概率论和数理统计期末试题和答案解析最新6

1、完美WORD格式华南理工大学期末试卷概率论与数理统计试卷 A卷注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 解答就答在试卷上；3. 考试形式：闭卷；4. 本试卷共八大题，满分 100分，考试时间120分钟。题号-一-二二三四五六七八总分得分评卷人注：标准正态分布的分布函数值：(2.33 ) =0.9901 ; W (2.48 ) =0.9934 ; G (1.67 ) =0.9525、选择题(每题 3分，共18 分)1. 设A B均为非零概率事件，且A B成立，则A. P(A - B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B)C. P(A I B)= -P(A)P(B)

2、D. P(A-B)=P(A)-P(B)5.专业整理知识分享2.3.对于任意两个随机变量'和，若E( )=E E ,则有4.A. D( )=D D B. D(C. 和独立设P(x)=丿D.2si nx,x0,A兀 Qx引0,A眄+)=D +D若P(x)是某随机变量的密度函数，则常数A=A.1/2B.1/3C.1D.3/21 6若1,2,，6相互独立，分布都服从N(u, - 2 ),则Z=v ( u)2°i=1的密度函数最可能是完美WORD格式A. f(z)=丄z216z/2e,z 0B. f(z)=C. f(z)=0,z<01,12:2ez /12-:z :-:1z：、1

3、2 二D. f(z)=-I- 12_z/2z e , z 0 160,z 空 06. 设( ,)服从二维正态分布，则下列说法中错误的是A. (,)的边际分布仍然是正态分布B. 由( ,)的边际分布可完全确定('，)的联合分布C. ('，)为二维连续性随机变量D. 与 相互独立的充要条件为与 的相关系数为0二、填空题(每空 3分，共27分)4 o1. 设随机变量X服从普阿松分布，且 P(X=3)= e ，贝y EX=。32. 已知 DX=25 , DY=36 , rXY =0.4 , 则 cov (X,Y)=.13. 设离散型随机变量X分布率为PX=k=5A(/k (k=1,2,

4、)，则A= .4. 设表示10次独立重复试验中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.6 ,则.2的数学期望E( ' 2 )=H1e",xA0社5. 设随机变量匕的分布函数F(x)=(丸0)，则©的密度函数0*0p(x)= ,E - =, D - =26. 设 XN（2,二）,且 P2<X<4=0.3,则 PX<0= 7. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的。现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球，则第二人取到黄球的概率是。三、（本题8分）在房间里有10个人，分别佩戴从 1到10号的纪念章，任选 3人纪录其纪 念章的号码，试求下列事件

5、的概率：（1） A="最小号码为6”；（ 2） B="不含号码4或6”。四、（本题12分）设二维随机变量（ ,）具有密度函数试求（1）常数C；(2)P( +<1);'与是否相互独立？为什么?P(x,y)=丿Ce* 切,x >0, y >00,其它（4）和 的数学期望、方差、协方差。五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品 确认为合格品的概率为 0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求在这种简化检查下被认为是合格品的一个产品确实是合格品的概率？六、（本题8分）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部

6、件所组成。在运行期间，每 个部件损坏的概率为 0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件工作。求整个系统正常工作的概率。七、（本题12分）有一类特定人群的出事率为0.0003，出事赔偿每人 30万元，预计有500万以上这样的人投保。若每人收费M元（以整拾元为单位，以便于收费管理。如122元就取为130元、427元取成430元等），其中需要支付保险公司的成本及税费，占收费的40%问M至少要多少时才能以不低于99%勺概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润？八、（本题7分）叙述大数定理，并证明下列随机变量序列服从大数定理。戶_ V n 0Qn-n, n=2,3,4 11/n1

7、-2/n 1/n,2005级概率论与数理统计试卷A卷参考答案、1. C注释：由“ A B成立”得P（A）=P（AB）专业整理知识分享故 P(A| B)二P(AB)P(B)P(A)P(B)2. C3. B注释：参考课本86页4. BA -TT注释：0 2sin xdx=1?5.6. BA项参见课本64页，D项参见课本86页1. 2注释：若X服从Poisson分布，则EX= , DX=。(课本84页)2. 12注释：cov(X,Y)= r xy - DX DY。(参考课本 86 页)5. p(x)=0,x 乞0123.1/5注释：运用等比求和公式 (1-qn)1 -q4.38.4注释：E( ) =

8、 D (E ),对于 l_B(n ,p), E =n p, D =npq6. 0.2注释：类似2006级试卷填空题第6题7. 2/5三、(1) 1/20;(2)14/15C2一注释：(1) P(A)=4-, C：表示从7、8、9、10这四个数中选两个C10(2) B二“三个号码中既含4又含6”四、(1) C=4;1 1 P ：1 = .°dx ° 4e(x y)dy =1-3e"2;完美WORD格式(2ex>02e 岛yKOP (X),p (y)=0xcO0ywO因p (x) p (y) = p(x, y),故与独立? (4)与独立，所以cov( , )=0

9、E：=处x 2e，Xdx =丄,E：2 = f x2 2e，Xdx =丄 o2Jo2故D =E 2 _(E )2 J41 1同理，E , D =丄2 4五、0.9979注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题六、0.9525注释：设这100个部件中没有损坏部件数为X，则X服从二项分布B(100,0.9),且有EX=np=100x0.9=90,DX二npq=90 x 0.1=9由拉普拉斯定理，PEZ寰"最)故至少须有85个部件工作的概率为:PX -85) M85-90)=1 一门(一1.67) =(1.67) =0.9525(2)专业整理知识分享七、M=160注释：设出事人数为

10、X,则有X L B(5000000,0.0003)EX=5000000 0.0003=1500,DX=50000000.00030.9997 : 1500 若要以99%勺概率保证保险公司在此项保险中获得 60万元以上的利润,则 P5000000M (1-40%)-X300000 _ 600000 _ 99%得 PX E10M-2 _99%故需满足PX-1500.150010M-2-1500,1500 -99%即:(10M-2-1500J1500)- 99% 八:'(2.33)解得 M -159.22,故M -160八、(1)课本98页辛欣大数定理完美WORD格式2ii由于e( n)=o

11、(i ) (-、.n) onnnD( n) =E( n2) -E( n)2 =E( n')=o(i ')+(vn)2 丄 +(点)2 丄=2nnn_ i n +_i n书令 n =v k,k =2,3,，则E(E( ；0n k £n k=2n 2D( n)2' D( k)2 2n =n k±nn由契比雪夫不等式，对任意的；.0,有P| n -En)卜：J -12 nw故有 lim P| _ -E(-)H =1n:即 n服从大数定律诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试概率论与数理统计试卷A卷（2学分用）注意事项：1.考前请将密封线内各

12、项信息填写清楚；2. 可使用计算器，解答就答在试卷上；"(1.0) =0.8413：(2.33) =0.9901(2.5) =0.9938 "(2.42) =0.99223考试形式：闭卷；4.本试卷共 八 大题，满分100分。考试时间120分钟。题号-一一二二二三四五六七八总分得分评卷人注：标准正态分布的分布函数值）封 题 答 不 内 线 封 密（一、选择题（每题3分，共15分）1、设XN （口，° 2）,则概率 P （X 1+口）=（）A)随卩的增大而增大；B )随口的增加而减小；C 随。的增加而增加；D )随。的增加而减小.2、 设A、B是任意两事件，则P(A

13、 B) =A ) P(A)P(B)B) P(A) P(B) P(AB)C ) P(A)_P(AB)D ) P(A) P(B)_P(AB)3、 设是一个连续型变量，其概率密度为(x)，分布函数为F(x)，则对于任意x值有()A)P( =x) = 0 B)F(x) =(x)C)P( = x) =(x) D )P( = x) = F(x)4、对于任意两个随机变量X和丫，若E(XY) = E(X) E(Y)，则()A) D(XY) =D(X) D(Y)B) D(X Y)=D(X) D(Y)C)X和Y独立D)X和Y不独立5、设'的分布律为012p0.250.350.4而 F (x)：x，则 F

14、(2)=()A )0.6， B )0.35， C )0.25， D )0二、填空题(每空3分，共21分)1、某射手有5发子弹，射一次命中的概率为0.75。如果命中了就停止射击，否则就一直射到子弹用尽。则耗用子弹数的数学期望为。2、已知 DY=36 cov(X，Y)=12,相关系数 rx=0.4，贝卩 DX=3、三次独立的试验中，成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为37，则每次试验成功的概率为。644、 设XB(3,p),YB(4, p)，且X、Y相互独立，则X Y服从二项分布。5、若X U (0,5)，方程x2 2Xx 5X 一4 = 0有实根的概率 。6、设3X +5N(11Q2)，且

15、P2<X<4=0.15，贝S PX<0=7、 相关系数是两个随机变量之间程度的一种度量。专业整理知识分享三、（10分）设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产 的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1，0.2，0.3， 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的 概率。若取出的产品为正品，它是甲厂生产的概率是多少？四、(8分)离散型随机变量x的分布函数0x 兰 _1F(x) = 0.3 一仁x叮，求x的分布列及X的数学期望。1 0.81 ex 兰31 x 3五、（15分）设随机变量X的概率密度函数为：1 l_x|f （x） e

16、 ,-： x ：2求：（1） X的概率分布函数，（2）X落在（-5,10 ）内的概率；（3）求X的方差。六、（10分）设由2000台同类机床各自独立加工一件产品，每台机床生产的次品率均服从（0.005，0.035 ）上的均匀分布。问这批产品的平均次 品率小于0.025的概率是多少？七、（15分）2 2设二维随机变量（X,Y）在区域：刍 爲1上服从均匀分布。（1）a b求（X,Y）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知DX =25,DY =4，求参数a、b； （ 3）判断随机变量X与丫是否相互独立？八、（6分）设随机变量X服从（0, 1） 上均匀分布，丫服从参数为=5的指数分布，且X，丫独立。

17、求Z=minX, Y的分布函数与密度函数。2006级概率论与数理统计试卷 A卷参考答案1. DX -u 1 u - u , 1 注释：P（X1u）=P（） =（一）ercrcr2. C注释：参考课本第 8页3. A注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A正确？ B项是否正确4. B注释：参考课本86页5. A13591. 1.33(或者填 1359)10242. 25 注释：参考课本86页3. 0.254. (X+Y B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p) 且 X、

18、Y独立，故 D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p)沁七 E(X+Y)=7p=nP设(X+YB(n,P),则有D(X+Y)=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)解得 n=7,P=p5. 2/5X的密度函数为f(x)=5方程有实根，则必须满足A =b2-4ac =(2X)2-4 1 (5X-4)_0,即X _1或者X _4.1 15 12故方程有实根的概率 P =1 dx 丄dx = -0 5、4 556. 0.35由 E(3X 5) =11 得 EX =22由 D(3X 5)=：;2 得 DX,.DX =-932 _2 X 24_2因 P2 : X : 4

19、 =0.15，故P =0.15<TCTCT2 332所以门('(0 二 0.15(J32_2所以门(-)-；(二)=0.3crcr33PX<0=P- 2 ：()=1-()-(三)/2 CTCTCTCTCF33333=1-0.3/2=0.35?7.相关设人=“取出的产品是正品”；B甲 =?取出的产品是甲厂生产的”B乙 =取出的产品是乙厂生产的”B丙=?取出的产品是丙厂生产的”则 P（A）=P（AB 甲）+P（AB 乙）+P（AB 丙）=0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(BP(AB甲)P(A)P(B甲)P(A|B甲)P(A)0.5 0.90.83= 0.54

20、四、XL广1_1_3、>0.3_0.5_0.2 ：EX =(-1) 0.3 1 0.5 3 0.2 = 0.8五、4 X"(1)由题意 f(x) = 2xa0xex乞02 112 故 F(x) W21 -e2(2) P(-5 ： X : 10)0 EX= xJ-oO=00 x2丄 exdx2心 101£、=a _：e )( e )2 2:处 1 _x1x 0 1_x -be0 x e dx = 2【(x-1)e L： ?(-x-1)e 。+： 2 1 亠x e dx2 0 2=丄以悩2xex +2ex + 1x2e2xe2e評=2 2 _ 2DX 二 EX2 -(EX

21、f =2EX2exdx?六、设Xi为第台机床生产的次品率Xj L U (0.005,0.035).005 0.03512EXi0.02, DX i (0.035 - 0.005)-0.0000752 12(注：对于均匀分布 XjLu(a,b),有 EXi =a b,DXj(b-a)2)2 122000设总次品率Y =為Xii丑若要满足这批产品的平均次品率小于0.025，则Y： 0.025 2000 =50Y-2000 0.0250 -2000 0.02、PY : 50二 P .=(25.8)(2000 汇 0.000075(2000 汇 0.000075?试卷中没有给出 (25.8)的值，且直

22、观上感觉(25.8)的值太大了，故不能肯定题中的做 法是否可行七、S椭圆二二ab故(x,y)的联合密度函数f(x,y)= 谊a ' x岂a,其它2I 其它X的边缘密度函数f x(x)-二a02丫的边缘密度函数f Y(y)二：b其它(2)EX x2dx=0,EY y dy =0,abEX2 二x2 2dx二空，EY2：y2 Wdy = 4b22 4a22 4bDX -EX-(EX)225,DY 二 EY2-(EY)2 二解得a耳,b佔(3) a岂x岂a, b乞y乞b寸,2 2 1二a b 二ab八、Z的分布函数 F(z)=PZ _z=1-P(Z>z)=1-Pmin(X,Y)>

23、z =1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z) P(Y>z) 当z _0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故 F(z)=1-1=01当 0<z < 1 时，P(X>z)= z1dx=1-z P(Y>z)= f5e'xdx = ez e，f x(x) fY(y)-，故X与Y不独立z故F(z) =1 -(1 -z) (e'z -e') 当 z 1时,P(X>z)=0故 F(z) =1-0 =10z乞05所以 F(z)千1-(1-z) (e -e )_0<z1z>10z 岂 0f (z)=6eAz

24、 _5zez _e0 c z 兰10z>1诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试概率论与数理统计试卷A卷:（2学分用）线 注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.可使用计算器，解答就答在试卷上；3 考试形式：闭卷；题得>题答不内线封密院学评卷封号-一一二二二-三四五六七八九十总分分:人.4.本试卷共 十 大题，满分100分。考试时间120分钟o注：标准正态分布的分布函数值（1.0） =0.8413,（2.575） =0.9950（2.81） =0.9975 门（2.42） = 0.9922（1.285） =0.9,（1.645） =0.95,门（1.96

25、） = 0.975,（2.33）=0.99一、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为1，击伤的3概率为1，击不中的概率为1，并设击伤两次也会导致航空母舰2 6沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有13关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各张，即 2-10、J、Q K、A）， 求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率三、（10分）某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险 人

26、物的概率是 0.02 ;而危险人物又被误认为非危险人物的概率是 0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问：（1）在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率？（2） 如果要求对危险人物的检出率超过 0.999概率，至少需安设多 少道这样的检查关卡？四、（8分）随机变量X服从N（U2），求丫二aX,a 0的密度函数五、(12分)设随机变量X、丫的联合分布律为:-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15已知 E(X+Y)=0,求：(1) a, b; (2) X的概率分布函数；(3) E(XY)。六、（10分）某学校北区食堂为提

27、高服务质量，要先对就餐率 P进行 调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。 设调查了 n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为 m若要求以 大于95%勺概率保证调查所得的就餐频率与 p之间的误差上下在10% 以内，问n应取多大？七、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区域： x ： a, 0 . y ： bl上服从均匀分布。（1 ）求（X,Y）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知DX -12, DY =36，求参数a、b；（ 3）判断随机变量X与丫是否相互独 立？八、（8分）证明：如果E | | C存在，则P（| .t）乞召完美WORD格式九、(12分)设(X, Y)的密

28、度函数为'Axy, 0 c x c 1,0 c y c 1w其他求(1)常数 A (2) P(X<0.4, Y<1.3) ; (3) EetX sY; (4) EX DXCov(X, Y)。专业整理知识分享十、（8分）电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A 类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖 励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无 限进行下去（有无限的题目与时间），选择A、B类型题目分别由抛硬 币的正、反面决定。已知某观众A类题答对的概率都为0.4 ,答错的概率都为0.6 ; B 类题答对的概率都为0.6，答错

29、的概率都为0.4。（1）求该观众答对题数的期望值。（2）求该观众得到奖励金额的期望值。诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试概率论与数理统计试卷A卷（2学分用）注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.可使用计算器，解答就答在试卷上；-一一二二二-三四五六七八九十总分题号业,专 得分4.本试卷共 十 大题，满分100分。考试时间120分钟o3 考试形式：闭卷；评卷人 注：标准正态分布的分布函数值1题答不内线封院学口二（1.0） =0.8413,（2.575） =0.9950（2.81） =0.9975 门（2.42） = 0.9922封"（1.285） =0

30、.9,（1.645） =0.95,（1.960.975, （2.33）=0.99、（10分）假设一枚弹道导弹击沉航空母舰的概率为 丄，击伤的3概率为1，击不中的概率为1，并设击伤两次也会导致航空母舰2 6沉没，求发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰的概率？解:设Ai =第i枚弹道导弹击沉航空母舰,Bi =第i枚弹道导弹击伤航空母舰Ci =第i枚弹道导弹没有击中航空母舰,i = 1, 2, 3, 4D=发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰1j11P Ai, P Bi, P Ci , i = 1,3 262, 3, 4D = C1C2 C3C4UB1C2C3C4UC1 B2C3C4UC1C2B3C4UC1C2

31、C3 B4P D i；=pC1C2C3C4Pb1c2c3c4pc1b2c3c4p c1c2b3c4pc1c2c3b41 1364 62 飞413PDA1-PD =14 = 0.996、（12分）在某种牌赛中，5张牌为一组，其大小与出现的概率有关。一付52张的牌（四种花色：黑桃、红心、方块、梅花各13张，即 2-10、J、Q K、A）, 求（1）同花顺（5张同一花色连续数字构成）的概率；（2）3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）的概率；（3）3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）的概率。解：（1） A=同花顺（5张同一花色连续数字构成）PA / （134）=器（只要说明顺子的构成

32、，分子40也算对） C52C52（2） A= 3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）完美WORD格式CiQcA专业整理知识分享(3) A= 3张带2散牌(3张数字相同、2张数字不同构成)cMdc552三、(10分)某安检系统检查时，非危险人物过安检被误认为是危险人物的概率是 0.02 ;而危险人物又被误认为非危险人物的概率是0.05。假设过关人中有96%是非危险人物。问：(1)在被检查后认为是非危险人物而确实是非危险人物的概率?(2)如果要求对危险人物的检出率超过 0.999概率，至少需安设多 少道这样的检查关卡？解：(1 )设A=被查后认为是非危险人物, B =过关的人是非危险人物，则

33、P A = P B P A B P B P AB 二 0.96 0.98 0.04 0.05 二 0.9428P(B P(A|B)P(B A )= = 0.998P(A)(2)设需要n道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci=第i关危险人物被误认为非危险人物 , PCr C = 0.05n，所以1 -0.05n -0.999 ,In 0.0001In0.05，即ln 0.0001.ILlnO .0051=3.0745+1 = 4四、(8分)随机变量X服从N(»；2)，求丫二aX,a 0的密度函数0 v兰1解：当a =1时，Y =1，贝卩FY(y )=丿 yd y>1当 0：a：1

34、 时,当厂汕时，FYyAPY：yA0, fY y 二dF注二 0dy当 y 0时，FY y =P aX : y i；=P X In a : In yFy y = PimL-pfx 兰哑Lid业 1In a丿J In a丿W a丿dFy ydyiyin a1；、2（巴）2In a2乎a 1时，当 y 0时，FYy=PY：y=0，彳丫厂二肝丫儿二。dy当y 0时,fy y =P1；2 二（1-2;了dFy ydy1yin a五、(12分)设随机变量X、丫的联合分布律为:-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15已知 E(X+Y)=0,求：

35、(1) a, b； (2) X的概率分布函数；(3) E(XY)。解：(1)E(X+Y)=EX Y =-3a-2 0.14-b-1 0.01 1 0.03 1 0.13 2 0.14 3 0.15 =-3a - b 0.6 = 0a 0.14 b 0.01 0.02 0.03 0.12 0.13 0.14 0.15 二 a b 0.74 二 1 联立解得：a =0.17，b=0.09（2）X的概率分布函数：X-2-1010.170.230.060.54(3) E(XY)= 2 0.17 1 0.14-1 0.12 1 0.14 2 0.15 = 0.8六、（10分）某学校北区食堂为提高服务质量

36、，要先对就餐率 p进行 调查。决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。设 调查了 n个同学，其中在北区食堂用过餐的学生数为 m若要求以大 于95%的概率保证调查所得的就餐频率与 p之间的误差上下在10%以内，问n应取多大?解:<0.1 >_0.95，mp因 n N 0,1P1-P npM pn-0.95，0.1乏 U0.975 = 1.96P 1 一 Pn >(19.6 fp(1 p );因为 p(1 p )W1/4，取 n >(19.6 f /4=96.04 即 n =97七、（10分）设二维随机变量（X,Y）在区域：b ： X ： a, 0 y .上服从

37、均匀分 布。（1 ）求（X,Y）的联合概率密度及边缘概率密度；（2）已知DX =12,DY =36，求参数a、b；（ 3）判断随机变量X与丫是否相互独 立？解：（1）二维随机变量（X,Y）的联合概率密度：1/ab, 0vxva,0vy£bf（x,y）=0 th0,others边缘概率密度:1/a,0 ex cafx (x) = *丄，,fY（y） =i0,others/b, 0 y . b0, others(2) DX =(1/12)a2 =12, DY =(1/12)b2 =36 , a=12,b=12、. 3（3）随机变量X与丫相互独立，因为f (x,y)二 fx(x)fY(y)

38、八、（8分）证明：如果E| j3=c存在,解:P(| I t) = dF(x)<|x| t耳丄dF(x"|x| t t则P(l丨t)冲 甲dF(x)斗=吕|x| 0 ttt九、（12分）设（X，Y）的密度函数为Axy, 0 c x c 1,0 v y c 1gw 0其他求（ 1）常数A;(2) P(X<0.4，Y<1.3) ；( 3)EetX sY; (4) EX DXCov(X，解: ( 1)Y)。_；f(x,y)dxdy= 0 0Axydy0.4 f 1A= 4(2) P(X<0.4 , Y<1.3) = 00 4xydyx =0.16123(4)

39、EX -EX20 0 4x3ydy(DX 二 EX 2 _ EX 2 = 1 _ 429J，丘旳匸讹命觀很冷”422Cov X,Y AEXY - EX EY0933十、（8分）电视台有一节目“幸运观众有奖答题”：有两类题目，A类题答对一题奖励1000元，B类题答对一题奖励500元。答错无奖 励，并带上前面得到的钱退出；答对后可继续答题，并假设节目可无 限进行下去（有无限的题目与时间），选择A、B类型题目分别由抛硬 币的正、反面决定。已知某观众A类题答对的概率都为0.4，答错的概率都为0.6 ； B 类题答对的概率都为0.6，答错的概率都为0.4。（1）求该观众答对题数的期望值。（2）求该观众得

40、到奖励金额的期望值。解：（1）设表示该观众答对题数，.=0,1,2,则第+1次解答答错（即首次出错）。答对一题的概率为P（答对题）=P（答对A题选择A题P选择A题片P（答对B题选择B题P（选择B题）=0.4 0.5 0.6 0.5 =0.5答错一题的概率为0.5 所以 P(Uk) =0.5k 0.5 = 0.5k1 ; E：二k 0.5k1=1k 二0（2）观众得到奖励金额 的期望值:令 X = 2,I3,答对A题 答对B题, 答错题1°.20.3 05=E(E( | X)=0.2 E(1000)0.3 E(500)0.5 0=700完美WORD格式或：答对一题得到奖金的期望为：0.

41、5 0.4 1000 0.5 0.6 500 = 350进入第k题答题环节的概率为：0.5kJ因此，总奖金的期望为：二350 0.5k=700k4诚信应考,考试作弊将带来严重后果!华南理工大学期末考试概率论与数理统计试卷A卷（2学分用）密院业 专1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；线注意事项:完美WORD格式、(12分)有某个工矿企业存在大量可疑肺癌病人，这些病人中从事某职业的 人占45%据以往记录，此职业的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不从事此 职业的可疑病人中仅有5%确患有肺癌(1) 在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率；(2) 在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他从事该职业的

42、概率三、(12分)零件可以用两种工艺方法加工制造，在第一种情况下需要通过三道工序，其中各道工序出现废品的概率分别是0.05、0.10及0.25而在第二种情况 下需要两道工序，其中各道工序出现废品的概率都是 0.1。设在合格品中得到优 等品的概率，在第一种情况下是 0.9，在第二种情况下是0.8，试比较用哪一种 工艺方法得到优等品的概率较大。四、（10分）已知某家电在t =0时刻正常运行。已知它在时刻t还正常运行的条 件下，在t,r t这段时间损坏的概率等于 ：t o求它正常运行时间大于t概率。专业整理知识分享五、（12分）假设某地区离婚率为p（0 vpv 1），为了某研究需要，决定从此地区 逐

43、个随机抽取调查对象（假设每次抽取的概率相等，并相互独立） ，直到抽取 位离婚人士为此，共抽取了 位人调研。求（1）的分布律；（2）数学期望。六、(12分)随机变量,在矩形域1乞x乞2 , 1乞y乞3内服从均匀分布。(1)求二维分布密度及边缘分布密度；(2)求概率P1.5, : 4值;(3) 问随机变量与是否独立?七、(10分)设随机变量E服从正态分布N(0,<r2 ),其中坊>0，求随机变量口 =匕 的概率密度函数。八、（12分）为了测定某个大机器的重量，必须把它分解成若干部分来测定。假 定每个部分的测定误差（单位：kg）服从区间（-1,1）上的均匀分布。试问，最多 可以把机器分解

44、成多少部分，才能以不低于99%的概率保证测定的总重量误差的绝对值不超过10kg。九、（10分）证明：如果不独立的随机变量序列l2n，满足条件n'n则对于任何正数；，恒有(1 n 1 n lim P丄送环一丄送E(© y (n i二n y诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试概率论与数理统计试卷（2学分A）注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；2.可使用计算器，所有答案请直接答在试卷上；线3.考试形式：闭卷；4.本试卷共 九 大题，满分100分，考试时间120分钟。题号-一一二二二-三四五六七八九总分得分评卷人）封 题 答 不 内 线 封 密（一.选择

45、题（15分，每题3分）_-101.设随机变量Xi'1/4 1/2PX“ =X2 =。1,(i=1,2),1/4且满足PX1X2 =0 =1 ,则A. 01B.C.丄D. 1422.设随机变量X,Y相互独立，X N(0,1), Y N(1,1)，则(A) P(X 丫 乞 0) -1/2 ；(B) P(X Y 叮)=1/2 ；(C) P(X -Y _ 0) =1/2 ；(D) P(X -Y _ 1)=1/2.3.设随机变量 X1,X2，X2n独立同分布，且方差为二1 n0.令 YXi，n i j(A)2Cov（X1，丫）二二 /n ；(B)Cov（XY）丁 2 ；(C)D(X1 Y) =

46、(n 2)二2 /n ；(D)2D(X1 - Y)二(n 1)匚 /n4.设 X，Y相互独立，都服从参数为2的指数分布，则PX :：Y二(A)0 ；(B) 1/4 ;(C)1/2 ;(D) 1.5设X的分布律为X-2-1012pa1/41/8b1/8则可能正确的是。(A) a - b = 1 ;( B) EX = 1 ;(C) a + b < 1/4 ;( D) EX < 1/4.二、填空题（18分，每题3分）341. 设 X,Y 为随机变量且 PX> 0,Y > 0= , PX >0=PY > 0=,77则 Pmax（X,Y） > 0=。2. 设随机

47、变量X服从参数为2的泊松分布，且 Z=3X-2,则E（Z）=.3. 随机变量X,Y相互独立且服从同一分布，P（X二k） = P（丫二k） = （k T）/3 ,k =0,1，贝U P（X 二Y）二.4. 随机变量(X , Y) N(0,1; 0,4; )，已知 D(2X _Y) =1，二5如果 AUB=A,且A B = A ,则事件A与B满足的关系是 .丄exx兰06设连续型随机变量 匕的分布函数 F(x)詔 2， 则彳1C1-e x a 0l 2PE： -2 c3>=。三（10分）有10盒种子，其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20% .随机选取其中1盒, 从中取出1粒种子，该种子能发

48、芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？四（10分）.设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数f (x,y)=丿6x,0,0 ： x ： y : 其他1，求（1）X,Y的边缘密度函数；（2）P（X叮）；（3）cov（X,Y）概率论与数理统计试卷2学分A ）参考答案-.选择题A B A C D .二填空题51.；2. 4；73. 5 / 9；4. 7 / 8 (或 0.875)；5. A=B ；6.1 -0.5e-0.5e. 四.解：(1) 当 0 ： x ： 1 时 fX (x) 6xdy = 6x(1x) 故 ： 0.4067三解：由全概率公式及Bayes公式R 该

49、种子能发芽)=0.1 XL9+0.9 >0.2 = 0.27F(该种子来自发芽率高的一盒)=(0.1 >0.9)/0.27 = 1/3fx (x)6x(1 - x)00 ： x ： 1其他； 2丿23y 0<y<1当 0：y：1 时，fY(y) = 0 6xdx =3y 故 fy(y)二010其他1/2o 6x(1-2x)dx 二1/21-x F(X Y 乞 1)= 6xdx dy卞0*x(3) EX=1/2, EY=3/4, EXY=2/5cov(X, Y)=1/40五、解：由题意知X,Y相互独立fx（X）二2e2x0与fY（ye0当 z0 时Fz(z)=Pmax(X,Y)z=PX 兰乙丫 兰 zZ 时二 PX ezPY mz二 Fx(z)Fy(z)fz(z)二 fx(z)FY(z) Fx(z)fY(z) =2e'z(1-e)(e2z)2e'z-3ez2e'z _3e"z1°z 0其他六解：X的分布函数F(x)1-20000( x 365) e0,x - 365x : 365于是 P(X 乞 1095) =1 e0365 ： 0.04N ="100