高等数学-第七版-课件-9-2牛顿-莱布尼茨公式

1、 显然, 按定义计算定积分非常困难,须寻找新的途径计算定积分. 在本节中,介绍牛顿莱布尼茨公式, 从而建立了定积分与不定积分之间的联系, 大大简化了定积分的计算.2 牛顿-莱布尼茨公 式数学分析 第九章定积分2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社若质点以速度若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动作变速直线运动, ,( )d( )( ).basv tts bs a注意到路程函数注意到路程函数 s(t) 是速度函数是速度函数 v (t ) 的原函数的原函数, ( )dbasv tt定义定义, ,质点从时该质点从时该a到到b所经过的路程为所经过的路程为另一方面另一方面

2、, 质点从某时刻质点从某时刻 a 到时刻到时刻 b 所经过的路所经过的路于是于是程记为程记为 s( (b)-)- s( (a), ), 因此把定积分与不定积分联系起来了因此把定积分与不定积分联系起来了, 面的牛顿面的牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.由定积分由定积分( )( ),s tv t则则后退 前进 目录 退出这就是下这就是下2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社定理9.1（牛顿-莱布尼茨公式）函数函数 f 在在 a, b 上满足条件上满足条件:(i) f 在在 a, b 上连续上连续,(ii) f 在在 a, b 上有原函数上有原函数 F,则则(1) f 在在 a,

3、b 上可积上可积;).()()(d)()2(aFbFxFxxfbaba2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社证证 因因 f 在在 a, b 上一致连续上一致连续, , , ,|,x xa bxx 当当时时.| )()(| xfxf任取任取1,1,2, .iiixxin 又又 F 在在,1iixx 上满足上满足拉格朗日中值定理条件拉格朗日中值定理条件, ,1iiixx iiiixFxFxF )()()(1于是于是, 0 则则, 0 ,)(iixf 1()( )( )niiifxF bF a 2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社1()( )( )nii

4、ifxF bF a ,( )d( )( )( ) .bbaaf xxF bF aF x因因此此 iniiixff 1niix1 111()()()nniiiiiifxF xF x 11()()nniiiiiifxfx .ab 2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社注注1 以后将证明以后将证明, 若若 f 在在 a, b上连续上连续, 注注2 条件条件 (i)不是必要条件不是必要条件, 例例2d .bnaxx求求解解banbannxxx1d1上必有原函数上必有原函数 F (x). 因此条件因此条件 (ii) 是多余的是多余的.函函 数数 f 在在 a, b 上有间断点上有间

5、断点, 积积.则则 f 在在 a, b以后将举例说明以后将举例说明,存在存在但但 f 在在 a, b上仍可上仍可).(1111nnabn2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社例例3.1d2102 xx求求解解解解用牛顿用牛顿莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.381220d1xx 06 .6 1 20arcsin x 例例42204dxxx 求求2204dxxx 232201(4)3x 2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社例例5111lim.12nnnnnL L求求解解111lim12nnnnn易易见见是是函函数数11:01,nnTnn分割和介点分别为分割和介点分别为1,1, 2, .iiiiinnnn 1( )0,1.1f xx 在在上上黎黎曼曼和和的的极极限限其中其中111lim12nnnnn因因此此10ln(1)ln2.x101d1xx2 牛顿-莱布尼茨式 数学分析 第九章 定积分高等教育出版社例例6.)1()21)(11(lim1nnnnnn求求解解 令令112ln (1)(1)(1)nnnannn1