内积空间与希尔伯特空间讲稿PPT课件

1、1 1 内积与内积空间内积与内积空间一、内积空间与希尔伯特空间的概念定义1 设H是数域K上的线性空间，定义函数 :HHK, , 使得：对 x,y,z H, , K, ,满足则称为数域K中x与y的内积, ,而称定义了内积的空间H为内积空间。注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间； 当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。; 00, 0, ) 1 xxxxx且且;, )2xyyx ., ;, )3zxzxzyzxzyx ;, )3zxyxxzxyxzyzyx ;, )2zxyxzyx 第1页/共34页2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离定义2 (1) 范数xxx, 称为由内积诱导的

2、范数。(2) 距离函数yxyxyxyx ,),( 称为由内积诱导的距离。(2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系： )(41,2222iyxiiyxiyxyxyx (3) 由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导出的范数, ,是线性赋范空间。但反之不然注: : (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系 许瓦兹不等式.,yxyx 第2页/共34页3 线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件充分必要条件定理定理1 线性赋范空间线性赋范空间X是内积空间是内积空间 x,y X, ,有有 |x+y|2 + |x-y

3、|2=2|x|2 + 2|y|2( (平行四边形公式或中线公式) )定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach空间，则称H是希尔伯特空间。4 希尔伯特空间第3页/共34页例1 n维欧氏空间Rn按照内积 nkkkyxyx1,是内积空间。Rn中由内积导出的距离为 2112,),( niiiyxyxyxyx Rn按照由内积导出的范数 nkkxx12因而是Hilbert空间。是Banach空间，第4页/共34页 l 2按照由内积导出的范数 12kkxx是Banach空间，因而是Hilbert空间。l 2中由内积导出的距离为 2112,),( iiiyxyxyxyx 例2 l 2空

4、间按照内积 1,kkkyxyx是内积空间。( (许瓦兹不等式) )第5页/共34页例3 L2a,b空间按照内积dttytxyxba )()(,是内积空间。L2a,b按照由内积导出的范数 212)( badttxx是Banach空间，因而是Hilbert空间。L2a,b中由内积导出的距离为 212)()(,),( batytxyxyxyx 第6页/共34页Ca,b中范数不满足平行四边形公式，例4 Ca,b按照范数是线性赋范空间，)(max,txxbat 但Ca,b不是内积空间. .证 取x =1, y =(t-a)/(b-a) Ca,b|x|=1, |y|=1|x+y|=max|1+(t-a)/

5、(b-a)|=2, |x-y|=max|1-(t-a)/(b-a)|=1|x+y|2+|x-y|2=5 4=2(|x|2+|y|2)因而不是由内积导出的范数Ca,b不是内积空间第7页/共34页5 内积空间中的极限证 xnx |xn-x| 0 yny |yn-y| 0 | - - | - - | +| - - | |xn-x| |yn| + |x| |yn-y|0 ( (n) ) yxyxyxxxxnnnnn,lim0,lim,定义4 （极限）设X是内积空间， xn X, x X 及y X, , 定理2 设H是希尔伯特空间，则H中的内积 是x,y的连续函数, , 即 xn、yn H, x, y

6、H, , 若xnx, yny, , 则.注：距离函数、范数、内积都是连续函数 （线性运算对内积的连续性） 第8页/共34页6 内积空间的完备化定义5 ( (内积空间的同构) ) 设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存在映射T: XY, ,保持线性运算和内积不变, ,即 x,y X, , K, ,有 (1) T( x+ y)= Tx+ Ty, (2) =则称内积空间X与Y同构, ,而称T为内积空间X到Y的同构映射。定理3 设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空间是唯一的。第9页/共34页二、内积空间中的正交分解

7、与投影定理 在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念，而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于0，而向量x在空间中坐标平面上的正交投影向量x x0 0是将向量的起点移到坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且有x=x0+x1, , 其中x1 该坐标平面。这时称x=x0+x1为x关于做表面的正交分解。 下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫空间中没有正交性的概念）

8、。在实际应用中，投影定理还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。x0 0 x1 1x 第10页/共34页1 正交的概念 定义5 ( (正交) ) 设H是内积空间, ,x,y H, M,N H. . (1) x y =0; (2) x M y M, 都有 =0; ; (3) M Nx M， y N, ,都有=0. .定理4 ( (勾股定理) )设H是内积空间, ,若x,y H, 且x y, 则 |x+y|2=|x|2+|y|2注: :1）在一般的内积空间中，若x y，则有勾股定理 |x+y|2=|x|2+|y|2成立，但反之不然。 事实上， |x+y|2=|x|2+|y|2+2Re(x,y) 2

9、）在实内积空间中，x y|x+y|2=|x|2+|y|2，即勾股定理成立第11页/共34页 定义6 ( (正交补) ) 设H是内积空间, ,M H, , 称集合 M =x| x y, y M 为M在H中的正交补。注：正交补的性质：HH 0,0 ) 1 (0, )2( MMHM MHM, )3(是H的闭线性子空间，即H的完备子空间. .事实上， x, y M 及 z M, ,有 =0,=0=0 = + =0 M M 为H线性子空间 xn L , xnx, z M =lim =0 x M M 为H的闭子空间第12页/共34页 定义10 ( (正交分解与正交投影) ) 设H是内积空间，M H是线性子

10、空间，x H, ,如果存在x0 M, x1 M , , 使得 x = x0+x1 （1 1） 则称x0为x在M上的正交投影，而称( (1)式为x关于M的正交分解。2 正交分解与正交投影定理14 ( (投影定理) ) 设M是希尔伯特空间H的闭线性子空间, ,则对 x H在M中存在唯一的正交投影x0 0, , 使得 x =x0+x1 ( (其中x1 M ).). yn M, 使得|yn-x|d (n) ( (下确界定义) )证 x H, , 令x到M的距离0|inf),( yxMxdMy 第13页/共34页M是H的线性子空间ym,yn M, ,有0 |ym-yn|2 = |(ym-x)+(x-yn

11、)|2 = |(ym-x)+(x-yn)|2+|(ym-x)-(x-yn)|2-|(ym-x)-(x-yn)|2 = 2|ym-x|2+2|x-yn|2-|(ym+ yn)-2x|2 ( (平行四边形公式) ) 2|ym-x|2+2|x-yn|2-4d 20 (m,n)dxyyMyynmnm 222) 证明 xn在M中收敛1) 证明 yn是基本列 M 是Hilbert空间的闭线性子空间M是完备的 x0 M, 使ynx0 ,|yn-x|x0-x| (n) xn是基本列0|inf|0 yxxxdMy第14页/共34页3) 证明x0 0 是x在M中的正交投影记x1=x-x0, z M, z, C x

12、0+ z M特取 2020,zxxzzzxx 2200202020|,|)(|zzxxxxzxxzxxxx 0|,2200 zzxxxxz 4) 证明x0 是唯一的，从而上述正交分解式也是唯一的0|,|0|,|020 zxxxxzzxxzxx 000,1001xxxMxxx 设 是x在M上的两个正交投影，则00, xx ., 0|00100 xxxxx 第15页/共34页注：1)由定理的证明过程易知, ,只要M是H的完备子空间, ,而H本身不完备, ,定理结论也成立. .从而上述正交分解式也唯一. .2) 设设en是内积空间是内积空间H的标准正交系的标准正交系, , x H, ck=, 则则

13、nkkknkkkexecx11 即对任何数组即对任何数组 1, 2, n, ,有有 nkkknkkkeexecx110,是是x在内积空间在内积空间H上的正交投影上的正交投影第16页/共34页2 正交投影的应用最佳逼近问题(1)最佳逼近问题的一般提法最佳逼近问题的一般提法: :设设H是是Hilbert空间空间, ,x, x1, x2, , xn H, , 要求寻找出要求寻找出n个数个数 1, 2, n, 使得使得 nkkknkkkxxxxn1),.,(11min 即要求出即要求出,.,2110nnkkkxxxspanxx 使得使得|x-x0|最小。最小。(2)最佳逼近问题的几何解释：最佳逼近问题

14、的几何解释：记记M=spanx1, x2, , xn H, ,则则 nkkkxx1 表示表示x到到M上某点的距离上某点的距离 nkkknkkkxxxxn1),.,(11min 表示表示x到到M的最短距离的最短距离 nkkkxx10 表示表示x在在M上的正交投影上的正交投影最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题第17页/共34页(2) 最佳逼近问题的求解步骤：最佳逼近问题的求解步骤：设设xn M线性无关，记线性无关，记M=spanx1, x2, , xn H唯一的唯一的x0 0: :Mxxnkkk 10 使得使得|x-x0|=inf |x-y|, 且对且对

15、y M, 有有=0 =0 (xk M, k =1,2,n) = (xk M, k =1,2,n),.2 , 1(,1nkxxxxkknkkk ),.2 , 1(,1nkxxxxkknkkk M是是H的闭线性子空间的闭线性子空间第18页/共34页),.2 , 1(, , ,1111111111nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnknnknnnnnk 0110,xxxxxnkkk 第19页/共34页三、内积空间中的正交系与傅立叶级数1 正交系的概念 在解析几何中，向量i, j, k起着坐标架的作用, ,他们两两正交, ,R3中一切向量x x都能由他们线性表示：x=x1i+x2

16、j+x3k。这是解析几何的基础。 R3中的向量正交概念 一般内积空间中的向量正交概念定义7 ( (正交集与标准正交系) ) 设H是内积空间, ,M H,(1),(1)如果对 x,y M, x y, 都有=0，则称M是H中的正交系。 . , 1; , 0,nmnmeenm(2) 设en H, 若则称en是H中的标准正交系。第20页/共34页2 正交的性质 例如 ( (1) i, j, k 是R3中的标准正交系。,.cos1,cos1,.,sin1,cos1,21ntnttt 是L2- , 中的标准正交系。(3) e1=(1,0,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,0,),en=(0,0,0

17、,1,0,)定理4 ( (勾股定理的推广) )设H是内积空间，若x1,x2,.,xn H是正交系，则|x1+x2+xn|2=|x1|2+ |x2|2+|xn|2(2)是l 2 中的标准正交系。第21页/共34页定理7 设H是内积空间，若M=e1,e2,.,en, H是标准正交系, ,则e1,e2,en,是线性独立系，即e1,e2,.,en, 中的任何有限组是线性无关的。证 n, 令 1e1+ nen= 0 = 0 j = j = 0 e1,en线性无关e1,en,是线性独立系。定理8 (Gram-Schmidt正交化定理) )设H是内积空间, ,x1,x2,.,xn, H是H中任一个线性独立系

18、, ,则可将其进行标准正交化，得到一个标准正交系。第22页/共34页定理8 设H是内积空间，e1,e2,.,en, H是标准正交系， 记 Mn=spane1,en.即为x在Mn上的正交投影。. |inf),(|222yxMxxxxxnMynnn 2212|,|,| nnexexx(2) 若,11nnnnMeexeexxXx 则（最佳逼近定理）,11nnnnMeexeexxXx (3),nnMxx (1) 若,11nneex ;, iiex 则第23页/共34页 y Mnxn-y Mnx-xn xn-y 证 (1) = = i = i(2) 显然 xn=e1+en Mn, = = (i=1,2,

19、n) x-xn Mn x-xn,e1,en两两正交, , 且x-xn xn. . =0 (i=1,2,n). |xn|2=|e1+en|2 =|e1|2 +|en|2=|2+|2 |x|2=|(x-xn)+xn|2=|x-xn|2+|xn|2 |x-xn|2= |x|2- |xn|2 ),(|inf|2nMynMxyxxxn |x-y|2=|(x-xn)+(xn-y) |2=|x-xn|2+|xn-y|2 |x-xn|2第24页/共34页定理9 ( (贝塞尔( (Bessel) )不等式) )设H是内积空间, ,e1,e2,.,en, H 是标准正交系，则 x H, 有 122,iixex证由

20、定理8有, xn=e1+en , x H, |x|2=|x-xn|2+|xn|2 |xn|2 =|x|2-|x-xn|2 |x|2 |2+|2 |x|2 |2+|2+ |x|2 (n)推论 设H是内积空间, ,e1,e2,.,en, H是标准正交系, ,则 x H, 有. 0,lim nnex 证 根据定理9 9，级数 |2收敛 . 0,lim nnex第25页/共34页3 内积空间中的傅立叶级数定义8( (Fourier级数) )设H是内积空间, ,en (n=1,2,)是H中的标准正交系, x H,则称cn= (n=1,2,)为x关于en的Fourier系数, ,而称 11,nnnnnne

21、exec为x关于en的Fourier级数。记作注：1) x H, x的Fourier系数cn=(n=1,2,)满足Bessel不等式2) 微积分学中的Fourier级数是L2a,b上元素x关于标准正交系,.cos1,cos1,.,sin1,cos1,212baLntnttt 的Fourier级数。 1,nnneexx第26页/共34页3) x H, x的Fourier系数cn= (n=1,2,)是平方可和的， 即cn l 2. .问题：由定理8 可知，对 x H, 及任何n, ,xn=e1+en 到x的距离最小，那么当n时，xn是否收敛于x呢？即x的Fourier级数e1+en+是否收敛于x

22、x？或者说 x能否展开成傅立叶级数？第27页/共34页4 内积空间中的傅立叶级数的收敛性定理11( (Fourier级数收敛的充要条件) ) 设en是内积空间H的标准正交系, ,x H,则x关于en的Fourier级数收敛于x的充要条件是成立巴塞弗( (Parseval) )等式： 122,iixex证 由定理8知, ,若 x X, 取xn=e1+en,则x-xn xn, ,且 222nnxxxx 122222,lim0)(limiinnnnexxxxx,122 niinexx0,lim0limlim1 ninnnnnnexxxxxx第28页/共34页问题：对于n维欧氏空间而言，如果基向量的个

23、数小于n, ,则空间中的一些向量就无法用这些基向量线性表示。这时可以认为基向量没有选“完全”。此时不能保证Parseval等式成立，而只有Bessel不等式成立。只有基向量的个数等于n时，才能认为基向量是“完全”的。 对于一般的无限维内积空间，也只有当基选完全时，才能保证Parseval等式成立，从而使得空间中的任何元素都能由这组完全的基线性表示，其傅立叶级数才能收敛于自身，或者说，H中的任何元素都可以展开成傅立叶级数。那么，如何确认其基向量是完全的呢？为此引入下面的定义：第29页/共34页定义9 (9 (完全的标准正交系) ) 设H是内积空间，en (n=1,2,)是H中的标准正交系，如果在H中不再存在于所有en(n=1,2,) 都正交的非零元素，即如果x H, x en(n=1,2,), 必有x= , , 则称en是H中的完全标准正交系。,.cos1,cos1,.,sin1,cos1,21ntnttt 是L2- , 中的完