自动控制根轨迹(极点,零点)分享课件

1、1第四章第四章 根轨迹法根轨迹法4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则绘制根轨迹的基本条件和基本规则4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 滞后系统的根轨迹滞后系统的根轨迹4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4-5 利用根轨迹法分析系统的性能利用根轨迹法分析系统的性能4-6 用用MATLAB绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹2控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在S平面上分布的位置有关。决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这些根在S平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了系统的基本特性。为此目的，依万斯（W.R.EVans）

2、在1984年提出了根轨迹法，令开环函数的一个参数开环增益（或另一个感兴趣的参数）从0变化到，与此对应，特征方程的根，便在S平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹。根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一。3二阶系统暂态响应 分为：二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统 其阻尼比、极点分布和单位阶跃响应如下图所示：44-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念一举例说明根轨迹的概念一举例说明根轨迹的概念 特征方程的根为KSSKSRSCs2)()()(02KSSKS4121211KS41212125 令开环增益从变化到，用解析方法求不同所对应的特征根的值，

3、将这些值标在S平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随着值的增加，根轨迹的变化趋势。根轨迹的基本概念当K=0时，S1=0，S2=-1KS4121211KS4121212K=0.25K=0K=0KK-1j6根轨迹的基本概念 从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:1、稳定性：因为根轨迹全部位于左半S平面，故闭环系统对所有的值都是稳定的。2、稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。K=0.25K=0K=0KK-1j73、暂态性能 （1）当0Km，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n-m条根轨迹将趋于无穷远处。

4、 举例如题，起点：0、-1，无零点，n=2，m=0，n-m=2，有两条根轨迹) 1()(SSKSGK=0.25K=0K=0KK-1jniimjjpszsKSHSG111)()()()(0)()(1SHSG16绘制根轨迹的基本规则三根轨迹的分支数三根轨迹的分支数根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。四实轴上的根轨迹四实轴上的根轨迹 在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数。 设系统开环零、极点分布如图所示。为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在 和 之间任选一个试验点 。3p1z1s17绘制根轨迹的基本规则1、共轭复数极点到的幅角之和为0，相互抵消，因此开环共轭

5、复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。2、若实轴上的某一段是根轨迹，一定满足相角条件。试验点左侧的开环零、极点提供的相角为0,而右侧的相角为180。点满足相角条件，所以 之间是根轨迹。1s1s3p1z18-2-4例4-1：)4)(2()3)(1()(1SSSSSKSG（单位反馈）有三个极点， 根轨迹有三条分支jn=3,m=2有3-2=1条根轨迹， 2条终止于开环零点。在实轴上不同段上取试验点oo-3-119绘制根轨迹的基本规则五根轨迹的渐近线五根轨迹的渐近线1、根轨迹中（n-m）条趋向无穷远处的分支的渐近线的 倾角为mnqa180) 12(, 2 , 1 ,

6、 0q，（n-m-1)当时，求得的渐近线倾角最小；0qq 增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有(n-m)条20绘制根轨迹的基本规则2、渐近线与实轴的交点mnzpnimjjia11 渐近线的交点总在实轴上，即 必为实数。在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可。a开环零点数开环极点数开环零点的实部之和开环极点的实部a21例4-2) 2)(1()()(1SSSKSHSG求根轨迹解：在平面中确定开环零、极点的位置。-1-2j确定实轴上的根轨迹。n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向无穷远处。确定渐近线的位置180, 160, 03180) 12(

7、180) 12(103210321aaaaqqqmnqmnppp-0.4232j2jK1=6K1=6-606022绘制根轨迹的基本规则六、分离点和会合点六、分离点和会合点两条根轨迹分支在S平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）。它对应于特征方程中的二重根（如例4-2，实轴上的根轨迹要从某一点分开，然后沿渐近线方向趋向无穷远处，把分离点所对应的1值代入特征方程，应求得二重根）。根轨迹关于实轴对称， 分离点或会合点必然是实数或共轭复数 常见的分离点或或会合点位于实轴上。求方程式 的根，可以确定分离点或会合点。01dsdK23绘制根轨迹的基本规则例4-2，求分离点上的坐标

8、。系统的特征方程为或0) 2)(1(1)(11sssKsG)2)(1(1sssK0)263(21ssdsdK上式的根577. 1,423. 06243662, 1s因为分离点在0至-1之间，故 为分离点的坐标，而舍弃423. 01s577. 12s用幅值条件确定分离点的增益：385.0577.1577.0423.02101sssk24七、根轨迹与虚轴的交点七、根轨迹与虚轴的交点当增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半S平面，这表示将出现实部为正的特征根，系统将不稳定。必须确定根轨迹与虚轴的交点，并计算对应的使系统处于临界稳定状态的开环增益。在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根。因此

9、可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。可以用 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。1K1Kjs 25续例4-2，将 代入特征方程。js 0230)23(0)2)(1(123121KjjKjjKjjj当时，系统出现共轭虚根 ，此时系统处于临界稳定状态。2j61K实部虚部63,2020321321KK26 在确定根轨迹与虚轴的交点，求出分离点，并做出渐近线以后，根轨迹的大概趋势知道了，为了能较精确的画出根轨迹，需在分离点附近取几个试验点，使其满足相角条件。然后连成光滑曲线，最后逐渐靠近渐近线。绘制根轨迹的基本规则27绘制根轨迹的基本规则八、根轨迹的出射角和入射角八、根轨迹的出射角和入射角当系

10、统存在共轭复数极点（或零点）时，为了准确地做出根轨迹的起始段（或终止段），必须确定根轨迹的出射角（或入射角）。根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴正方向的夹角称为出射角。出射角表示根轨迹从复数极点出发时的走向。 180p开环复数零点处，根轨迹的入射角为 180z式中pz即为其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角开环复数极点处，根轨迹的出射角为28绘制根轨迹的基本规则求从出发根轨迹的出射角。5p45)904070130(105180)(18043215ppppzp用量角器量后，得 ，在图上标出 。的出射角和 对称。5p5p4p5p29根轨迹绘制举例根轨迹绘制举例例例1.具有一个零点和具有一

11、个零点和3个实极点的三阶系统的根轨迹。个实极点的三阶系统的根轨迹。)1()1()()(2 TsssKsHsG 设系统的开环传递函数为：)()()1()1()()(22psszsKTsssTKsHsGg 04 T解：把开环传递函数化为零、极点形式301.根轨迹有3条分支，起点为开环极点0、0、-1/T，终点为开环零点-1/及无穷远处。 j0 0 。T1 1 2.根轨迹在实轴上的分布为-1/T，-1/ 。3.根轨迹有n-m=2条渐近线，0902)12( k倾角为倾角为 232)/1(/1 Ta与实轴交点为与实轴交点为 23 )1()1()()(2TsssKsHsGg 31例例2.具有一对开环复根和

12、一个开环实零点的四阶系统的根具有一对开环复根和一个开环实零点的四阶系统的根轨迹。轨迹。)22)(3()2()()(2 sssssKsHsGg设系统的开环传递函数为：解： 1.根轨迹有4条分支，起点为开环极点 0、 -3、-1+j、-1-j，终点为开环零点-2及无穷远处。2.根轨迹在实轴上的分布为(-,-3和-2，0。32)22)(3()2()()(2 sssssKsHsGg3.根轨迹有n-m=3条渐近线，00180,603)12( k倾倾角角为为13)2(113 a 与与实实轴轴交交点点为为4.极点-1+j的出射角为-26.6o 极点-1-j的出射角为+26.6o33)22)(3()2()()

13、(2 sssssKsHsGg5.根轨迹与虚轴的交点0)2(685234 sKssssg系统特征方程为把s=j代入上式可解得00 gK 761. 1 gK 即根轨迹与虚轴的交点为 ，相应的根轨迹 增益为Kgc=7 。61. 1 j 34)22)(3()2()()(2 sssssKsHsGg354-3 广义广义根轨迹根轨迹其它种类的根轨迹其它种类的根轨迹: : 3.正反馈回路和零度根轨迹 2.多回路系统的根轨迹1.参数根轨迹36 在实际系统设计中，除了根轨迹增益Kg外，还常常要分析其它参数变化时对闭环特征根的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。 除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征

14、方程根的轨迹，就是参数根轨迹。 绘制方法：用特征方程中不含可变参数的部分去除特征方程，得到等效的开环传递函数，使参变量的位置与Kg 的位置相当。一、参数根轨迹一、参数根轨迹37例例1.一随动系统如图所示，试用根轨迹法分析其反馈系数一随动系统如图所示，试用根轨迹法分析其反馈系数 Kf 对系统暂态性能的影响。对系统暂态性能的影响。)2()1(10)()( sssKsHsGf解： 开环传递函数为等效开环传递函数为)2(10 ss)(sR)(sCsKf 1特征方程为0101022 sKssf除特征方程得除特征方程得以以1022 ss01021012 sssKf102102 sssKGfkeq38等效开

15、环传函102102 sssKGfkeq1. 根轨迹有两条分支，起点为开环极点-1+j3、 -1-j3 ， 终点为开环零点0及无穷远处。2. 根轨迹在实轴上的分布为(-,0 。 j0 0。1 2 3 3 3 3.求分离点和会合点。得得由由0 dsdKf0)22(1022 ssss0102 s16. 3102, 1 s解解得得s1=-3.16为会合点，相应的Kf =0.432 s1=+3.16不在根轨迹上，舍去。394. 求极点p1= 1+j3处的出射角由对称性可知p2=-1-j3处的出射角为以Kf为参变量的根轨迹如图所示。 o90 opk4 .198)12(1 ootg4 .1831901 o4

16、 .198op4 .1982 j0 0。1 2 3 3 3 等效开环传函102102 sssKGfkeq40 等效开环传递函数为等效开环传递函数为102102 sssKGfkeq 分析：Kf为任何值系统都是稳定的。 j0 0。1 2 3 3 3 o4 .198当Kf0.432时，系统有两个不相等的实根，阶跃响应为过阻尼情况。41 等效开环传递函数为102102 sssKGfkeq分析： j0 0。1 2 3 3 3 用幅值条件可求得相应的Kf 值。求 时的闭环极点及Kf 值。5 . 0 o605 . 0cos 作 的射线与根轨迹的交点即为所求闭环极点。o60 AB42二、多回路系统的根轨迹二、

17、多回路系统的根轨迹根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。系统的开环传递函数sKssKsEsCsG11)2()()()( 系统特征方程0)2(11 KsKss 0)2(111 KsssK 以为参数)(sC)(sR)(sE)2(1 ssKs 43-9-8-7-6-5-4-3-2-101-8-6-4-202468Real AxisImag Axis101 K201 K501 K44研究以Kc 为变量的根轨迹系统有两个环，内环的闭环极点就是外环的开环极点！1）绘制内环的根轨迹图内环的开环传递函数) 42)(6 . 0()()(211 sssKsHsGf根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图4212 ss6 . 0 sKf)(sC)(sR cK1 . 0s45-2-1.5-1-0.500.51-3-2-10123Real AxisImag Axis462)确定内环的闭环极点要求内环的反馈系数 3.2Kf5z，可以产生类似附加单纯零点的作用。73开环传递函数上附加极点开环传递函数上附加极点降低了系统的相对稳定性降低了系统的相对稳定性)(180)12(mnka 渐近线与实轴倾角随着n