龙贝格求积课件

1、第7.4-7.5节 龙贝格求积公式龙贝格求积公式龙贝格求积公式复合求积公式复合求积公式 随着n的增加可以减少积分误差，但高阶N-C公式又会造成数值不稳定，因而采用复合求积公式。 1a1( ) ( )2()( )2nbkkhf x dxf af xf b复化梯形复化梯形 公式公式复化辛普森公式复化辛普森公式1212a11( ) ( )( )4()2()3mmbkkkkhf x dxf af bf xf x 上面的求积公式都是定长的，要达到某个精度，则必须上面的求积公式都是定长的，要达到某个精度，则必须选取适当的长度，但是这是一件不容易达到的事情。选取适当的长度，但是这是一件不容易达到的事情。复合

2、求积公式的截断误差随着复合求积公式的截断误差随着n的增大而减少。的增大而减少。但每给一种积分方法之后，如何选择但每给一种积分方法之后，如何选择n， 使精度达到使精度达到预先选定的精度？预先选定的精度？1 用误差估计式子。但是要求高阶导数，一般实比用误差估计式子。但是要求高阶导数，一般实比 较困难的。较困难的。2 在实际中一般采用自动选择积分步长。在实际中一般采用自动选择积分步长。即在求积的过程中，将步长逐步折半，反复利用复合即在求积的过程中，将步长逐步折半，反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结果之差小于容许的求积公式，直到相邻两次的计算结果之差小于容许的范围。范围。注意到每个子区间注意到

3、每个子区间等等分分，分分为为设设将将区区间间nba,一次，一次，如果将求积区间再二分如果将求积区间再二分,12个个则则分分点点增增至至 n,1个分点个分点共有共有 n子子区区间间上上的的积积分分值值为为用用复复化化梯梯形形公公式式求求得得该该分分点点经经过过二二分分只只增增加加了了一一个个),(21,1121 kkkkkxxxxx 梯形法的逐次分半算法梯形法的逐次分半算法).()(2)(4)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkk, )(2)()(410101221 nkknkkknxfhxfxfhT 102)(22121nkknnxfhTT )()(2)(2:11 nkknbfxfa

4、fhT注注意意到到不不难难导导出出下下列列递递推推公公式式逐次分半算法逐次分半算法abhn 时，1)()(21bfafabT)21(22112hafabTT。解解.9207355. 0)1()0()1(211 ffT据梯形公式计算得据梯形公式计算得9588510. 0)(,)2(21 f求求出出将将区区间间二二等等分分.9397033. 0)(21211212 fTT9088516. 0)4/3(,9896158. 0)4/1(,)3(ff进进一一步步二二分分求求积积区区间间9445135. 0)()(4341412214 ffTT.sin10dxxxI计计算算积积分分值值8414709. 0

5、)1(, 1)0( ff例例1例例 题题 1精精确确至至三三位位有有效效数数字字分分用用复复化化梯梯形形公公式式计计算算积积10)1(xxdxI例例2解解dttgtdtxxdxItx 1010210)(12)1(5 . 1)1()0(211 ggT55. 1)5 . 0(12112 gTT5656. 1)75. 0()25. 0(212124 ggTT例例 题题 25695. 1)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(412148 ggggTT2481021: TT注意到注意到57. 1 I所以所以例例 题题 2)()(2,12bfafhTTabhbak 构构造造梯梯形

6、形值值序序列列令令例例如如：对对区区间间 在等距节点的情况下，用计算机计算积分在等距节点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用, ,且且易于编程易于编程 。逐次分半算法逐次分半算法把区间二等分，每个小区间长度为把区间二等分，每个小区间长度为 h h/2=(/2=(b b- -a a）/2/2，于是于是 T T2 2 = =T T1 1/2+/2+h h/2/2f f( (a a+ +h h/2/2） 把区间四把区间四(2(22 2) )

7、等分，每个小区间长度为等分，每个小区间长度为h h/2 /2 2 2 = =（b b- -a a）/4/4，于是，于是 T T4 4 = =T T2 2/2+/2+h h/2/22 2f f( (a a+ +h h/4)+/4)+f f( (a a+3+3h h/4)/4) 把把 a a, ,b b 2 2k k 等分，分点等分，分点x xi i= =a a+(+(b b- -a a)/ 2)/ 2k k i i （i =0i =0，1 1，2 22 2k k）每个小区间长度为）每个小区间长度为( (b b- -a a)/ 2)/ 2k k ，由归纳法可得由归纳法可得 1121)12(2222

8、12kkkikkiabafabTT逐次分半算法逐次分半算法).,(),( )2(12);,(),( 12222bafhabTIbafhabTInn )( )( ff 假定假定412 nnTITI由复化梯形公式的余项表达式知：).(3122nnnTTTI 的的误误差差很很小小很很小小，可可保保证证若若nnnTTT22 复合求积方法是用于被积函数变化不太大的积分. 如果在求积区间中被积函数变化很大，有的部分函数值变化剧烈，另一部分变化平缓，这时统一将区间等份用复合求积公式计算工作量就会很大. 要达到误差要求对变化剧烈部分必须将区间细分，而平缓部分则可用大步长，即针对被积函数在区间上不同情形采用不同

9、的步长，使得在满足精度前提下积分计算的工作量尽可能小.7.4.2 自适应自适应simpson公式公式 针对这类问题的算法技巧是在不同区间上预测被积函数变化的剧烈程度确定相应的步长. 这种方法称为自适应积分方法. 设给定精度要求 ，计算积分的近似值.先取步长 ，应用辛普森公式有其中若把区间 对分，步长 ，在每个小区间上用辛普森公式，则得0badxxfI)(abh),(),()2(180),()()4(4bafhabbaSdxxfIba（7.31）).()2(4)(6),(bfbafafhbaS,ba222abhh),(),()2(180),()()4(422bafhabbaSfI（7.32）实际

10、上(7.32)即为与(7.31)比较，若 在 上变化不大，可假定其中).()43(4)2(6),2(),2()4(4)(6)2,(),2()2,(),(222bfhafhafhbbaShafhafafhbaaSbbaSbaaSbaS).,(),()4(180),()()4(42bafhabbaSfI（7.32）)()4(xf),(ba)()()4()4(ff从而可得).()2(180),(),(1516)4(42fhabbaSbaS 若不等式(7.33)不成立，则应分别对子区间 及 进行误差分析，若每个区间误差是否近似在这里 .如果有则可期望得到与(7.32)比较，则得,151),(),(15

11、1),()(2122SSbaSbaSbaSfI),(),(221baSSbaSS,1521 SS,),()(2baSfI),(2baS此时可取 作为 的近似，则可达到给定的误差精度 .badxxfI)(2,baa,2bba (7.33)2 对满足要求的区间不再细分，对不满足要求的还要继续上述过程，直到满足要求为止，表表达达式式知知：由由复复化化梯梯形形公公式式的的余余项项，但但收收敛敛慢慢，精精度度低低。复复化化梯梯形形公公式式算算法法简简单单).,(),( )2(12);,(),( 12222bafhabTIbafhabTInn )( )( ff 假定假定412 nnTITI7.57.5、龙

12、贝格算法、龙贝格算法).(3122nnnTTTI 1443134)(31:2222nnnnnnnTTTTTTTI于于是是的的误误差差很很小小很很小小，可可保保证证若若nnnTTT22事后估计法利用计算结果来估计误差的方法利用计算结果来估计误差的方法龙贝格算法龙贝格算法 当当n=1 =1 时时, ,我们计算上式右端我们计算上式右端 )(21)(21)(31)(21)2()(212)(3414412bfafabbfbafafabTTT1)(61)2(64)(61)(Sbfbafafab 这恰好是辛普森公式的结果，即有这恰好是辛普森公式的结果，即有121141144TTS 比梯形公式有比梯形公式有更

13、好的精确度更好的精确度龙贝格算法龙贝格算法类似地可验证：类似地可验证：nnnTTSTTS1411441411442242 即即nnnTTS31342 _nS复化辛普森积分值龙贝格算法龙贝格算法式式的的余余项项注注意意复复化化辛辛普普森森求求积积公公)()(21804)4(4hOfhabSIRnn ) (4180)4(422 fhabSIRnn )()()4()4( ff 假定假定144)(15122222 nnnnnSSSSSI)(,215121612nnnSISISSSInn 龙贝格算法龙贝格算法可以验证可以验证nnnSSC15115162 复复化化柯柯特特斯斯积积分分值值_nC事实上事实上

14、 C1=(42S2-S1)/(42-1) =16S2/15-S1/15=(7y0+32y1+12y2+32y3+7y4)/90 恰为柯斯特公式。恰为柯斯特公式。同理，同理， C2=(42S4-S2)/(42-1)，. )()4(945)(2)6(6 fhabCIRnn 余项，余项，注意柯斯特积分公式的注意柯斯特积分公式的) ()8(945)(2)6(622 fhabCIRnn 龙贝格算法龙贝格算法 即即, R, R1 1=(4=(43 3C C2 2-C-C1 1)/(4)/(43 3-1), -1), R R2 2 =(4 =(43 3C C4 4-C-C2 2)/(4)/(43 3-1),

15、 . -1), . Rn= (4 Rn= (43 3 C2n -Cn )/ (4C2n -Cn )/ (43 3-1);-1); 上式即为龙贝格公式，得龙贝格值序列上式即为龙贝格公式，得龙贝格值序列)()()6()6( ff 假定假定.63163642nnCCI ,6412 nnCICI.144323 nnnCCR龙龙贝贝格格积积分分值值_nR龙贝格算法龙贝格算法 用若干个积分近似值推算出更为精确的用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为积分近似值的方法，称为外推方法外推方法。 列列和和龙龙贝贝格格序序列列。辛辛普普森森序序列列、柯柯特特斯斯序序分分别别称称为为梯梯形形序序列列

16、、序序列列NNNNRCST,龙龙贝贝格格序序列列为为止止。故故通通常常到到及及续续外外推推，但但因因由由龙龙贝贝格格序序列列还还可可以以继继),4(01411144 mmmm龙贝格算法龙贝格算法), 2 , 1 , 0, 2 , 1(144)(1)1(1)( kmTTTmkmkmmkm，记记2)(1kSTk是是辛辛普普森森值值序序列列2)(2kCTk是是柯柯特特斯斯值值序序列列2)(0kTTk就就是是梯梯形形值值序序列列则则2)(3kRTk是是龙龙贝贝格格序序列列计算过程见表：计算过程见表：龙贝格算法龙贝格算法 T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R

17、2 T32 S16 C8 R4.1442 TTSnnn144323 CCRnnn144222 SSCnnn 122 nnRR上面是上面是RombergRomberg的计算表若的计算表若 则计算停止则计算停止龙贝格算法龙贝格算法)0(3)1(2)2(1)3(0)0(2)1(1)2(0)0(1)1(0)0(0)(3)(2)(1)(03210TTTTTTTTTTTTTTkkkkk或或龙贝格算法龙贝格算法61021 要要求求误误差差不不超超过过9207355. 0)1()0(21)0(0 ffT解：解：9397932. 0)5 . 0(2121)0(0)1(0 fTT9461457. 034)0(0)1(0)0(1 TTT9445136. 0)75. 0(25. 0(4121)1(0)2(0 ffTT 用用RombergRomberg方法计算积分方法计算积分 10sindxxxI近似值