8-3多元函数的全微分ppt课件

1、二、可微的条件二、可微的条件一、全微分的概念一、全微分的概念 多元函数的全微分第三节第三节 第八章第八章 2一、全微分的概念一、全微分的概念函数的微分函数的微分一元函数一元函数 y = f (x)的增量：的增量：)()(xfxxfy xxfy )(d（当一元函数（当一元函数 y = f (x)可导时）可导时）二元函数二元函数 z = f (x,y)：),(),(yxfyxxfzx （当二元函数（当二元函数 z = f (x, y) 对对x的偏导数存在时）的偏导数存在时）)(),(xxyxfx 对对x的偏增量的偏增量对对x的偏微分的偏微分)( xoxA 1. 问题的提出问题的提出3问题问题),(

2、),(yxfyyxfzy 对对y的偏增量的偏增量对对y的偏微分的偏微分)(),(yyyxfy （当二元函数（当二元函数 z = f (x, y) 对对y的偏导数存在时）的偏导数存在时）),(),(yxfyyxxfz 在点在点(x,y)的全增量的全增量yx 、的线性函数来的线性函数来近似代替函数的全增量？近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量可否用自变量的增量42. 全微分的定全微分的定义义 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在点在点( x , y )处的处的),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )(oyBxAz 其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y ,

3、 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数),(yxf在点在点 (x, y) 的的全微分全微分, 记作记作yBxAfz dd22)()(yx 则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微可微，全增量全增量定义定义8.7yBxA 将将5注注1 若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微, 则称此函数则称此函数2 由定义可知由定义可知, f ( x, y ) 在点在点( x0, y0) 可微的可微的 充要条件充要条件是是:在在D 内可微内可微. )(lim0yBxAz . 0)(),(),(lim00000 yBxAyxfyyxxf6二、可微的条件二、可微

4、的条件定理定理8.2 (多元函数可微的多元函数可微的必要条件必要条件)若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 ,则则(2) 函数函数z = f (x, y) 在点在点(x, y) 的两个偏导数的两个偏导数, ),(yxfx.d),(d),(dyyxfxyxfzyx 存在存在, ,且有且有(1) 函数函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 连续连续;),(yxfy, ),(yxfAx ),(yxfBy 从而从而若若z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 , 则则证证1. 可微与连续、可偏导的关系可微与连续、可偏导的关系 7), ()

5、, (yfyfzx , )( oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 得到对得到对 x 的偏增量的偏增量xx x(2) 由可微定义，有由可微定义，有),(lim)0 , 0(),(yyxxfyx zyx )0 , 0(),(lim0 ),(yxf )()(lim0oyBxA 从而从而.),(),(处处连连续续在在点点即即yxyxfz (1)()(oyBxAz 8注注1 习惯上把自变量的增量用自变量的微分表示习惯上把自变量的增量用自变量的微分表示, ),(yxfx同样可证同样可证xzxx 0limA )(lim0 xxoAx .d),(d),(dyyxfxyxfzyx ,),(Byxfy 因此有

6、因此有 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合微分之和这件事称为二元函数的微分符合9全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.ddddzzuyyuxxuu 叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况2可微与连续、可偏导的关系可微与连续、可偏导的关系 对于对于多元多元函数，函数，可微可微连续连续可偏导可偏导103如何判断多元函数的可微性如何判断多元函数的可微性若不连续，若不连续， 则不可微；则不可微；若偏导数不存在，若偏导数不存在， 则不可微；则不可微；连续

7、且偏导数存在时连续且偏导数存在时,用可微的充要条件判断用可微的充要条件判断:. 0),(),(),(),(lim0 yyxfxyxfyxfyyxxfyx )(lim0yBxAz ？22yx 用此式判断用此式判断函数在一点函数在一点是否可微是否可微11例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf讨论讨论是是否否处处在在点点,)0 ,0(1) 连续；连续；(2) 偏导数存在；偏导数存在；(3) 可微可微.解解 (1) ),(lim00yxfyx)sin,cos(lim0 f sincoslim0 )sin(coslim0 = 0 = f (0,0)12处处连连续续在在)0 ,0(),(

8、yxf(2) )0 , 0(xf0)0 , 0()0 ,(lim0 xfxfx0000lim20 xxxx0)0 , 0( yf同同理理.)0 , 0(),(处处偏偏导导数数存存在在在在yxf130)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(lim0 yfxffyxfyx(3)？)0 , 0(),(fyxf 令令22yxyx 0 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(， 则则 22)(0)(0limlimyxxyxyxy 22)(0limyxxyxy )0 , 0()0 , 0(yfxfyx ,22yxyx 14,21 220)(0limlimx

9、xxxxxy ),()0 , 0()0 , 0(oyfxfzyx 即即 f (x, y) 在在点点)0 , 0(处处不不可可微微. 0lim0 )0()( o152. 可微与偏导数连续的关系可微与偏导数连续的关系 定理定理8.3 (多元函数可微的多元函数可微的充分条件充分条件),(),(yxfyxfyx和和若函数若函数),(yxfz 的偏导数的偏导数,),(连连续续在在点点yx则函数则函数 f (x, y) 在该点在该点可微可微. ),(yyxxf 证证),(),(yxfyyxxfz )1,0(21 yyyxfy ),(2 xyyxxfx),(1),(yyxf ),( yxf ),(yyxf

10、由有限增由有限增量公式量公式16)1,0(21 xyxfx ),()(yyyxfy ),(2 xyyxxfx),(1yyxfy ),(),(),(yxfyyxxfz 依偏导数的连续性依偏导数的连续性及函及函数极限与无穷小的关系数极限与无穷小的关系：)0lim()()(lim axaxAxfAxfyyxfxyxfyx ),(),(yx 只须证这一部分是只须证这一部分是比比高阶的无穷小高阶的无穷小,0lim00 yx0lim0 y17yyxfxyxfzyx ),(),( yx即函数即函数),(yxfz ),(yx在点在点可微可微. .注意到注意到 故有故有)(o yx )(22yx 偏导数连续偏导

11、数连续可微可微18例例2 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不不连续，而连续，而 f(x, y)在点在点)0 , 0(可微可微. 19证证令令,cos x,sin y则则22001sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx)0 , 0()0 ,(lim0 , 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf故函数在点故函数在点 (0, 0) 处连续处连续

12、; 20当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22 yxyxxy)0 , 0(),(, 0 yx当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时, ),(lim00yxfxxyx )|21cos|22|21sin(lim330 xxxxxx 不存在不存在.所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续. 同同理理可可证证),(yxfy在在)0 , 0(不不连连续续. 21,)()(22yx 下面证明：下面证明：)0 , 0(),(在在点点yxf可微可微 .y

13、fxffyx)0 , 0()0 , 0( yx1sin x 00令令则则 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22 yxyxxy)0 , 0(),(, 0 yx且且可微可微在点在点,)0 , 0(),(yxf. 0),(d)0,0( yxf注注 此题表明此题表明, 偏导数连续只偏导数连续只是是可微的可微的充分条件充分条件.而而非非必要条件必要条件.22多元函数连续、偏导数、可微的关系多元函数连续、偏导数、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在23例例3解解.)sin(22的的全全微微分分求求函函数数yxz 因因为为 xz),cos(22yx y

14、z),cos(22yx 所所以以 zdxyxxd)cos(222 x2y2yyxyd)cos(222 ).dd)(cos(222yyxxyx 24例例4 计算函计算函数数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. yxze 解解 xz22e2)1 , 2(,e)1 , 2( yzxzyxzde2ded22)1 , 2( yz,eyxyyxxe)d2d(e2yx 25例例5求函数求函数22yxxyz 时的全增量和全微分时的全增量和全微分. .解解z 03. 0,101. 0,2 yyxx2297. 001. 297. 001. 2 6291. 0 221212 6667. 0 ;0376. 0

15、 22222)(2)(yxxxyyxyxz 22222)()(yxyxy ),(),(yxfyyxxf 03. 0,101. 0,2 yyxx,01. 0, 1, 2 xyx当当03. 0 y26 ,5556. 0 xz03. 0,101. 0,2 yyxx01. 05556. 0 从而从而当当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = -0.03 时时zd,1111. 1 yz)03. 0(1111. 1 .0389. 0 22222)(2)(yxyxyyxxyz 22222)()(yxyxx )(yyzxxz 03. 0,101. 0,2 yyxx27内容小结内容小结1.

16、 微分定义微分定义:),(yxfz zyyxfxyxfyx ),(),( zdyyxfxyxfyxd),(d),( 22)()(yx 2. 重要关系重要关系:)( o 偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续283.3.讨论函数在讨论函数在（0，0）点是否可微的步骤点是否可微的步骤(1)(1)讨论函数在讨论函数在(0,0)点是否连续点是否连续, , 若若不连续不连续, ,则不可微则不可微; ;(2)(2)讨论函数在讨论函数在(0,0)点的偏导数是否存在点的偏导数是否存在, , 若若不存在不存在, ,则不可微则不可微; ;(3)(3)当函数在当函数在(0,0)点点

17、连续连续, , 且偏导数存在时且偏导数存在时, , 用下式用下式讨论函数在讨论函数在(0,0)点是否可微点是否可微22)0,0(),()0 ,0()0 ,0()0 ,0(),(limyxyfxffyxfyxyx 0 ?29思考题思考题函数函数),(yxfz 在在),(00yx可微的充分条件是可微的充分条件是( );),(),()(00连续连续在在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在在 的某邻域内存在的某邻域内存在 ;yyxfxyxfzCyx ),(),()(0)()(22 yx当当时是无穷小量时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx

18、 0)()(22 yx当当时是无穷小量时是无穷小量 .D30备用题备用题解解 ?0 , 0,处处是是否否连连续续在在点点考考察察函函数数xyyxf xy 0)(2122yx )0 , 0(),(yx0,0)0 ,0( f.)0 ,0(处处连连续续故故函函数数在在点点 xfxfx)0 ,0()0 ,(lim0,000lim0 xxx.0)0 ,0( xf.0)0 ,0(, yf同同理理?偏偏导导数数是是否否存存在在?是是否否可可微微例例1-131.)0 , 0(点点是是否否可可微微下下面面讨讨论论函函数数在在22)0,0(),()0 ,0()0 ,0()0 ,0(),(limyxyfxffyxf

19、yxyx ;,则则函函数数可可微微若若等等于于零零0 ?即即考考察察极极限限.否否则则函函数数不不可可微微22)0,0(),(limxxxxxx 有有事事实实上上，沿沿直直线线,xy 21 0 .)00(点点不不可可微微故故函函数数在在，32例例1-2解解 .0,0,0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf讨讨论论函函数数?)0 , 0(偏偏导导数数是是否否连连续续点点是是否否可可微微在在.)0 , 0(.,)0 , 0(点点是是否否可可微微现现讨讨论论它它在在偏偏导导数数存存在在点点连连续续易易知知此此函函数数在在2200)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(l

20、imyxyfxffyxfyxyx 332222001sinlimyxyxyx .0 .)0 ,0(点点可可微微故故函函数数在在又又已已知知,0)0 ,0( xf时时当当)0 ,0(),( yx),(yxfx)(21cos)(1sin222222222yxxyxyxyxx ,1cos21sin2222222yxyxxyxx 34 . 0, 0, 0,1cos21sin2),(2222222222yxyxyxyxxyxxyxfx故故因因为为 ),(lim00yxfxyx 2201cos21sin2limxxxxx不不存存在在,)0 ,0(),(点点不不连连续续在在故故yxfx),(yxfz 即即函函数数但但偏偏导导数数不不连连续续可可微微在在点点,)0 ,0(35例例3-1解解.的的全全微微分分求求函函数数xyxyz 数数，的的所所有有点点处处有有连连续续偏偏导导函函数数在在0 x从从而而可可微微.d1dd2yx