高三数学专题集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用

1、集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用集合与简单逻辑用语考点1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3. 已知集合a、b，当ab时，你是否注意到“极端”情况：a或b？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化4. 对于含有n个元素的有限集合m, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1，2n1，2n2.

2、5. 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集基础训练1. a、b是非空集合，定义a×bx|xab，且xab，若axr|y，by|y3x，xr，则a×b_.4. 若命题“xr，x2(a1)x1>0”是假命题，则实数a的取值范围为_例题【例1】08年江苏 则的元素个数为 。【例2】09年江苏 已知集合，若则实数的取值范围是，其中 .高考资【例3】10年江苏设集合a=-1,1,3，b=a+2,a2+4,ab=3，则实数a=_1. (2011·江苏)已知集合a1,1,2,4，b1,0,2，则ab_.2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，

3、则f(x)是奇函数”的否命题是_3.(2009·江苏)已知集合ax|log2x2，b(，a)，若ab，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_人5.(2011·陕西)设nn，一元二次方程x24xn0有正整数根的充要条件是n_.6.(2011·福建)在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为

4、k，即k5nk|nz，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2 0111；33；z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是_个(2011·全国)(本小题满分14分)设ar，二次函数f(x)ax22x2a.若f(x)>0的解集为a，bx|1<x<3，ab，求实数a的取值范围解：由f(x)为二次函数知a0，令f(x)0解得其两根为x1，x2，由此可知x1<0，x2>0，(3分) 当a>0时，ax|x<x1x|x>x2，(5分)ab的充要条件是x23，即<3，解得a>，(9分) 当a<

5、;0时， ax|x1<x<x2，(10分)ab的充要条件是x2>1，即>1，解得a<2，(13分)综上，使ab成立的实数a的取值范围为(，2).(14分)函数、图象及性质考点1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一2. 重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列的综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数3. 难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题基础训练1. 已知f(x)是二次函数，且f

6、(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.2.函数f(x)的定义域为_3.函数f(x)的定义域是r，其图象关于直线x1和点(2 , 0)都对称，f2，则ff_.4.函数f(x)x22x，g(x)mx2，对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)，则实数m的取值范围是_例题【例1】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间1,4上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由【例2】 已知函数f(x)x2(x0，常数ar)

7、(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x2，)上为增函数，求a的取值范围【例3】设函数f(x)x2|2xa|(xr，常数a为实数)(1) 若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】(2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)a|x|，a为实数(1) 当a1，x1,1时，求函数f(x)的值域；(2) 设m、n是两个实数，满足mn，若函数f(x)的单调减区间为(m，n)，且nm，求a的取值范围1. (2011·辽宁)若函数f(x)为奇函数，则a_.2.(2011·湖北)若定义在r上的偶函数f

8、(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)_.3.(2011·上海)设g(x)是定义在r上、以1为周期的函数，若f(x)xg(x)在0,1上的值域为2,5，则f(x)在区间0,3上的值域为_4.(2011·北京)已知点a(0,2)，b(2,0)，若点c在函数yx2的图象上，则使得abc的面积为2的点c的个数为_5.(2011·上海) 已知函数f(x)a·2xb·3x，其中常数a，b满足ab0.(1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x1)>f(x)时x的取值范围6.08江苏 对于

9、总有成立，则= 7. 09江苏 在平面直角坐标系中，点p在曲线上，且在第二象限内，已知曲线c在点p处的切线的斜率为2，则点p的坐标为 .8.10江苏设函数f(x)=x(ex+ae-x),xr，是偶函数，则实数a=_9.11江苏函数的单调增区间是_(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1,4，求函数h(x)(f(x)1)g(x)的值域；(2) 求函数m(x)的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1,4，不等式恒成立，求实数k的取值范围解：令tlog2x，(1分)(1) h(x)(42log

10、2x)·log2x2(t1)22，(2分) x1,4， t0,2，(3分) h(x)的值域为0,2(4分)(2) f(x)g(x)3(1log2x)，当0x2时，f(x)g(x)；当x2时，f(x)g(x)，(5分) m(x)m(x)(6分)当0x2时，m(x)最大值为1；(7分)当x2时，m(x)1.(8分)综上：当x2时，m(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)k·log2x， x1,4， t0,2， (34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立，(10分)当t0时，kr；(11分)t(0,2时，k恒成立，

11、即k4t15，(12分) 4t12，当且仅当4t，即t时取等号(13分) 4t15的最小值为3.综上：k3.(14分)基本初等函数考点1. 掌握指数函数的概念、图象和性质2. 理解对数函数的概念、图象和性质3. 能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质基础训练1. 函数yloga(x2)1(a>0，a1)的图象经过的定点坐标为_2.函数ylg(x22x)的定义域是_.3.函数yax(a>0，a1)在r上为单调递减函数，关于x的不等式a2x2ax3>0的解集为_4.定义：区间x1，x2(x1<x2)的

12、长度为x2x1.已知函数y|log0.5x|定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长度的最大值为_例题【例1】函数f(x)(a，b，cz)是奇函数，且f(1)2，f(2)<3.(1) 求a，b，c的值；(2) 当x<0时，讨论f(x)的单调性【例2】已知函数f(x)2x.(1) 若f(x)2，求x的值；(2) 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围【例3】已知函数g(x)ax22ax1b(a0，b<1)，在区间2,3上有最大值4，最小值1，设f(x).(1) 求a，b的值；(2) 不等式f(2x)k·2x0在x1,1上恒成立，求实数

13、k的取值范围；(3) 方程f(|2x1|)k0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围【例4】(2011·盐城二模)已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，其值域为.(1) 试求实数a、b的值；(2) 函数yg(x)(xr)满足：当x0,3)时，g(x)f(x)；g(x3)g(x)lnm(m1) 求函数g(x)在x3,9)上的解析式； 若函数g(x)在x0，)上的值域是闭区间，试探求实数m的取值范围，并说明理由1. (2011·广东)设函数f(x)x3cosx1.若f(a)11，则f(a)_.2.(2011·江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_3.(2

14、011·辽宁)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是_4.(2011·山东)已知函数f(x)logaxxb(a>0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nn*，则n_.5.(2009·山东)已知函数f(x)xa(2lnx)(a>0)，讨论f(x)的单调性6.(2011·陕西)设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1) 求g(x)的单调区间和最小值；(2) 讨论g(x)与g的大小关系；(3) 求实数a的取值范围，使得g(a)g(x)对任意x0成立(2011·常州模考)(本小题满分16分)已知a为实数

15、，函数f(x)(1ax)ex，函数g(x)，令函数f(x)f(x)·g(x)(1) 若a1，求函数f(x)的极小值；(2) 当a时，解不等式f(x)1；(3) 当a0时，求函数f(x)的单调区间解：(1) 当a1时，f(x)(1x)ex.则f(x)(x2)ex.令f(x)0，得x2.(1分)列表如下：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值f(2) 当x2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)e2.(3分)(2) 当a时，f(x)ex，定义域为x|x2，xr f(x)ex(ex)0， f(x)在(，2)及(2，)上均为减函数(5分) 当x(，2)时，f(x)0， x(，2)

16、时，f(x)1. 当x(2，)时，f(0)1， 由f(x)1f(0)，得x0.综上所述，不等式f(x)1的解集为(，2)(0，)(7分)(3) 函数f(x)ex，定义域为.当a0时，f(x)exex.令f(x)0，得x2.(9分) 当2a10，即a时，f(x)0. 当a时，函数f(x)的单调减区间为.(11分) 当a0时，解x2得x1，x2. ， 令f(x)0，得x，x，x(x2，)；令f(x)0，得x(x1，x2)(13分) 当a0时，函数f(x)的单调减区间为；函数f(x)单调增区间为.(15分) 当2a10，即a时，由(2)知，函数f(x)的单调减区间为(，2)(2，)(16分)函数的实

17、际应用考点1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)基础训练1. 函数f(x)exx2的零点为x0，则不小于x0的最小整数为_2.关于

18、x的方程x有负实根，则实数a的取值范围是_3.某工厂的产值月平均增长率为p，则年平均增长率为_4.某人在2009年初贷款 m万元，年利率为x，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n万元，到2012年初恰好还清，则n的值是_例题【例1】已知直线ymx(mr)与函数f(x)的图象恰有3个不同的公共点，求实数m的取值范围【例2】某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【例3】 2014年青奥会水上运动项目将在j地举行截至2010年底，

19、投资集团b在j地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发经调研，从2011年初到2014年底的四年间，b集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元(1) b集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2) 假设从2012年起，j地政府每年都要向b集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若b集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利

20、润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问b集团投资是否成功？【例4】 已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1) 求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2) 是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由1. (2010·浙江)已知x0是函数f(x)2x 的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则f(x1)f(x2)_0.(填“>”或“<”)2.(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(a，c

21、为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品时用时15分钟，那么c和a的值分别是_3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为_4.(2011·重庆)设m，k为整数，方程mx2kx20在区间(0,1)内有两个不同的实根，则mk的最小值为_5.(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形

22、，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元设该容器的建造费用为y千元(1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r.6.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/

23、千克， 试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大(2011·湖南)(本小题满分12分)如图，长方形物体e在雨中沿面p(面积为s)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿e移动方向的分速度为c(cr)e移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) p或p的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|×s成正比，比例系数为；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为，记y为e移动过程中的总淋雨量，当移动距离d100，面积s时(1) 写出y的表达式；(2) 设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少解析：(1) 由题

24、意知，e移动时单位时间内的淋雨量为|vc|，(2分)故y(3|vc|10). (6分)(2) 由(1)知，当0<vc时，y(3c3v10)15当c<v10时，y(3v3c10)15.故y( 8分) 当0<c时，y是关于v的减函数故当v10时，ymin20. (10分) 当<c5时，在(0，c上，y是关于v的减函数；在(c,10上，y是关于v的增函数；故当vc时，ymin. (12分)不等式及其应用考点1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并能灵活运用其解决问题基础训练1. 已知集合a，集合bx|

25、ylg(x2x2)，则ab_.2.设0<a<b，ab1，则，b,2ab，a2b2中的最大的是_3.点p(x，y)是直线x3y20上的动点，则代数式3x27y有最小值是_4.已知函数f(x)|lgx|.若ab且f(a)f(b)，则ab的取值范围是_例题【例1】设函数f(x)ax2bxc(a，b，cr)(1) 已知f(1)，若f(x)<1的解集为(0,3)，求f(x)的表达式；若a>0，求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点(2) 已知a1，若x1，x2是方程f(x)0的两个根，且x1，x2(m，m1)，其中mr，求f(m)f(m1)的最大值【例2】若关于x的不

26、等式(2x1)2<ax2的解集中整数恰好有2个，求实数a的取值范围【例3】某建筑的金属支架如图所示，根据要求ab至少长2.8 m，c为ab的中点，b到d的距离比cd的长小0.5 m，bcd60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计ab，cd的长，可使建造这个支架的成本最低？【例4】(1) 已知函数f(x)lnxx1，x(0，)，求函数f(x)的最大值；(2) 设ak，bk(k1,2，n)均为正数，证明：若a1b1a2b2anbnb1b2bn，则ab11ab22abnn1；若b1b2bn1，则bb11bb22bbnnbbb.1. (2011·湖南)设x，yr且

27、xy0，则的最小值为_(2011·福建)已知o是坐标原点，点a(1,1)，若点m(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是_3.(2010·江苏)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_4.(2011·重庆)若实数a，b，c满足2a2b2ab,2a2b2c2abc，则c的最大值是_5.(2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往a地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需

28、配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为多少元？6.(2010·江苏)设各项均为正数的数列an的前n项和为sn，已知2a2a1a3，数列是公差为d的等差数列(1) 求数列an的通项公式(用n，d表示)；(2) 设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式smsn>csk都成立求证：c的最大值为.(2010·江苏)(本小题满分14分)某兴趣小组测量电视塔ae的高度h(单位：m)，如图所示，垂直放置的标杆bc的高度h4 m，仰角abe，ade.(

29、1) 该小组已经测得一组、的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出h的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？解：(1) tanad，同理，ab，bd.(2分)adabdb，故得，解得h124.因此，算出电视塔的高度h是124 m(5分)(2) 由题设知dab，得tan，tan，(7分)tan()，(9分)函数ytanx在上单调增，0<<<，则0<< , (11分)因为d2，(当且仅当d55时，取等号)，故当d55时，tan(

30、)最大，(13分)所以当d55时，最大故所求的d是55 m(14分)导数及其应用考点1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等基础训练1. 已知函数f(x)x3ax23x9在r上存在极值，则实数a的取值范围是_2.已知某生产厂

31、家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件3.直线yxb是曲线ylnx(x>0)的一条切线，则实数b_.4.若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_.例题【例1】 已知曲线f(x)x33x.(1) 求曲线在点p(1，2)处的切线方程；(2) 求过点q(2，6)的曲线yf(x)的切线方程【例2】已知函数f(x)(xk)ex.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 求f(x)在区间0,1上的最小值【例3】(2009·山东)两县城a和b相距20 km，现计划在两县城外以a

32、b为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和，记c点到城a的距离为x km，建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城a和城b的总影响度为0.065.(1) 将y表示成x的函数；(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小？若存在，求出该点到城a的距离，若不存在，说明理由【例4】(2011·苏北四市三模)已知函数f(x)ax2lnx，f1(x)x2xlnx，f2(x)x22ax，ar.(1) 求证：函数f(x)在点(e，f(e)处的切线恒过定点，并求出定点坐标；(2) 若f(x)f2(x)在区间(1，)上恒成立，求a的取值范围；(3) 当a时，求证：在区间(1，)上，满足f1(x)g(x)f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个1. (2011·湖南)曲线y在点m处的切线的斜率为_2.(2009·江苏)在平面直角坐标系xoy中，点p