数列求和7种方法(方法全_例子多)

1、数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减 法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：S“ =空口=介5+巴二3、2、等比数列求和公式:S = i)(少1)4、=匕( + 1) 2 + 1)61“ 15、S产工疋=才心+ 1）例1已知x = 9求x+x2 +x3 +-+xn +的前n项和.2（利用常用公式）

2、解：由等比数列求和公式得=兀+，+疋+ + £1=1 T的最大值.例2设 Sn=l+2+3+n, neN求 f(n) =空S+32)S 曲解：由等差数列求和公式得S”=+（" + l）， S” =丄5 + 1）（ + 2）（利用常用公式）2 2/(«) =G + 32)S 沖/ +34料 + 64n + 34 +64<50当 眉徨,即 n=8 时，f(n)max = -L二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列亦bj的前n项和，英中an、bj分别是等差数列和等比数列.例3求和：S. =1 + 3兀+ 5宀7

3、宀+ （2允一1）严解:由题可知，（21）厂的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列厂的通项之积设 xSn = lx + 3x2 + 5x3 + 7.v4 + + (2n 一 )xn（设制错位）一得(1 一 x)Sn = 1 + 2x + 2亍+ 2宀 2/ + 2严 一 (2 一 1疋（错位相减）1 _才"再利用等比数列的求和公式得：（lx）S“ =l + 2x一-（2一1）疋 l-x.(2/1 一l)xn+I -(2h + l)x" +(1 + x) S =(I®例4求数列2,公，前n项的和2 2- 23 T解：由题可知，£的通项是等差数列2n的通项

4、与等比数列的通项之积2 22 462h2 22 232,r1.2 46In*3=+.2 n 22 23 242曲厂、厂 w 1、222222/7-待（1-尹”飞+尹+尹+尹+歹_矛=2-丄-互2心 2曲c,“ + 2/. S = 4p/r2心+ +（设制错位）（错位相减）练习题1 已知求数列弭 的前”项和& 答案.&二加2”_12°_才_2小二少2”_2"+1 丄2_ 2 加一 1练习题3夢'芦2s '的前n项和为_°2 + 3& = 3_答案：2三、逆序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒

5、过来排列数列相加，就可以得到n个（勺+"”）例5求证：C；+3C：+5C：+ + （2h + 1）C； =（h + 1）2/,（反序），再把它与原证明：设 S” +3C； +5C： + + （2 + l）C；把式右边倒转过来得S” = （2n + 1）C； + （2n- 1）C：J + + 3C： + C；又由C： = C；"可得S” = (2” + 1)C； + (2n _ l)c； + + 3C；J +C：+得 2S. = (2n + 2)(C； + C： + + C；J + C；) = 2(n + 1) 2S = (/ +1) 2已知函数心和）证明：了WE=i；求（1

6、0丿110丿110丿110丿的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，+了=/（2、+了=/+ /而（反序）（反序相加）2E=9xf两式相加得:所以 2四.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开, 常见的数列，然后分别求和，再将英合并即可./勿7/求数列的前n项和：l + l,* + 4,g + 7,，占+ 3 2,解：设S” =（1 + 1） +（丄+ 4） +（丄+ 7） + （丄+ 3川一2）aa2（严将其每一项拆开再重新组合得Sn =（1 + - + + + ） + （1 + 4 + 7

7、 + + 3“ - 2）当时，Sy +少型4 + 5“ 2 2当“1 时，s +（3=£z+（3n-l）n“_丄2G-12a例8求数列n（n+l）（2n+l）的前n项和.解：设 =R伙+ 1）（2« + 1） = 2宀3宀&可分为几个等差、等比或（分组）（分组求和）.s =±k 伙+ 1）（2« + 1）=乞（2疋+3/+幻将其每一项拆开再重新组合得=2(1° + 2* + + /F) + 3(1 +2 + + ,/)+ (1 + 2 + + )n2(/i + 1)2 n(n +1)(2/? +1) n(n +1)2 * 2 +2_n(

8、n+l)2(n + 2)（分组）（分组求和）21五.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：sinfz0(1)5 =/(/! +!)-/(/)(2)=tan(/? + 1) -tannCOS7?°COS(/? + l)°(3)1 _ 1 _1 n(n +1) n n + (4)1(5)n(n + )1 _ 2(/? + l)-n F""77(/2 +1)_L = 一!一 ! 则 s = i ! T n - 21 (“ + 1)2八

9、 w(" + 1)2“(7)(An + B)(An + C)C_B( An + B _ 加+ C)(8)=>/? +1 - y/n例9】求数列占'7'，的前n项和.解：设勺=%/n +%/n + 1=yjn +1 -y/nOil A =1"1 + V2 V2 + V3亦 + 后T=(V2 - VF) + (V3 - y/2) + + (yjn + 1 -亦)（裂项）（裂项求和）1 _1 1 1 n(n 一 l)(/i + 2)2 n(n +1)( +1)(/1 + 2)=Jn + 1-10例101在数列缶中，©= + + + ,又乞=,求数列

10、5的前n项的和.7? + 1 77 + 1n + an - %.yl12n n解： T an =111=n +1 n +1 n + 2211 bn= =8(-)(裂项)n n + n n + 数列"的前n项和S” =8（l-） + （-） + （-） + .）（裂项求和）22334n n +1= 8（1）=n+1n+（2009年广东文）20.（本小题满分14分）已知点（1,丄）是函数f（x） = aa0,且oHl）的图象上一点，等比数列的前n项和为fn）-c,数列仇（仇0）的首项为c,且前n项和»满足S”_s/阿+ 7（n2）.（1）求数列©和化的通项公式;若数列

11、盅问项和林，呎噬的最小正整数n是多少?0.【解析】（1）I2=f(-c = -c , «2=/(2)-c-/(1)-c=/(3)-c-/(2)-c=- 4又数列W”成等比数列，«,= = - = - = - ,所以c = l；27又公比qM丄所以山=二-"33 3<3n e N° :粘=（妊-尺）（何+応卜妊+兀 （n2）又乞0,妊0, .施一两=1：数列、应构成一个首相为1公差为1的等差数列，應=l+（"-l）xl = ， = 772 当«>2 > bn = Sn -5/M =ir -(H-iy = 2n ；/.b

12、n =2n- (ne2V*)：（2）T， bxb2b並 b血1 1 1= + ? _l)x(2n + l)+ 加治 1x3 3x5 5x721.1U+2(3 5)1+.+ 2 2n 一 1 2n +1 /121 2n +12n + 由7話 茄得心罟，满足人 黑的最小正整数八安练习題 l.Lx4 4x73- 2)kO+1)n3七+11 1 1 1 + + 练习题 2。2,4 3,5 4,6*+1)3 + 3) =枚案.2 23 ?2 + 2 力+ 3丿求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法练习数列an满足Sn + S“+i =|%, 6/）=4,求an注意到仏严S曲代入得注=4 乂 s严4,

13、 »是等比数列，S=4“ > 2 时，a” =Sn - S”_ = 34”“（2）叠乘法如：数列色中，=3,- = ,求©an n +1解生纟仏=丄吕匕1,化=丄乂 “严3,©=。q a2 a”2 3 nq nn .（3）等差型递推公式由 an an- = /（n）» Cl = a0 » 求""，用迭加法“2 一5 =/（2）心2时，:m.两边相加得一®=/（2）+/+/何： 5 =«0 + /(2) + /(3) +/(«)练习数列©中,4=1,陽=3小+%（心2）,求心（"七何_1） 已知数列仏满足5=丄，%=%+一,求心。2ir +n解：由条件知：an+l-alt = -1 - = -一一77 +n n（n + ） n n + 分别令n = 1,2,3,，一1），代入上式得一 1）个等式累加之，即（a2 _4）+（。3 _么2）+（5 _&3）+（"_5-1）=(1 冷)+(”)+()+(斗所以q _绚=1_丄n1 113 1