命题逻辑真值形式

1、第一章 命题逻辑一、真值形式1命题及其真值、原子命题和复合命题 前题及其真值 我们已经知道，作为逻辑研究主要对象的推理，是一个命题序列，是从某个或某些命题得到某个命题的思维过程。 那么，什么是命题呢？ 命题是表达判断的语句。所谓判断，就是人对思维对象有所断定。 一切能被人思考的客体都构成思维对象，简称对象。对象可以是有形的，也可以是无形的；可以是物质的，也可以是精神的；可以是存在的，也可以是不存在的。总之，包罗万象。对象要能被思考，必须具有一定的性质，处于定的关系之中。对象的性质和对象之间的关系统称对象的属性。没有属性的对象，是不存在的。 判断对对象有所断定，就是断定对象具有或不具有某种属性。

2、 判断用语句的形式表达出来，就是命题。 例如： (1)所有不受外力作用的物体都作匀速直线运动。(2)上帝是万能的追物主。(3)如果上帝是万能的造物主，那么他既能又不能造出一块他自己都无法举起的石头。这些都是命题。命题都有真假。没有真假的语切不表达确定的判断因而不是命题。命题的真或假，称为命题的真值。也就是说，命题的真值包括两个值，一个值是“真”，另一个值是“假”。真命题的真值是“真”，假命题的真值是“假”。原子命题和复合命题原子命题是不包含和自身不同的命题的命题。例如：(1)癌症是遗传的。(2)癌症不是遗传的。(3)并非癌症是遗传的。(4)如果癌症是遗传的，那么老李患癌症是不可避免的。(5)老

3、李知道癌症是遗传的。其中，句(1)和句(2)是原子命题，因为其中不包合和自身不同的命题，而句(3)、句(4)和句(5)不是原子命题，因为这些命题中都包含了和自身不同的命题(划横线的部分)，这样的命题称为支命题。像句(3)、句(4)和句(5)这样的命题，虽然都是包含支命题的非原子命题但它们之间存在重要的区别。句(3)和句(4)的真值是由其支命题的真值惟一地确定的，而句(5)则不是。如果“癌症是遗传的”是真的，则句(3)是假的；如果“癌症是遗传的”是假的，则句(3)是真的。如果“癌症是遗传的”是真的，并且“老李患癌症是不可避免的”是假的，则句(4)是假的；在支命题的其他真假情况下，句(4) 都是真

4、的。句（5）的真值却不是由其支题的真值性地确定的：如果“癌症是遗传的”是真的，则句(5)可以是真的，也可以是假的。像句(2)和句(4)这样的命题，称为复合命题。在命题逻联中，复合命题指这样的命题：第。它包含和自身不同的命题作为支命题；第二，它的真值由其支命题的真值惟一地确定。推荐精选复合命题的支命题可以是原子命题，也可以是复合命题。复合命题最终是出原子命题依据一定的逻辑关系构成，依据这种逻辑关系，原子命题的真值，惟一地确定由其构成的复合命题的真值。表达这种逻辑关系的语词，称为联结词。因此，复合命题的终极构成成分只有两个，一个是原子命题，另一个是联结词。例如，上例句(3)中的联结向是“并非”；句

5、(4)中的联结词是“如果，那么”。2真值联结词·真值形式·常用真值联结词真值联结词和真值形式日常语言所表达的联结问，除了表达原子命题和复合真假关系之外，在特定的语境下，还会表达其他某些意思。例如：(1)小张和小李结了婚，并见有了孩子。如果交换句(1)中两个支命题的位置，得到：(2)小张和小李有了孩子，并且结了婚。句(2)的含义显然较之句(1)有了变化。这说明，这里联结词“并且”除了断定两个支命题都是真的以外，还表达了其他什么意思。如果只保留联结词中对于真假关系的断定，我们就从联结词得到了真值联结词。因此，真值联结词是对联结词的一种抽象，它刻画并且只刻画原子命题和由其构成的复

6、合命题之间的真假关系。在命题逻辑中，真值联结词用专门的符号表示。由真值联结词构成的复合命题的形式结构，就是真值形式。例如，句(1)的真值形式是，其中，“”是真值联结词，读作“合取”，表示“并且”；p和q称作命题变项，表示原子命题。因此，真值形式也就是命题变项和真值联结词的合式构成。单个命题变项也是真值形式，真值联结词在其中零次出现。特殊地，如果命题变项和真值联结词都零次出现，这样的真值形式称为空式。空式也是真值形式。在某些场合，空式的概念不可缺少。另外，真值形式必须是有限构成的，即是有限长的符号串。，在以后的讨论中，p，q，r表示命题变项，A，B，C表示任意的真值形式。常用真值联结词这里定义五

7、个常用真值联结词，即“”、“”、“”、“”和“”及相关的五个基本真值形式。合取真值形式“”，读作“p合取q”，断定：p和q都是真的。也就是说p和q中，只要有个是假的，就是假的。“”可如下定义：p q 1 11 1 00 0 10 0 00上面这样的表格，称为真值表。其中，“1”表示真，“o”表示假。真值表列出了在原子命题的每一组真值组合下复合命题的真值。因此，正如下面将要说明的，一个完整的真值表，就定义了个真值函数。不同的真值表，定义不同的真值函数。以上的真值表说明，关于的真值运算，下面的等式成立：111；1001000。在日常语言中，“p q”表述为“P并且q”，“不但P，而且q”等等。合取

8、式相当于传统逻辑中的联言命题。推荐精选析取真值形式“”，读作“p析取q”，断定：P和q中至少有一个是真的。也就是说，只有当p和q都是假的，才是假的。“”可如下定义：p q 1 11 1 01 0 11 0 00以上的真值表说明，关于的真值运算，以下的等式成立： 1110011；000。在日常语言中，“”表述为“p或者q”。析取式相当于传统逻辑中的相容选言命题。蕴涵真值形式“”，读作“P蕴涵q”，断定：只有当p真和q假时，才是假的；在其余情况下，都是真的。“”可如下定义：p q 1 11 1 00 0 11 0 01如上定义的蕴涵称为“实质蕴涵”。以上的真值表说明，关于的真值运算，以下的等式成立

9、： 100；1 l=10=00=l。在日常语言中，“”表述为“如果P，那么q”，“只要P，就q”，等等。蕴涵式相当于传统逻辑中的充分条件假言命题。 “”和“如果P，那么q”的含义是有区别的。“如果P，那么q”除了表示“不会P真而q假”这种p和q之间的真假关系以外，根据具体的语境，还可能表示P和q之间的其他联系；而“”除了表示“不会P真而q假”以外，不表示P和q之间的任何其他联系。因此，如果“如果p，那么q”成立则“”成立：但反过来，如果“”成立，则“如果p，那么q”不一定成立。在后面的情况下就会出现所谓的“蕴涵怪论”。根据“蕴涵”的定义，只有当一个真命题蕴涵一个假命题的时候，这个蕴涵式才是假的

10、，因此，假命题可以蕴涵任何命题，而真命题可以被任何命题蕴涵。这样，因为“废话是财富”是个假命题，因此，它既可以蕴涵“夸夸其谈者可以成为百万富翁”，又可以蕴涵“夸夸其谈者将一贫如洗”。事实上，我们可以接受“如果废话是财富，那么夸夸其谈者可以成为百万富翁”为真命题，但不能接受“如果废话是财富。那么夸夸其谈者将一贫如洗”为真命题，特别是不能把这两个内容正好相悖的命题，同时接受为真命题。像“如果废话是财富那么夸夸其谈者将一贫如洗”这样的在实质蕴涵的意义上被确认为真，在事实上难以成立或显然不能成立的条件命题。就称为“蕴涵怪论”。推荐精选为了排除蕴涵怪论，逻辑学家定义了一种有别于实质蕴涵的“严格蕴涵”，从

11、而产生了一个重要的逻辑分支模态逻辑。基于实质蕴涵的一阶逻辑不排除蕴涵怪论。这里的关键问题是，“pq”不完全等同于“如果p，那么q”，而只是对后者的一种真值抽象。 推理和蕴涵有着密切的联系。我们说从前提A能推出结论B，意思就是说，如果A是真的，那么B就不会是假的，这正是A蕴涵B的意思。因此，个推理的真值形式就是一个蕴涵式。等值真值形式“q”，读作“p当且仅当q”，也读作“p和q等值”，断定：p和q具有相同的真值。“pq”可如下定义： p qq 1 11 1 00 0 10 0 01以上的真值表说明，关于的真值运算，以下的等式成立： 1100=1；10=01=0。在日常语言中，“pq”表述为“如果

12、p，那么q ；并且只有p才q”。等值式相当于传统逻辑中的充分必要条件假言命题。定义所表达的定义项和被定义项之间的关系就是种常见的等价关系。换句话说，如果两个命题之间具有等值关系，它们是可以互相定义的。显然，如果P蕴涵q，并且q蕴油p，则p和q 就是等值的。反之亦然。也就是说“pq”可定义为“”。并非真值形式“”，读作“并非p”，断定和p具有不同的真值。“”可如下定义： P 1001关于的真值运算，以下的等式成立10；01。例完成以下的真值运算：解 = = =推荐精选 = =13命题逻辑层次上的自然语言符号化·复合命题的真值形式·命题推理及其真值形式复合命题的真值形式基于上面

13、所定义的常用真值联结词，就可以在命题逻辑的层次上对自然语言进行符号化，也就是对自然语言所表达的复合命题和命题推理，抽象出它们的真值形式。把自然语言所表达的复合命题翻译成相应的真值形式，其步骤是：第一，确定复合命题所包含的所有不同的原于命题；第二，用同一命题变项表示所有相同的原子命题，用不同的命题变项分别表示所有不同的原子命题(表示命题变项的符号是小写英文字母p、q、r、s、t)；第三，确定复合命题所断定的支命题之间的逻辑关系，并用相应的真值联结词加以表达；第四，依据确定的层次，写出整个复合命题的真值形式。下面通过实例加以说明。例1 写出下列各复合命题的真值形式：(1)要么总经理辞职，要么董事长

14、承担全部责任。令P表示总经理辞职，q表示董事长承担全部责任。命题(1)断定p和q两个命题有且只有一个为真，因此，其真值形式是：。pq表示传统逻辑中的相容选言命题；在传统逻辑中，表示不相容选言命题的联结词是“要么，要么”。本例说明，不相容选言命题“要么P，要么q”的真值形式是。(2)只有确保产品质量，企业才能具备起码的竞争力。令P表示(企业)确保产品质量，q表示企业具备起码的竞争力。命题(2)断定p是q的必要条件，即无p则无q。因此，其真值形式是：。 pq和pq分别表示传统逻辑中的充分条件和充分必要条件假言命题；在传统逻辑中，表示必要条件假言命题的联结词是“只有才”。本例说明，必要条件假言命题“

15、只有P，才有q”的真值形式是。3除非制定的法律都能得到有力的实施，否则，依法治国就是一句空话。令P表示制定的法律都能得到有力的实施，q表示依法治国是一句空话。命题(3)的真值形式是：。(4)明天将举行全校运动合，除非天下雨。令P表示明天将举行全校运动会，q表示(明)天下雨。题(4)的真值形式是：。例2 写出下列各复合命题的真值形式：(1)如果恐怖分子的要求能在规定期限内满足，则全体人质就能获释；否则，恐怖分子就要杀害人质，除非特种部队能实施有效的营救。令p表示恐怖分子的要求能在规定期限内满足，q表示全体人质就能获释，r表示恐怖分子就要杀害人质，s表示特种部队能实施有效的营救。命题(1)的真值形

16、式是：。也可以写作。事实上，以后将会看到，这两个形式真值是等值的。(2)如果大张在孩子落水的现场但没有参加营救，那么，或者他看到了孩子落水但却装着看不见，或者他确实不会游泳。推荐精选令P表示大张在孩子落水的现场，q表示大张参加了营救，r表示大张看到了孩子落水，s表示大张装着看不见孩子落水，t表示大张会游泳。命题(2)的真值形式是：。大张看到了孩子落水，和大张装着看不见孩子落水，是两个没有真值关系的原子命题，必须用不同的命题变项表示。r表示大张看到了孩子落水，r表示大张没看到孩子落水，而不表示大张装着看不见孩子落水。(3)如果光强调固结，不强调斗争，或者光强调斗争，不强调固结，就不能达到既弄清思

17、想又团结同志的目的。令P表示强调团结，q表示强调斗争，r表示乔清思想，s表示团结同志(这里都省略了主语)。命题(3)的真值形式是：。命题推理及其真值形式命题逻辑的中心课题，是研究命题推理的形式结构及其有效性的判定。那么，什么是命题推理呢?看下面两个推理：(1)如果大张是作案者，那么他一定有作案动机 大张没有作案动机 所以，大张不是作案者(2)所有的作案者都有作案动机 大张没有作案动机 所以，大张不是作案者这两个推理都是有效的，并且有着相同的内容。但是。它们之间有着实质性的区别：推理(1)的有效性的根据是命题之间的关系，而推理(2)的有效性的根据是原子命题内部的构成要素之间的关系。像推理(1)这

18、样的推理，称为命题推理。任命题推理中，事实上在整个命题逻辑中，原子命题作为最基本的单位，它的内部结构不再分析。求命题推理的真值形式的步骤是：第一，分别号出各个前提和结论的真值形式；第二，用合取号把各个前提的真值形式联结起来，所得的合取式，即是前提的真值形式；第三，用蕴涵号把前面提和结论的真值形式联结起来，所得的蕴涵式，即是整个命题推理的真值形式。例3 写出以下命题推理的真值形式：如果上帝不能创造出一块他自己都不能搬动的石头，则他不是万能的；如果上帝能创造出一块他自己都不能搬动的石头，则他同样不是万能的。上帝或者能创造出一块他自己都不能搬动的石头，或者不能，二者必居其一。因此，上帝不是万能的。令

19、P表示上帝能创造出一块他自己都不能搬动的石头，q表示上帝是万能的。则该推理的格式是： 它的真值形式是：。4真值联结词的一般性质·真值函数·n元真值函数的总数·真值联结词的可定义性、完全性和独立性推荐精选 真值函数 所谓函数，是指在两个集合的元素之间建立对应关系的一种运算。 设A和B是两个集合，若对A中的元素，或元素元组，依据某种运算，能惟一地确定B中的某个元素与之对应，这就定义了一个从A到B的(单值)函数。A称为该函数的定义域，B称为该函数的值域；定义域上的元素称为自变量，值域上的元素称为函数值。 显然，真值联结词也是一种函数，称为真值函数。它的定义域和值域都是由

20、“真”“假”两个真值构成的集合。真值函数的自变量和函数值都是真值。 对任真值形式，如果其中命题变项的真值确定了，那么真值形式的真值也就惟一地确定了。也就是说，真值形式的值，是真值函数的函数值。因此，真值形式也称为真值函项。 在以上定义的五种常用真值联结词中，“”由一个命题变项定义，是一元真值函数；其余的都有两个命题变项定义，是二元真值函数。一般地，如果由n个命题变项定义的真值函数，称为n元真值函数，即n元真值联结词。 n元真值函数的总数 上述五个常用真值联结词是从人们的日常思维中概括出来的。现在的问题是，它们是否穷尽了所有的一元、二元真值联结词？也就是说，包括在内的一元真值联结词共有多少个?包

21、括、和在内的二元真值联结词共有多少个?一般地，n元真值联结词即n元真值函数共有多少个？ 前面已经提到，一个完整的真值表，定义了一个确定的真值函数；不同的真值表，定义了不同的真值函数。因此n元真值函数共有多少个，也就是问，具有n个命题变项的不同的真值表共有多少个?一个完整的真值表，有两个构成要素：第一，要列出命题变项所有不同的真假情况，即要列出所定义的真值函数自变量的所有取值；第二，对命题变项所有不同的真假情况，真值函数都有确定的真值作为函数值。例如，设f(p,q)为一二元真值函数， p qf(p,q) 1 11 1 00 0 10以上的表格就不是一个完整的真值表，因为它没有穷尽命题变项所有的真

22、假情况。事实上，它遗漏了p和q都取假值的情况。再如： p qf(p,q) 1 11 1 00 0 1？001以上的表格也不是一个完整的真值表，因为对命题变项所有的不同的真假情况，真值函数并非都有确定的真值作为函数值。因此，要回答具有n个命题变项的不同的真值表共有多少个，无非是要回答这样两个问题：第一，n个命题变项所有不同的真假情况共是多少？第二，对应于n个命题变项所有不同的真假情况，作为函数值共有多少种不同的真值排列？由于每个每个命题变项都可以取真或假，因此，一个命题变项所有不同的真假情况是2个，两个命题变项所有不同的真假情况是4个，三个命题变项所有不同的真假情况是8个，推荐精选一般地，n个命

23、题变项所有不同的真假情况共是个 。而对应于命题变项的种的每一种，函数值可以取真或假，因此，对应于命题变项的种不同的取值，真值函数共有（连乘次）种不同的取值。也就是说，n元真值函数，共有（连乘次）=个。这样，一元真值联接词，共有4个，二元真值联接词，共有16个。以下分别是所有一元和二元真值联接词的一览表。其中，表示f一元真值联接词，g表示二元真值联接词。表1 一元真值联接词一览表 1 11000 101 0表2 二元真值联接词一览表111111111100000000101111000011110000011100110011001100001010101010101010真值联接词的可定义性在

24、表1和表2中，即是，是，是，是，是。因为两个等值的真值形式是可以互相定义的，因此，可定义为pp。可定义为pp。可定义为p。表示“只有p，才q”，可定义为。表示“要么p，要么q”，可定义为。推荐精选pq111101010001我们可以用构造真值表的方法来验证，定义右边的真值形式的真值表，和所要定义的真值函数的真值表是相同的。这说明二者是等值的，是可以互相定义的。例如，以下的真值表说明，和具有相同的真值表，两者是可以互相定义的： 真值联结词的完全性现在的问题是，常用真值联结词是否能定义所有的一元和二元真值联结词?或者更一般地，常用真值联结词是否能定义所有的n元真值联结词，回答是肯定的。定义41 一

25、组真值联结词是完全的，当且仅当由它能定义任一n元真值联结词。定理42 是完全的。在给出正式的证明以前先分析一个实例。不妨讨论如何用，和来定义表2中的二元真值联结词。的真值表显示， (p，q)为真，当且仅当：p真且q真或者p真且q假。因此，它显然可定义为：。事实上，用这种方式，可以，和来定义任一n元真值联结词。证明 设是任一n元真值联结词。显然，它可以用一个行的真值表来定义。现在考虑在该真值表中函数值为真的那些行。设第i行(1i）的函数值为真，构造合取式每一(j1，n)是命题变项或其否定：如果在第i行的值是真，则就是；如果在第i行的值是假，则就是。显然，当取第i行的值时，的值是真，与在第i行的值

26、相同。令D是所有这样构造的合取式的析取。如果的值为常真，即在真值表的每一行都真，则D就有个析取支；如果的值为真的行数是k，则D就有k个析取支；如果的值为常假，即在真值表的每一行都假，这时令D为。对于这样构造的真值形式D，如果它是真的，则由的定义，可知存在某个(1i)为真，又由的构造定义，可知为真；如果为真，则存在某个i(1i)，在第i行的值为真，同样由的构造定义可知为真，则D为真。因此，和D等值。因为D中只出现，又因为推荐精选具有任意性，因此，是完全的。证毕。自然，也是完全的。例1 用和定义以下三元真值函数： 11111100101010010111010100100000 上述真值函数可定义

27、为：。定理43 是完全的。证明 可通过构造真值表验证：可定义为；pq可定义为。这说明运用和可定义和，又因为是完全的，所以，是完全的。证毕。定理44 是完全的。证明 pq可定义为。这说明运用和可定义。又因为是完全的，所以，是完全的。证毕。定理45 是完全的。证明 pq可定义为。与定理44的证明同理， 是完全的。证毕。定理46 不完全的。这里仅叙述证明的思路，严格的证明可运用数学归纳法完成。考虑一个仅包含和两个不同的命题变项的真值形式。因为只包含两个命题变项，所以它的真值表是四行；又因为仅包含，所以它在这四行中的真值，有且只有三种不同的情况：第一，都是真；第二都是假；第三，两行为真，两行为假。而推荐精选的真值表的四行中，有三行为真，一行为假。这说明，不可能由和定义。因此，是不完全的。定理47 是不完全的。证明 不能由，和定义。如果能，则存在公式A，A中只出现p和和。因为，所以，当命题变项P的值为1时，A的值为l，而P的值为0。这说明，不能由，和定义。证毕。因此，包含是某组常用真值联结词满足