XX届高考数学轮三角函数的应用专项复习教案

1、XX 届高考数学轮三角函数的应用专项复习 教案 10 三角函数的应用 知识梳理 三角函数的性质和图象变换. 三角函数的恒等变形. 三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学 思想方法的考查. 三角函数与其他数学知识的联系 . 特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系 . 点击双基 已知 sinx+cosx= , 0 x . A B, B A. sinA cosB, sinB cosA. P 在第二象限. 答案：B 设 OV | a | V,则下列不等式中一定成立的是 A.sin2 a sin a B.COS2 a V cos a c.tan2 a tan a D.cot2 a V co

2、t a 解析：由 0 V I a | V,知 0 V 2| a | V且 2| a | | a | , cos2| a | V cos| a |. - COS2 a V COS a . 答案：B 若 X=是方程 2cos=1 的解，其中a ,则a = _ . 解析： x=是方程 2cos=1 的解， 2cos=1， 即 cos=. 又 a , + a . + a =. - a =. 答案： 函数 y=sinx ?的最大值是 _ . 解析： 原式 =sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2x cos2x+=sin+，其最大值为 1+=. 答案： 典例剖析 【例 1】化简 cos+co

3、s. 剖析：原式 =cos+cos=cos n + +cos n . 解：原式=cos n + +cos n =2cos n cos= =,乙 【例 2】已知 sin= , sin=,求的值. 解：由已知得 所以 sin a cos B =, cos a sin B =.从而=. 思考讨论 由不解 sin a cos B、cos a sin B，能求吗？ 提示：+，弦化切即可，读者不妨一试 . 【例 3】求函数 y=, x 的值域. 剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再 换元将其转化为一元函数求解. 解：y=. 设 t=sinx ，贝 U 由 x t . 对于 y= 1 + , 令

4、=,贝卩 y= 22+3 仁22+. 当=时，yax=, 当二二或=1 时，y=0. Ov y，即卩 y 若角 a 满足条件 sin2 aV 0, cos a sin a V 0,贝 y a 在 A.象限 B.第二象限 c.第三象限 D.第四象限 解析：T sin2 a v 0,二 2 a在第三、四象限. a 在第二、四象限.又 cos a sin a V 0, a在第二象限. 答案：B 在厶 ABc 中，若 2cosB?sinA=sinc ,则厶 ABc 的形状一定 是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 c.等腰三角形 D.等边三角形 解析： 2cosB?sinA=sinc=sinsin=

5、0 , 又 A、B、c 为三角形的内角， A=B. 答案：c 在斜 ABc 中，sinA= cosBcosc 且 tanBtanc=1 ,则 / A 的值为 A.B.c.D. 解析：由 A=n , sinA= cosBcosc 得 sin= cosBcosc , 即 sinBcosc+cosBsinc= cosBcosc. tanB+tanc= 1. 又 tan=, tanA= , tanA=.又 T 0 V AV n ,. A=. 答案：A 函数 y=sinx cosx 的图象可由 y=sinx+cosx 的图象向 右平移_ 个单位得到. 解析：由 y1=sinx+cosx=sin ，得 x

6、1 =. 由 y2=sinx cosx=sin，得 x2=. 答案：函数 y=sin 的单调递减区间及单调递增区间分别是 解析：y=sin= sin. 故由 2 冗一W W 2n + n W x W 3 n +，为单调减区间； 由 2 n +W W 2n +3n + W x W 3n +,为单调增区间. 答案：3n , 3 n +; 3 n +, 3n + 已知 0 W x W,则函数 y=4sinxcosx+cos2x 的值域是 解析：可化为 y=3sin，其中 cos=, sin=，且有W 2x+ W n +. yax=3sin=3 , yin=3sin= 3sin= 1. 值域是1 ,

7、3:. 答案：1 , 3 培养能力 设 a=, b=. 若 a 为单位向量，求 x 的值； 设f=a ?b,则函数y=f的图象是由y=sinx的图象按c平 移而得，求 c. 解：I |a|=1 , 2+2=1,即 sinx+cosx=1 , sin=1 , sin= , x=2 n 或 x=2 n +, Z. a?b=sin . f=sin 由题意得 c=. 求半径为 R 的圆的内接矩形周长的最大值 解：设/ BAc=e，周长为 P, 贝 V P=2AB+2Bc=2=4RsinW 4R, 当且仅当e =时，取等号.周长的最大值为 4R. 探究创新 在 ABc 中，若 sinc=sinA+sin

8、B. 求/ c 的度数； 在厶 ABc 中，若角 c 所对的边 c=1，试求内切圆半径 r 的取值范围. 解: v sinc=sinA+sinB , 2sinccos ?cos=2sin ?cos. 在厶 ABc 中，一vv . cos 丰 0. 2sin2cos=cos , cos=0. =0 或 cos=0. v 0v cv n，/ c=. 设 Rt ABc 中， 角 A 和角 B 的对边分别是 a、 b,则有 a=sinA , b=cosA. ABc 的内切圆半径 r= =sin . ABc 内切圆半径 r 的取值范围是 Ov r . 思悟小结 三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定

9、义和性 质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查 的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联 系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视 对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识 教师下载中心 教学点睛 因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结 一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个 网络. 总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一 些知识点. 拓展题例 【例 1 】已知 cosB=cos 0 ?sinA , cosc=sin 0 sinA. 求证：sin2A+sin2B+sin2c=2. 分析：本题为条件恒等式的证明，要从条

10、件与要证的结 论之间的联系入手， 将结论中的 sin2B、sin2c 都统一成角 A 的三角函数. 证法一：sin2A+sin2B+sin2c=sin2A+ : 1-2 + : 1-2 =sin2A+1 cos2 0 sin2A+1 sin2 0 sin2A =sin2A+1 cos2 0 sin2A+1 =sin2Acos2 0 sin2Acos2 0 +2=2. 原式成立. 证法二：由已知式可得 cos 0 =, sin 0 =. 平方相加得 cos2B+cos2c=sin2A+=sin2A cos2B+cos2c=2sin2A 2. -2sin2B+1 2sin2c=2sin2A 2 , sin2A+sin2B+sin2c=2. 【例 2】 函数 f=1 2a 2acosx 2sin2x 的最小值为 g, a R, 求 g； 若 g=,求 a 及此时 f 的最大值. 解：f=1 2a 2acosx 2=2cos2x 2acosx 1 2a =22 2a 1. 若v 1,即卩 av 2，则当 cosx= 1 时， f 有最小