极坐标计算二重积分教学课堂

1、 ch21 dddxdyyxfdyxf),(),(.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 确定累次积分限确定累次积分限 ch21画出积分区域形状，画出积分区域形状，确定新的二次积分限确定新的二次积分限 ddxdfxdfdxdyyxfdxdyyxf为奇函数为奇函数上关于上关于在在为偶函数为偶函数关于关于上上关于关于0,),(2),(1 1002xydyedxi计计算算 2, 1:22)(1 xyyddxdyyxxfy ddyxfyxfdxdyyxfdxdyyxf为奇函数为奇函数且关于且关于关于关于为偶函数为偶函数

2、且关于且关于关于关于0,),(4),(1 ch21.),(下下上上zzyxf yzx ch21解解 ddxdyyxyxi2222)sin( 4 12222)sin(ddxdyyxyx14dd 1d ch21 ch21-249249页页 dddxdyyxfdyxf),(),(极坐标形式累次积分极坐标形式累次积分如何将二重积分化为如何将二重积分化为确确定定积积分分限限是是关关键键 ch21 r),( r sincosryrx),(yxm 在极坐标系下在极坐标系下 ddyxf ),(? ?极坐标系下的极坐标系下的如何表示？如何表示？极坐标系下的极坐标系下的如何表示？如何表示？0 xy极坐标系下极坐标

3、系下如何表示？如何表示？ ch21aodiirr iirrrii iiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr i 计计算算小小扇扇形形的的面面积积 221rs rdrdd ddrr（用极坐标曲线划分（用极坐标曲线划分d）极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. drdrd ch21 sincosryrx.),( ddxdyyxf.)sin,cos(),( ddrdrdrrfdxdyyxf rd)sin,cos( rrf rdrd)(22yx 222ryx ch21确定极坐标系下先确定极坐标系下先r后后 积分的方法积分的方法doa =

4、 = , ).()(21 r -型：型： )()(21)sin,cos()sin,cos(),(rdrrrfddrrdrrfdyxfdd).(1 r).(2 r极坐标系下的累次积分极坐标系下的累次积分极坐标系下区域如图所示：极坐标系下区域如图所示： ch21 ado)(1 r)(2 r drdrdrrf )sin,cos(, ).()(21 raod)(2r)(1r极点在积分区域外极点在积分区域外.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ch21aod)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd, ).(0 r drdrdrrf )sin,cos( ch21 drdrdrrf )s

5、in,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd).(0 rdoa)(r,2 0 ch21 答答: ;0)1( )(rdoyx)(rdoyx(1)(2)22)2( ch21解解 ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14dd 1d20 21 r ch21例例 2 2 写出积分写出积分 ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形的极坐标二次积分形式，其中积分区域式，其中积分区域,11| ),(2xyxyxd 10 x. 1 yx122 yx解解 sincosryrx ddxdyyxf),(.)sin,cos(

6、201cossin1 rdrrrfd ch21为极坐标下的二次积分为极坐标下的二次积分.练习练习 化二重积分化二重积分2222:)1(byxad rdrrrfdba 20sin,cosxyxd2:)2(22 1 1cos2r rdrrrfd 22cos20sin,cos 解解 解解 .),( ddyxf .),( ddyxf .),( ddyxf ch211.将直角坐标系下的二重积分转化为将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分坐标系下的二重积分 ch211.将直角坐标系

7、下的二重积分转化为极坐标系下将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：的二重积分，需依下列步骤进行：(1) 将将 代入被积函数代入被积函数. sin,cosryrx (2) 将区域将区域d的边界曲线换为极坐标系下的表达式，的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限确定相应的积分限-(3) 将面积元将面积元换为换为 .rdrd2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与二重积分步骤与1相似，只需依相似，只需依反方向反方向进行进行. ch21休息一会儿休息一会儿 ch211.将直角坐标系下的二重积分转化

8、为将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分坐标系下的二重积分 ch211.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：的二重积分，需依下列步骤进行：(1) 将将 代入被积函数代入被积函数. sin,cosryrx (2) 将区域将区域d的边界曲线换为极坐标系下的表达式，的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限确定相应的积分限-做题关键做题关键(3) 将面积元将面积元dxdy换为换为 .rdrd2

9、.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行相似，只需依反方向进行. ch21解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxd)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy ch21解解)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1d ch21 所求面积所求面积 ddxdy 14ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a ch21例例5 5求球面求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面含在圆柱

10、面x2+y2=ax(a0)内内部的那部分面积部的那部分面积. .yzx解：解：a=4a1s :222yxaz dxy: x2+y2ax, y0.zyxdxys ch21.)(内内的的部部分分）立立体体的的体体积积所所截截得得的的（含含在在圆圆柱柱面面被被圆圆柱柱面面求求球球体体024222222 aaxyxazyx解解 由对称性由对称性 ddxdyyxav22244所所围围成成的的闭闭区区域域轴轴及及为为半半圆圆周周其其中中xxaxyd22 yzx体积微元体积微元例例5252-4252-4 ch21由对称性由对称性 ddxdyyxav22244，闭闭区区域域，在在极极坐坐标标系系中中轴轴所所围

11、围成成的的及及为为半半圆圆周周其其中中xxaxyd22 20,cos20 ar drdrdrav2244 cos20222044ardrrad)322(332)sin1(33232033 adaoxyza2可可用用不不等等式式表表示示闭闭区区域域 d ch21（在积分中注意使用在积分中注意使用对称性对称性） drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 小结小结 ch21.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(drdrdrrf ,:1 d

12、).()(21 r极坐标系下几种形式极坐标系下几种形式 ch21.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 d).(0 r 2)sin,cos(drdrdrrf 3)sin,cos(drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 d).(0 r ch21解法一解法一 dy )x2(v22d 2211; 11:dxyxxx 2110 ; 10:dxyx 23)2214332221(4d )cos32cos(4)2(d4)2(4v2204210 x-102222d1 tttdyyxxdyx例例5.2,1,1| )(d222222为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体

13、积积抛抛物物面面为为侧侧面面圆圆柱柱面面为为底底面面上上的的园园域域求求以以y-xzyxyxx,yxoy ch21例例5.2,1,1| )(d222222为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积抛抛物物面面为为侧侧面面圆圆柱柱面面为为底底面面上上的的园园域域求求以以y-xzyxyxx,yxoy 解法二解法二 ddyxv )2(22 20 ; 10: rd dyxv)2(22 201022(d)rdrrdtrr 201042| )41(234320 d ch21例例 6 计算计算dxdyedyx 22，其中，其中 d 是由中心在原点，是由中心在原点，半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成

14、的闭区域. 解解dxdyedyx 22 arrdred0202 ).1(2ae 2xe的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于坐标计算坐标计算. . ardred0220221 ch21注注:利用上例可得到一个在利用上例可得到一个在及工程及工程上非常有用的反常积分公式上非常有用的反常积分公式2d02xex例例 计算计算dxdyedyx 22，其中，其中 d 是由中心在原是由中心在原点，半径为点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域. ch21,cos022: ardoxy解答：解答： cosar daararccos ararccos

15、 .),(arccosarccos0 araradrfdri 交换积分次序交换积分次序: : ).0(),(cos022 adrrfdia 思考题思考题 ch21解解| ),(2221ryxyxd 2| ),(2222ryxyxd 0, 0 yx0 ,0| ),(ryrxyxs , 022 yxe 122dyxdxdye syxdxdye22.222 dyxdxdye1d2dss1d2drr2 ryrxdyedxe0022;)(202 rxdxe ch21 1i 122dyxdxdye rrrdred0022);1(42re );1(422re s1d2d,21iii );1(4)()1(42

16、22220rrxredxee ,41 i,42 i,4 i ch211 1、 将将 ddxdyyxf),(, ,d为为xyx222 , ,表示为极坐标形式表示为极坐标形式的二次积分的二次积分, ,为为_._. 2 2、 将将 ddxdyyxf),(, ,d为为xy 10, ,10 x, ,表示为极表示为极坐标形式的二次积分为坐标形式的二次积分为_._. 3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二次积分为化为极坐标形式的二次积分为_._. 4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化 为极坐 标形式 的二次 积分为化 为极坐 标形式 的二次 积分为_._. 5 5、

17、将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积分为化为极坐标形式的二次积分为_,_,其值为其值为_._. 练练 习习 题题rdrrrfd cos2022)sin,cos( 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd sec2034)(rdrrfd sectansec40)sin,cos(rdrrrfd 2cossin0401rdrrd12 ch21axy2 = ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a思考题解答思考题解答 ch21 1

18、. 积分区域的类型；积分区域的类型； 2.在直角坐标系下在直角坐标系下 化二重积分为二次积分的计算公式化二重积分为二次积分的计算公式 3. 二重积分的计算二重积分的计算(直角坐标系、极坐标系直角坐标系、极坐标系) 关于积分次序的选择关于积分次序的选择 交换二次积分的次序交换二次积分的次序 利用对称性计算二重积分利用对称性计算二重积分 4. 二重积分的几何应用二重积分的几何应用 ch21一、一、 填空题填空题: : 1 1、 ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxd 2 2、 ddyxx )cos(_._.其中其中d是顶是顶 点分别为点分别为 )0 , 0(，)0

19、 ,( ，),( 的三角形闭区域的三角形闭区域 . . 3 3、将二重积分、将二重积分 ddyxf ),(, ,其中其中d是由是由x轴及半圆周轴及半圆周)0(222 yryx所围成的闭区域所围成的闭区域, ,化为先对化为先对y后对后对x的二次积分的二次积分, ,应为应为_._.练练 习习 题题 ch21 4 4、将二重积分、将二重积分 ddyxf ),(, ,其中其中d是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . ch21 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _