数学153定积分的概念课件人教A版选修22

1、第一章 导数及其应用 1.5.3 定积分的概念定积分的定义定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面积和s=如果当n时，s 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 ba (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积s的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被

2、积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即oabxy)(xfy baidxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限 sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间

3、a, b内运动的距离s为 sbav(t)dt。 定积分的定义：oab( )vv ttv1( )lim( )ninibaf x dxfnba即112001( )3sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yof(x)=x213s 1sd2sd2( )2v tt= -+o ov t t12gggggg3sdjsdnsd1n2n3njn1nn-4sd112005( )(2)3sv t dttdt根据定积分的定义左边图形的面积为baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分

4、区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和 i的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)定积分的几何意义：ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的

5、下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 sab yf (x)ox y( )yg x探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab yf (x)ox y1()basfx dx( )yg x12( )( )bbaas s sf xdxg xdx 2( )basg x dx三三

6、: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fox yab yf (x)性质性质 3 不论不论a，b，c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cox ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 理论迁移理论迁移 例例1 1 利用定积分定义，计算利用定积分定义，计算 . . 130 x dx13332401111111l i m( )