8)中的4 9804 . 7784 . 78- 0 . 045 1204 . 3654 . 311 . 3g 4r - gk r23 0g =( 13) 6 371 0 0 0 文献 4 的作者在后续文章 : 用“地球密度结构数学模型”求证“pr em 地球模型”

25、10 一文中 ,将文 献 4 中得出的密度结构数学模型的线性形式 ,应 用于 15 个不同的层段中 , 用于印证“pr em 地球科学出版 ,1985 .曾晔光 . 关于地球密度的分层分布 j . 重庆师范学院 学报 :自然科学版 ,1989 ,6 (1) :15217 .王颤文 . 关于地球引力场与地磁场相关性及其物理意 义的讨论 j . 地震地磁观察与研究 ,1989 (1) :78279 .袁立新 . 关于创建地球密度结构数学模型的构想 j .云南大学学报 :自然科学版 ,2006 ,28 ( s1) :1772181 . 胡德昭 ,朱慧娟. 地球物理学原理及应用 m . 南京 : 南京

26、大学出版社 ,1995 .杨 介 信 , 陈 国 英 . 普 通 物 理 实 验 ( 二 、电 磁 学 部 分 )23模型”的正确性 ,实际上也正是在否定文献 4出的地球密度结构线性模型的正确性 .中提454结束语以上是笔者采用大家公认的布伦模式中地球6的密度 、重力加速度和压强的典型数据 ,利用物理实验中常用的曲线拟合的方法得出的一组地球的 密度 、重力加速度 、压强分布的公式 ,应用这些公式 虽然都存在误差 , (密度的误差一般在 1 %左右 ,重 力加速度的误差在 3 %左右 (地心除外) ,压强的相 对误差 5 %以下 (地壳除外) ) 但多数情况是可以接受的 ,希望能给相关的研究带来方便. 对文献 4 的 看法 ,仅供参考 ,不妥之处 ,望指正.北京 :高等教育出版社 ,1983 .m .7朱鹤年 . 基础物理实验教程 m . 北京 :高等教育出版社 ,2003 .金祖孟 . 地球概论 m . 北京 :高等教育出版社 ,1983 . 盖保民 . 地球演化