34实际问题与一元一次方程

1、 人教版义务教育教科书数学七年级上册 3.4 实际问题与一元一次方程内容简介本节在前面已经讨论过由实际问题建立一元一次方程和解一元一次方程的一般步骤的基础上，进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题本节要探究的三个问题要比前几节的问题复杂些，问题情境与实际情况更接近因此具有一定难度，教学中不宜再加大难度本节教科书的重点是，进一步体现一元一次方程与实际的密切联系加强数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽所以在探究过程中正确地建立方程是主要难点突破难点的关键是弄清问题背景分析清楚有关数量关系特别是找

2、出可以作为列方程依据的主要相等关系教学目标1通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力2通过探究销售的盈亏问题经历从定性考虑到定量考虑的过程，提高数学的应用意识；通过探究“球赛的积分表”渗透反证法的数学思想3能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示的问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想4通过问题的探究培养学生从不同形式获取有关数据信息的能力教学重点本节的重点是建立实际问题的方程模型通过探究实际问题，进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，加强数学建模思想，培养

3、运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力，提高数学的应用意识教学难点本节的难点是探究实际问题正确的建立方程由于本节问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，分析已知量、未知量以及各种量之间的关系比较困难，突破难点的关键是弄清问题的背景，分析清楚已知量、未知量的关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要等量关系课时安排4课时第1课时教学内容工程问题教学目标1进一步掌握利用一元一次方程解决实际问题，培养分析问题，解决问题的能力2经历分析工程问题中的数量关系，运用方程解决实际问题的过程，进一步体会“建模”思想教学重点工程中的工作量、工作效率和工作时间的关系，以及找出相等关系教学难点把全

4、部工作看作1教学过程一、提出问题 导入新课同学们好，我们前几节分析了解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、最后系数化为1，通过探讨，我们已经看出，方程是分析和解决实际问题的一种很有用的数学工具那么，如何用一元一次方程来解决实际问题呢？二、实例分析 归纳总结例 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母，一个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套解：设应安排x名工人生产螺钉，(22x)名工人生产螺母2 000(22x)2×1

5、200x解方程，得5(22x)6x，1105x6x， 11x110， x1022x12答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母例 整理一批图书，由一个人做要40 h完成 现计划由一部分人先做4 h，然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 分析：如果把总工作量看作1，则人均效率（一个人1 h完成的工作量）为，x人先做4小时完成的工作量为，增加2人后再做8 h完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量解：设安排x人先做4 h根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程 1解方程，得 4x8(x2)40， 4x8x1640

6、， 12x24， x2 答：应安排2人先作4 h归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，检验所得结果，确定答案 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础三、练习解答 实践应用练习：1一套仪器由一个a部件和三个b部件构成用1 m3钢材可做40个a部件或240个b部件现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做a部件，多少钢材做b部件，恰好配成这种仪器多少套?2一条地下管线由甲工程队铺设单独需要12天，乙工程队则要24天如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？参考答案1分析：设应用x m3钢材做a部件，那么应用(

7、6x)m3钢材做b部件6m3钢材应制作40x a部件、240(6x)b部件，恰好配成这种仪器套数也是40x(一套仪器由一个a部件组成)，根据一套仪器由一个a部件和三个b部件构成，可以找出等量关系：a部件的数量的3倍b部件的数量，由此，列得方程3×40 x240(6x)解方程，得x4那么6x4，40 x1602分析：把总工作量看作1，那么甲工程队每天的工作量为1/12，乙工程队每天的工作量为1/24设要x天可以铺好这条管线，根据分量之和等于总量的关系，列得方程1解方程，得x8即要8天可以铺好这条管线四、作业教科书第101页练习第2课时教学内容销售中的盈亏教学目标1理解商品销售中所涉及的

8、进价、原价、售价、利润及利润率等概念；能利用一元一次方程解决商品销售中的一些实际问题2经历运用方程解决销售中的盈亏问题，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型教学重点运用方程解决实际问题教学难点如何把实际问题转化为数学问题，列方程解决实际问题教学过程一、提出问题 导入新课前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何解方程，可以看出方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具，但是，有些实际问题中，数量关系比较隐蔽，需要仔细分析才能列出方程例如探究1销售中的盈亏一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈

9、利还是亏损，或是不盈不亏？二、师生合作 问题探究 分析：两件衣服共卖了120(60×2)元，是盈是亏要看这家商店买进这两件衣服时花了多少钱 如果进价大于售价就亏损，反之就盈利假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品利润是40×25%元；如果卖出后亏损25%，商品利润是40×(25%)元本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25 x元 根据进价与利润的和等于售价，列出方程 x0.25x60由此得 x48类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是0.25y元，列出方程 y0.25y60由此得y80两件衣服的进价是

10、xy128元，而两件衣服的售价是6060120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元三、实例分析 巩固提高问题2 本节课我们再探究一个农业生产中的一个较复杂的问题某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率为40%，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点 （1）今年与去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20%，今年油菜植种面积是多少亩？（2）油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价为6元/千克，请比较这个村去、今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入分析：首先让学生明确“含油率”、“10个百分点”、“

11、产油量”等词的含义，分析问题中的基本等量关系在学生充分思考，交流后，小组派代表介绍小组的解题方法 问题中有基本等量关系产油量油菜籽亩产量×含油率×种植面积当题目中的数量关系比较复杂时，运用列表法可以较方便的处理问题请你找出问题中的两类量并列出草表解：（1）设今年种植油菜x亩，则去年种植油菜(x44)亩由上面基本等量关系，得去年产油量160×40%×(x44）；今年产油量(16020)×(40%10%)x；根据今年比去年产油量提高20%，列方程：（16020)×(40%10%)x(120%)×160×40%×

12、;(x44), 90x76.8(x44),13.2x3 379.2,x256因此今年油菜种植面积是256亩（2）去年油菜种植成本为210(x44)210×30063 000(元)售油收入为 6×160×40%×300115 200(元)售油收入与油菜种植成本差为115 20063 00052 200(元)今年油菜种植成本为210x210×25653 760(元)售油收入为6×180%×50% x6×180×50%×256138 240(元) 138 24053 7609 240(元)今年比去年售

13、油收入增加了 138 240115 20023 040(元)今年比去年种植油菜纯收入增加了32 280元四、小结通过实际生活中的实例，用问题的形式来探究新课内容，使学生感受数学来源于生活，生活中需要数学先由学生估算(培养学生敏感意识)然后通过师生合作交流，学生自主探索，得出结论，让学生品尝成功的喜悦第3课时教学内容球赛积分表问题教学目标1掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力2通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义教学重点把实际问题

14、转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断教学难点把实际问题转化为数学问题教学过程一、设计问题 导入新课1以2012年伦敦奥运会上，篮球比赛展开教学活动；2有条件的学校，还可以播放几分钟篮球比赛录像，活跃课堂气氛，激发学生学习的兴趣二、探究分析 讲授新课探究2球赛积分问题某次篮球联赛积分榜队 名比赛场次胜场负场积分前进1410424东方1410424光明149523蓝天149523雄鹰147721远大147721卫星1441018钢铁1401414（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?分析：观察积分榜，从最下面一行数据可

15、以看出：负一场积1分 设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值 例如，从第一行得方程10x1×424由此得 x2用积分榜中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分（1）如果一个队胜m场，则负(14m)场，胜场积分为2m，负场积分为14m，总积分为2m(14m)m14（2）设一个队胜了x场，则负了(14x)场如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程2x14x由此得x想一想，x表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 解决实际问题时要考虑得到的结果是不是符合实际x(所胜的场数)的值必须是整数，所以x不符合实际由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等

16、于负场总积分上面的问题说明，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义三、小结通过本节课的探究活动，使我们更加明白利用一元一次方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义，同时，还可以利用方程对一些问题进行推理判断第4课时教学内容话费方案问题教学目标1进一步掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，充分了解解决实际问题的复杂性的不确定性，提高分析问题、解决问题的能力2通过探索电话计费问题，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型，并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解

17、是否符合问题的实际意义教学重点把实际问题转化为数学问题 教学难点把实际问题转化为数学问题教学过程一、设计问题 导入新课移动电话在我国已经普及，手机收费方式多种多样，对于我们来说，选择经济实惠的收费方式很有现实意义下面我们探究电话计费问题二、探究问题 讲授新课探究3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/(元/min)被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费考虑下列问题：（1）设一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数)根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费（2）观察你的列表，你能从中发现如何

18、根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法分析：（1）由上表可知，计费与主叫时间相关，计费时首先要看主叫是否超过限定时间因此，考虑t的取值时，两个主叫限定时间150 min和350 min是不同时间范围的划分点当t在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下页表：主叫时间t/min方式一计费/元方式二计费/元t小于1505888t1505888t大于150且小于350580.25(t150)88t350580.25(350150)10888t大于350580.25(t150)880.19(t350)（2）观察（1）中的表，可以发现：主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况当t小于或等于150时，按方式一的计费少当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而按方式二的计费一直是88元 因此，当t大于150并且小于350时可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等 列方程 58+0.25(t150)88，解得 t270因此，如果主叫时间恰是270 min，按两种方式的