有关方程组的问题

1、第四讲 有关方程组的问题在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及 简单的二元二次方程组的解法.利用这些知识，可以研究一次函数的图像、 二次函数的图像以及与此有关的问题.本讲再介绍一些解方程组的方法与 技巧.1.二元二次方程组解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代 入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊 解法.如果两个方程的二次项的对应系数成比例, 项.可用加减消元法消去二次12例1解方程组r2x2 +4xy-2x-y+ 2 = 0,+伽+ =解X2-X 3得4x+ 9y-6 = 0.

2、解方程组r4s4-9y-6=0,3x2 + 6xy-x+3y = 0£ =2M方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数.例2解方程组-4xy + y3+2x-y + 2 = 0T x2 - 2xy - y2 + x - 2y+ 4 = 0,解X (-2)+得23y +3y-6=0,所以 y i=1, y2=-2.解方程组fy =耳2 -2-y2 +K-2y+4 = 0与J = 2fx3 -2-y2 +x-2y+4 = 0, k得原方程组的解J衍二 (Yi =-2；y2 = 2.方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分 解法解.例3

3、解方程组rxa+ya=5,2s3 -3xy-2y2 = 0.解由得(2x+y)(x -2y)=0,所以2x+y=0 或 x-2y=0.因此，原方程组可化为两个方程组V+护*2x+y=：0x - 2y = 0,L解这两个方程组得原方程组的解为如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项, 分解法求解.再用因式例4解方程组r3x2 -y2=8,x3 + xy+ya =4t解由-X 2得x2-2xy-3y2=0,即(x+y)(x -3y)=0 , 所以 x + y=0 或 x-3y=0.分别解下列两个方程组得原方程组的解为fxj = 2,= -2,(yL =-2；=2；2.二元对称方程组方程中

4、的未知数x, y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称 方程例如x2-5xy + y2-3x-3y=7.丄 + 丄=9, Vx + 3 + Jy + 3 = 5 h y等都是二元对称方程.由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组.例如IX2 +y3 +x + y = 18, ，+繆 +护=19；/ + 強y +屮-4+ 3 = 0, "xy+ 2x + 2y-5 = 0k等都是二元对称方程组.我们把x + y = a,xy -卜叫作基本对称方程组.基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解.例5解方程组解方程组中的x, y分别是新方程n5m+4=0的两个解.解关于m的一元二次方程

5、得 m=1, m2=4,所以原方程组的解是这个方程组亦可用代入法求解(略)由于一般的二元对称式总可以用基本对称式 x+y和xy表示，因此在 解二元对称方程组时，一定可以用x + y和xy作为新的未知数，通过换元 转化为基本对称方程组.例6解方程组I x + xy +y = 2 + 3-2,(/+宀解原方程组可变形为(x + y) + xy = 2 + 3晅、耳仗+y)> 2窃=6.X 2 +得+ y)2 +2仗 +y) 10 +令 u=x+ y，贝Uu2 + 2u-10-672 = 0,所以 u】 = 2+JI* u2 =4-/2,即盟+ y = 2 + Q或掘+ y = H -罷*当北

6、+罗=2+龍时，代入得羽=2忑解方程组可得Kj = 2, yj = V2; x2 = /2, y2 =2.Sx + y = 4-V2t,代入得即= 6 + 4血.而方程组x + y -4 - V2f xy = 6 +4-7?L无实数解.综上所述，方程组的解为例7解方程组x + y = 10.L分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方 程组的形式.解由得将代人，得何=4,所以xy=16.由，可得基本对称方程组fx + y = 10,（矽=16.于是可得方程组的解为例8解方程组卜=8,(乃=2X3 +2ny-10K = 03y2 + 2xy - 10y = 0.分析本题属于二元轮

7、换对称方程组类型,通常可以把两个方程相减,因为这样总能得到一个方程x-y=0,从而使方程降次化简.解-，再因式分解得(x-y)(x+y -10)=0,所以 x -y-0 或 x + x-10=0.解下列两个方程组x-y = 0, 才 +2xy - 10x = 0；I 卡y -10 = 0, x2 4-2xy-10x = 0,L得原方程组的四组解为解法1用换元法.设4x + 5=A, 4y+5=B,则有B -5A-5A -BA - 9 += 6,£VA= 6,u即r5A1 9 + 2B =12,2/4+5Bt9 =12.L-并平方得5A-9 + 4B + 4B(5A-9)= 4A +

8、5B-9 + A(5B-9),整理得A -B = 4G/5AB -9A + V5AB -9B),所以血匸 _ 4(5AB - 9B - 5AB + 9A)' -75AB - 9A + AB - 9B *因此A-B=0或75AB - 9A 4- V5AB - 9B = 36.分别解下列两个方程组r75A-9 + 2 = 12,-B=0与弘-9 + 皿二279AB - 9A +/5AB-9B = 36,经检验，A=B=9适合方程，由此得原方程组的解是p = LV = l.解法2-得出叢 +4 - J4超 + 5 J5y +4 - J4y + 艮即x -* 1y 1/5x + 4 + 74k

9、 +5 J刃 + 4 + 4y + 5所以x-1与y-1同号或同为零由方程得(75TH-3) +-3) = 0,射-1）,4（1）VSTh + 3 57+3 + 3所以x-1与y-1不能同正，也不能同负从而x-1=0, y-仁0.由此解得p = L1y = l-经检验，x=1, y=1是方程组的解.练习四1.填空：(1)方程组k2 -2y2 -y = 1,2x2 -4ya 4-x = 6的解有 .(2)若x, y是方程组p995i: + 1997y = 5939,H997x + 1995y -5987的解，则4T =x + y 已知 3a+b+2c=3,且 a+3b+2c=1,则 2a+c=.已知实数x，y，z满足方程组+ 13y + 13z -154,4 13x+8y + !3z = 154T43x +36y+87z=846,贝 U xyz=.2.解方程组：x2 + 3xy + y2 +2x + 2y = ST(Ik2x2 +2ya+3x + 3y = 14；屮x + y -2 = 43 X3 +y2 -Z2 12,+y5 -z3 = 34.3.设 a,b, c, x, y, z都是实数.若J 4-b2 + c2 = 25,<xa + y3 +z2 36,ax 4- by + cz 30 ja + b + c