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文档简介

1、 巧 用 投 影 出 奇 制 胜 向量数量积几何意义的运用江西省崇义中学 胡述洪 (341300)向量数量积的几何意义：数量积a×b等于a的模与b在a方向上投影|b|的乘积。向量“投影”的概念：|b|叫做向量b在a方向上的投影. 投影是一个数量，不是向量：当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0°时投影为 |b|；当= 180°时投影为 -|b|。向量的“投影”是高中数学学习中容易忽视的一个内容，多数同学只是在空间向量求距离时，证明点到直线的距离公式才“一睹芳容”，后面又消失得无影无踪。实际上，向量“投影”具有独特的魅力，下面我们

2、通过例题来体会向量“投影”的神奇。例一 中，是边上的高，求。【分析】本题若用普通方法求出、的模及夹角，再求数量积，运算量较大，也容易出错。如果向量数量积的几何意义，巧用向量“投影”就能快速求解。解：易求=2， 由向量数量积的几何意义知：等于在上的投影与的乘积。 在上的投影就是 =2= 4【小结】投影的形式有两种，注意合理选择。本题如选择在上的投影进行计算则显然复杂。例二等腰三角形中，是的中点，点在的内部或边界上运动，求的范围。【分析】本题的常规方法是建立平面直角坐标系，设，建立线性约束条件及线性目标函数，利用线性规划的知识求解。思路跳跃性较大，不易掌握。下面用向量“投影”巧妙求解。解： 是确定

3、的， 只需求出在上的投影的范围。 由向量“投影”的意义知： 当点与点重合时， ， （）= 0 当点与点重合时，在上的投影就是， 注意到此时与的夹角为钝角,（）= 综上， 【小结】运用投影解题，要注意：1、 数形结合。要结合图形寻找向量之间的关系，确定向量的投影。2、 投影有正负，要根据向量的夹角正确选定符号，避免出错。例三平行四边形中,垂足为且=3, 则=_ (2012年湖南卷（文科）15)【分析】本题若试图通过用数量积的定义直接求解是徒劳的，因为的模及，都求不出。注意到，所以可以考虑将分解成，再转化成、在上的投影进行计算。解： = =()=+ 在上的投影就是=9. 同理=9故 = 18【小结】当题目条件中出现垂直的直线时，我们可以考虑通过转化，利用投影解题，往往能起到事半功倍的效果。在空间向量证明点到直线的距离公式，也是用到这种方法。通过以上例题，我们加深了对向量“投影”的理解，在涉

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