专题双曲线的定义

1、专题 双曲线的定义、标准方程、几何性质1双曲线的定义平面内到两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a < | F1F2|) 的点 P的轨迹叫做双曲线 .这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距当| PF1| | PF2| 2a a<| F1F2 时，点 P的轨迹为靠近 F2的双曲线的一支 .当| PF1| | PF2| 2a a< | F1F2 时，点 P的轨迹为靠近 F1的双曲线的一支 .若 2a2c，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线；若 2a>2c，则轨迹不存在；若 2a0，则轨迹是线段 F1F2 的垂 直平分线 .2. 双

2、曲线的标准方程22xy(1) 中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 a2b21( a>0，b>0) 22yx(2) 中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 a2b21( a>0，b>0) 3双曲线的几何性质标准方程22 xy2 21（a>0，b>0） ab22 yx2 2 1（ a>0， b> 0） ab图形对称性对称轴： x轴， y轴；对称中心：原点焦点F1（c, 0） ， F2（ c, 0）F1（0 ， c） ， F2（0 ， c）顶点A1（ a, 0） ， A2（ a, 0）A1（0 ， a） ， A2（0 ，

3、 a）轴线段 A1A2，B1B2 分别是双曲线的实轴和虚轴； 实轴长为 2a，虚 轴长为 2b焦距| F1F2| 2c离心率cb2ea1a2(1 ， )e 是表示双曲线开口大小的一个量， e 越大开口越大 .渐近线b y±axa y±bxa， b，c 的关系2 2 2 a c b常用结论：(1) 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为也叫通径（2）0，22与双曲线 a2 b22b2，a，1（a>b>0) 有共同渐近线的方22可 表 示 为 xa2 yb2t （t 0） (3) 双曲线的焦点到其渐近 线的距离为 b.(4) 若 P 是双曲线右支上一 点， F1，

4、 F2 分别为双曲线的 左、右焦点，则 | PF1| min a c，| PF2| min ca.2B x 162Dx2y9 162y9 1(x4)2 1(x3)A 3<k<2Bk3C k3 或 k2Dk23已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为( 5，0)和( 5，0)，点P在双曲线上，且 PF1PF2，PF1F21已知平面内两定点 A(5,0)，B(5,0)，动点 M 满足|MA|MB|6，则点 M 的轨迹方程是 ( ) 2A y 1 16 9 22Cx8一动圆过定点 A( 4,0)，且与定圆 B：(x4)2y216 相外切，则动圆圆心的轨迹方程为9. 根据下列条件，

5、求双曲线的标准方程5 虚轴长为 12，离心率为 ；4 焦距为 26，且经过点 M(0,12) ；y21 9 16 x2y22若方程 x y 1，kR 表示焦点在 x轴上的双曲线，则 k 的取值范围是 ( )k 3 k2的面积为 1，则双曲线的方程为 ( )22Ax22y3212Cx4y212D x2 y 1422Bxy132x2 y24已知双曲线的方程为 xa2yb21，点 A，B 在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2，|AB| m， F1为另一焦点，则 ABF1 的周长为 ()A 2a 2mB 4a2mC amD 2a4m5已知双曲线过点 P1 2， 32522By x 1B9161y26.设F1，F2是双曲线 x22y4 1的两个焦点， P是双曲线上一点，且 3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于22xyA 1A 9 16和 P2 437， 4 ，则双曲线的标准方程为 ( )22xyC1x6y912