七年级数学竞赛辅导资料 人教新课标版（可编辑）

1、七年级数学竞赛辅导资料 人教新课标版 初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一内容提要如果整数a除以整数b b0 所得的商ab是整数那么叫做a被b整除 0能被所有非零的整数整除 一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除 如77154324 11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被11整除 如14318591287908270等 71113从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段的各数和相减其差能被7或11或13整除 如1001227431756721281等

2、能被7整除的数的特征抹去个位数减去原个位数的2倍其差能被7整除如1001100298能被7整除又如700770014686681256能被7整除能被11整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199能11整除又如10285102851023102399能11整除二例题例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除求xy解xy都是0到9的整数能被9整除y 6328567x 3例2已知五位数能被12整除求解五位数能被12整除必然同时能被3和4整除当1234能被3整除时x 258当末两位能被4整除时0488例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解五位数字都不

3、相同的最小五位数是10234但124034不能被11整除只调整末位数仍不行调整末两位数为30415263均可五位数字都不相同的最小五位数是10263练习一1分解质因数写成质因数为底的幂的连乘积75618591287327610101102962若四位数能被3整除那么 a _3若五位数能被11整除那么_4当m _时能被25整除5当n _时能被7整除6能被11整除的最小五位数是_最大五位数是_7能被4整除的最大四位数是_能被8整除的最大四位数是_88个数1257561011245778558104915270972中能被下列各数整除的有填上编号6_8_9_11_9从1到100这100个自然数中能同

4、时被2和3整除的共_个能被3整除但不是5的倍数的共_个10由12345这五个自然数任意调换位置而组成的五位数中不能被3整除的数共有几个为什么11已知五位数能被15整除试求a的值12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数13在十进制中各位数码是0或1并能被225整除的最小正整数是_1989年全国初中联赛题 第二讲 倍数约数一内容提要1两个整数a和bb0如果b能整除a记作ba那么a叫做b的倍数b叫做a的约数例如31515是3的倍数3是15的约数2因为0除以非0的任何数都得0所以0被非0整数整除0是任何非0整数的倍数非0整数都是0的约数如0是7的倍数7是0的约数3整数aa0的倍数有无数多个并且以

5、互为相反数成对出现0±a±2a都是a的倍数例如5的倍数有±5±104整数aa0的约数是有限个的并且也是以互为相反数成对出现的其中必包括±1和±a例如6的约数是±1±2±3±65通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数6公约数只有1的两个正整数叫做互质数例如15与28互质7在有余数的除法中被除数除数×商数余数若用字母表示可记作abqr当abqr都是整数且b0时ar能被b整除例如233×72则232能被3整除二例题例1写出下列各正整数的正约数

6、并统计其个数从中总结出规律加以应用222232433233342×322×322×32解列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计212231322×312364221243321332322×312346126231248433133233422×32123469121836924124816534133233345其规律是设aambn ab是质数mn是正整数 那么合数a的正约数的个数是m1 n1 例如求360的正约数的个数解分解质因数36023×32×5360的正约数的个数是31×

7、21×1124个例2用分解质因数的方法求2490最大公约数和最小公倍数解2423×3902×32×5最大公约数是2×3 记作24906最小公倍数是23×32×5360 记作2490 360例3已知3244除以正整数n有相同的余数2求n解322442都能被n整除n是3042的公约数30426而6的正约数有1236经检验1和2不合题意n63例4一个数被10除余9被9除余8被8除余7求适合条件的最小正整数分析依题意如果所求的数加上1则能同时被1098整除所以所求的数是1098的最小公倍数减去1解1098 360所以所求的数是359

8、练习二112的正约数有_16的所有约数是_2分解质因数300_300的正约数的个数是_3用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数4一个三位数能被7911整除这个三位数是_5能同时被3511整除的最小四位数是_最大三位数是_6已知14和23各除以正整数a有相同的余数2则a_7写出能被2整除且有约数5又是3的倍数的所有两位数8一个长方形的房间长135丈宽105丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满问正方形最大边长可以是几寸若用整数寸作为边长有哪几种规格的正方形瓷砖适合9一条长阶梯如果每步跨2阶那么最后剩1阶如果每步跨3阶那么最后剩2阶如果每步跨4阶那么最后剩3阶如果每步跨5阶那么最后剩4阶

9、如果每步跨6阶那么最后剩5阶只有每步跨7阶才能正好走完不剩一阶这阶梯最少有几阶第三讲质数合数一内容提要1正整数的一种分类 质数的定义如果一个大于1的正整数只能被1和它本身整除那么这个正整数叫做质数质数也称素数合数的定义一个正整数除了能被1和本身整除外还能被其他的正整数整除这样的正整数叫做合数根椐质数定义可知质数只有1和本身两个正约数质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是23任何合数都可以分解为几个质数的积能写成几个质数的积的正整数就是合数二例题例1两个质数的和等于奇数a a5 求这两个数解两个质数的和等于奇数必有一个是2所求

10、的两个质数是2和a2例2已知两个整数的积等于质数m 求这两个数解质数m只含两个正约数1和m 又1m m所求的两个整数是1和m或者1和m例3已知三个质数abc它们的积等于30求适合条件的abc的值解分解质因数302×3×5适合条件的值共有 应注意上述六组值的书写排列顺序本题如果改为4个质数abcd它们的积等于210即abcd 2×3×5×7那么适合条件的abcd值共有24组试把它写出来例4试写出4个连续正整数使它们个个都是合数解本题答案不是唯一的设n是不大于5的所有质数的积即n2×3×5那么n2n3n4n5就是适合条件的四个合

11、数即32333435就是所求的一组数本题可推广到n 个令n等于不大于n1的所有质数的积那么n2n3n4nn1就是所求的合数练习三1小于100的质数共_个它们是_2已知质数p与奇数q的和是11则p_q_3已知两个素数的差是41那么它们分别是_4如果两个自然数的积等于19那么这两个数是_如果两个整数的积等于73那么它们是_如果两个质数的积等于15则它们是_5两个质数x和y已知xy 91那么x _y _或x _y _6三个质数abc它们的积等于1990那么7能整除311513的最小质数是_8已知两个质数a和b适合等式ab99abm求m及的值9试写出6个连续正整数使它们个个都是合数10具备什么条件的最

12、简正分数可化为有限小数11求适合下列三个条件的最小整数大于1没有小于10的质因数不是质数12某质数加上6或减去6都仍是质数且这三个质数均在30到50之间那么这个质数是_13一个质数加上10或减去14都仍是质数这个质数是_第四讲 零的特性一内容提要一零既不是正数也不是负数是介于正数和负数之间的唯一中性数零是自然数是整数是偶数1零是表示具有相反意义的量的基准数例如海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元2零是判定正负数的界限若a 0则a是正数反过来也成立若a是正数则 a0记作a0 a是正数读作a0等价于a是正数b 0 b 是负数c0 c是非负数即c不是负数而是正数或0d0 d

13、是非正数 即d不是正数而是负数或0 e0 e不是0即e不是0而是负数或正数3在一切非负数中有一个最小值是0例如绝对值平方数都是非负数它们的最小值都是0记作a0当a 0时a的值最小是0a20a2有最小值0当a 0时4在一切非正数中有一个最大值是0例如0当0时值最大是00时都是负数0当2时的值最大是0二零具有独特的运算性质1乘方零的正整数次幂都是零2除法零除以任何不等于零的数都得零零不能作除数从而推出0没有倒数分数的分母不能是03乘法零乘以任何数都得零即a×00反过来如果ab 0那么ab中至少有一个是0要使等式xy 0成立必须且只需x 0或y 04加法互为相反数的两个数相加得零反过来也成

14、立 即ab互为相反数ab 05减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定若a-b 0则a b若a-b0则ab若a-b0则ab反过来也成立当a b时a-b 0当a b时a-b 0当a b时a-b 0三在近似数中当0作为有效数字时它表示不同的精确度例如com同前者表示精确到01米即1分米误差不超过5厘米 后者表示精确到001米即1厘米误差不超过5毫米可用不等式表示其值范围如下com 1651595近似数160 1605二例题例1两个数相除什么情况下商是1是1答两个数相等且不是0时相除商是1两数互为相反数且不是0时相除商是1例2绝对值小于3的数有几个它们的和是多少为什么答绝对值小于3的数有

15、无数多个它们的和是0因为绝对值小于3的数包括大于3并且小于3的所有数它们都以互为相反数成对出现而互为相反数的两个数相加得零例3要使下列等式成立应取什么值为什么103220答根据任何数乘以0都得0可知当0时可取任何数当1时取任何数等式10都是能成立互为相反数相加得零而30220它们都必须是0即30且20故当3且2时等式3220成立练习四1有理数a和b的大小如数轴所示比较下列左边各数与0的大小用号连接2a_ 0 3b_ 0 _ 0 _0a2 _ 0b3_ 0ab_ 0 ab_ 0 ab_ 0 2b 3_ 0 _ 0 _ 02a表示有理数下列四个式子正确个数是几个答_个 a a2 a2 a a a1

16、 a3x表示一切有理数下面四句话中正确的共几句答_句x22有最小值0x3有最大值02x2有最大值23x1有最小值34绝对值小于5的有理数有几个它们的积等于多少为什么5要使下列等式成立字母应取什么值0006下列说法正确吗为什么a的倒数是方程a13的解是n表示一切自然数2n1表示所有的正奇数如果a b 那么m2a m2b a b m都是有理数 7取什么值时下列代数式的值是正数112 第五讲 an 的个位数一内容提要1 整数a的正整数次幂an它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同例如20023与23的个位数字都是82 0156的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身例如57的个位数是5620的

17、个位数是6237的正整数次幂的个位数字的规律见下表指数12345678910底数224862486243397139713977931793179其规律是2的正整数次幂的个位数是按2486四个数字循环出现即24k1与2124k2与2224k3与2324k4与24的个位数是相同的k是正整数3和7也有类似的性质4 489的正整数次幂的个位数可仿照上述方法也可以用422823932转化为以23为底的幂5 综上所述整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律a4km与am的个位数相同 km都是正整数 二例题20032003的个位数是多少解20032003与32003的个位数是相同的20034×

18、500332003与33的个位数是相同的都是72003的个位数是7试说明6320001472002的和能被10整除的理由解20004×50020024×5002632000与34的个位数相同都是11472002与72的个位数相同都是96320001472002的和个位数是06320001472002的和能被10整除k取什么正整数值时3k2k是5的倍数解列表观察个位数的规律k12343的个位数39712的个位数24863k2k的个位数55从表中可知当k13时3k2k的个位数是5am与a4nm 的个位数相同mn都是正整数a是整数当k为任何奇数时3k2k是5的倍数练习五1在括号里

19、填写各幂的个位数k是正整数220的个位数是 45的个位数是330的个位数是87的个位数是74k1的个位数是 31179的个位数是 216×314的个位数是32k-172k-1的个位数是72k32k的个位数是 74k-164k-3的个位数是7710×3315×2220×5525的个位数是2目前知道的最大素数是22160911它的个位数是_3说明如下两个数都能被10整除的理由5353333319871989199319914正整数m取什么值时3m1是10的倍数5设n是正整数试说明2 n 7n2能被5整除的理由6若a4的个位数是5那么整数a的个位数是_若a4的

20、个位数是1那么整数a的个位数是_若a4的个位数是6那么整数a的个位数是_若a2k-1的个位数是7那么整数a的个位数是_7 12223292的个位数是_122232192的个位数是_122232292的个位数是_8 abc是三个连续正整数a2 14884c2 15376那么b2是a15116b15129c15144d15321第六讲 数学符号一内容提要数学符号是表达数学语言的特殊文字每一个符号都有确定的意义即当我们把它规定为某种意义后就不再表示其他意义数学符号一般可分为1元素符号通常用小写字母表示数用大写字母表示点用和表示圆和三角形等2关系符号如等号不等号相似全等平行垂直等3运算符号如加减乘除乘

21、方开方绝对值等4逻辑符号略5约定符号和辅助符号例如我们约定正整数a和b中如果a除以b的商的整数部分记作z而它的余数记作r 那么z3r1又如设表示不大于x的最大整数那么5603正确使用符号的关健是明确它所表示的意义即定义对题设中临时约定的符号一定要扣紧定义由简到繁由浅入深由具体到抽象逐步加深理解在解题过程中为了简明表述需要临时引用辅助符号时必须先作出明确的定义所用符号不要与常规符号混淆二例题例1设表示不大于z的最大整数n为正整数n除以3的余数 计算132004解原式43100原式14202例2求19871988的个位数 说明1987198919931991能被10整除的理由解设nx表示整数x的个

22、位数n19871988n74×497n741n19871989n19931991n74×4971n34×4973n71n337701987198919931991能被10整除 由于引入辅助符号解答问题显得简要明了例3定义一种符号的运算规则为ab 2ab试计算53174解532×53131742×174942×9422设ab a ab7 求等式3x 2 -8 中的x解由题设可知等式3x 2 -8 就是33x722×879x21 18x 4练习六设qx 表示有理数x 的整数部分那么q215_q123 _ q 003_q_2设n表

23、示不小于n的最小整数那么43_23_2_0303_3设表示不大于m的最大整数若m 2则 _ 若n 35则 _ 若10则_若7b 8则_若 4则_x_若nc n1则_4正整数a和b中设a除以b的商的整数部分记作z余数记作rab的个位数记作nab写出下列各数的结果rr_zz_n 19891990 _ 5设n表示自然数由1到n的连乘积例如51×2×3×4×5120计算120÷36设 a1b2a2b1计算7定义一种符号的运算法则为ab 那么32_ 23_123_310_8ab都是正整数设ab表示从a起b个连续正整数的和例如23234545678已知52

24、005求9设x表示不大于x数的最大整数且xx求10设a表示不大于数a的最大整数例如12那么3x12x-的所有的根的和是_1987年全国初中联赛题第七讲 用字母表示数内容提要和例题1用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上是一种飞跃2用字母表示数时字母所取的值应使代数式有意义并使它所表示的实际问题有意义例如写出数a的倒数用字母表示一切偶数解当a0时a的倒数是设n为整数2n可表示所有偶数3命题中的字母一般要注明取值范围在没有说明的情况下它表示所学过的数并且能使题设有意义例题化简x 3x 3 x5解x 3x3 0x3x3x3当x5时x

25、5x5当x 5时x5x5本题x 表示所有学过的数已知十位上的数是a个位数是b 试写出这个两位数解这个两位数是10ab 本题字母ab的取值是默认题设有意义即a 表示1到9的整数b表示0到9的整数 4用字母等式表示运算定律性质法则公式时一般左边作为题设所用的字母是使左边代数式有意义的所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明例如用字母表示分数的基本性质分数除法法则解分数的基本性质是 m0 m0 a作为左边的分母不另说明a0 d0 d在左边是分子到了右边变分母故另加说明5用字母等式表示运算定律性质法则公式不仅可从左到右顺用还可从右到左逆用公式可以变形变形时字母取值范围有变化时应加说明例如乘法分配律

26、顺用a bc abac 2 逆用5a5b 5 ab 625×314525×314 314 625525 314路程s 速度v×时间t v t0 t v0 6用因果关系表示的性质法则一般不能逆用例如加法的符号法则 如果a 0b 0那么 ab 0不可逆绝对值性质 如果a 0那么a a也不可逆 若a a则a0 7有规律的计算常可用字母表示其结果或概括成公式 例1正整数中不同的五位数共有几个不同的n位数呢 解不同的五位数可从最大五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数即99999-9999 90000 推广到n位正整数则要观察其规律一位正整数从1到9共9个

27、记作9×1二位正整数从10到99共90个 记作9×10三位正整数从100到999共900个 记作9×102四位正整数从1000到9999共9000个 记作9×103 指数3 4-1 n位正整数共9×10 n-1个例2在线段ab上加了3个点cde后图中共有几条线段 加n点呢解以a为一端的线段有 acadaeab 共4条以c为一端的线段有 除ca外 cdcecb 共3条以d为一端的线段有 除dcda外 dedb 共2条以e为一端的线段有 除edecea外 eb 共1条共有线段1234 10 条 注意3个点时是从1加到4 因此 如果是n个点则共有线段

28、123n1 条练习七1右边代数式中的字母应取什么值 s正方形 a2 3的倍数3n2用字母表示一切奇数所有正偶数一个三位数n个a相乘的结果负数的绝对值是它的相反数3写出从1开始n 个自然数的和是_从11开始到2n1 连续奇数的和 n 5 是_m个球队进行单循环赛所需场数是_4已知999 1031 9999 1041 那么各位数都是9的n位数 _5计算112 _1112 _ _6写出图中所有三角形并计算其个数如果线段上有个点呢 第八讲 抽屉原则一内容提要14个苹果放进3个抽屉有一种必然的结果至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个即等于或多于2个如果7个苹果放进3个抽屉那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于

29、3个即等于或多于3个这就是抽屉原则的例子2如果用表示不小于的最小整数例如3 那么抽屉原则可定义为m个元素分成n个集合mn为正整数m n则至少有一个集合里元素不少于个3根据的定义已知mn可求己知则可求的范围例如已知3那么23已知2则 12即3x6x有最小整数值4二例题例1某校有学生2000人问至少有几个学生生日是同一天分析我们把2000名学生看作是苹果一年365天闰年366天看作是抽屉即把m2000个元素分成n 366 个集合至少有一个集合的元素不少于个解56答至少有6名学生的生日是同一天例2 从1到10这十个自然数中任意取出6个数其中至少有两个是倍数关系试说明这是为什么解我们把1到10的奇数及

30、它们的倍数放在同一集合里则可分为5个集合它们是12483651079要在5个集合里取出6个数至少有两个是在同一集合而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系本题的关键是划分集合想一想为什么9不能放在3和6的集合里例3 袋子中有黄红黑白四种颜色的小球各6个请你从袋中取出一些球要求至少有3个颜色相同那么至少应取出几个才有保证分析我们可把4种球看成4个抽屉4个集合至少有3个球同颜色看成是至少有一个抽屉不少于3个有一个集合元素不少于3个解设至少应取出x个用表示不小于的最小整数那么323即8x 12最小整数值是9答至少要取出9个球才能确保有三个同颜色例4 等边三角形边长为2在这三角形内部放入5个点至少有2个

31、点它们的距离小于1试说明理由 解取等边三角形各边中点并连成四个小三角形如图它们边长等于15个点放入4个三角形至少有2个点放在同一个三角形内而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1练习八1初一年新生从全县17个乡镇招收50名则至少有_人来自同一个乡镇2任取30个正整数分别除以7那么它们的余数至少有_个是相同的3在2003m中指数m任意取10个正整数那么这10个幂的个位数中相同的至少有_个4暗室里放有四种不同规格的祙子各30只为确保取出的祙子至少有1双2只同规格为1双那么至少要取几只若要确保10双呢5袋子里有黑白球各一个红蓝黄球各6个请你拿出一些球要确保至少有4个同颜色那么最少要取几个6任意

32、取11个正整数至少有两个它们的差能被10整除这是为什么7右图有3行9列的方格若用红蓝两种颜色涂上则至少有2列的涂色方式是一样的试说明这是为什么8任意取3个正整数其中必有两个数它们的平均数也是正整数试说明理由990粒糖果分给13个小孩每人至少分1粒不管怎样分总有两人分得同样多这是为什么1011个互不相同的正整数它们都小于20那么一定有两个是互质数最大公约数是1的两个正整数叫互质数11任意6个人中或者有3个人他们之间都互相认识或者有3个人他们之间都互不相识两者必居其一这是为什么 第九讲 一元一次方程解的讨论一内容提要1方程的解的定义能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解一元方程的解也叫做

33、根例如方程2x60xx-1 0 x 6 0x 0 0x 2的解分别是x 3 x 0或x 1 x ±6 所有的数无解2关于x 的一元一次方程的解根的情况化为最简方程ax b后讨论它的解当a0时有唯一的解x 当a 0且b0时无解当a 0且b0时有无数多解不论x取什么值0x0都成立3求方程ax b a0 的整数解正整数解正数解当ab时方程有整数解当ab且ab同号时方程有正整数解当ab同号时方程的解是正数综上所述讨论一元一次方程的解一般应先化为最简方程ax b二例题例1 a取什么值时方程a a2 x 4 a2 有唯一的解无解有无数多解是正数解解当a0且a2 时方程有唯一的解x 当a 0时原方

34、程就是0x 8无解当a 2时原方程就是0x 0有无数多解由可知当a0且a2时方程的解是x 只要a与4同号即当a 0且a2时方程的解是正数例2 k取什么整数值时方程k x1 k2x2的解是整数1xk 6的解是负整数解化为最简方程k2x 4当k2能整除4即k2 ±1±2±4时方程的解是整数 k 130426时方程的解是整数化为最简方程kx k6当k0时x 1只要k能整除6即 k ±1±2±3±6时x就是整数当k 123时方程的解是负整数521例3已知方程a x2 b x1 2a无解问a和b应满足什么关系解原方程化为最简方程 ab

35、 x b方程无解ab 0且b0a和b应满足的关系是a b0例4ab取什么值时方程3x2a2x3b 8x7有无数多解解原方程化为最简方程3a2b8x 2a3b7根据0x0时方程有无数多解可知当时原方程有无数多解解这个方程组得答当a 2且b 1时原方程有无数多解练习九1根据方程的解的定义写出下列方程的解 x1 0 x2 9x 9x 33x1 3x1x2 2x2关于x的方程ax x2无解那么a_3在方程a a3 x a中当a取值为_时有唯一的解当a_时无解当a_时有无数多解当a_时解是负数4k取什么整数值时下列等式中的x是整数x x x x 5k取什么值时方程xk 6x的解是 正数 是非负数6m取什

36、么值时方程3mx 2m1的解 是零 是正数7已知方程的根是正数那么ab应满足什么关系8m取什么整数值时方程的解是整数9已知方程有无数多解求ab的值第十讲 二元一次方程的整数解一内容提要1二元一次方程整数解存在的条件在整系数方程axby c中若ab的最大公约数能整除c则方程有整数解即如果abc 则方程axby c有整数解显然ab互质时一定有整数解例如方程3x5y 1 5x-2y 7 9x3y 6都有整数解反过来也成立方程9x3y 10和 4x-2y 1都没有整数解933而3不能整除10422而2不能整除1一般我们在正整数集合里研究公约数ab中的ab实为它们的绝对值2二元一次方程整数解的求法若方程

37、axby c有整数解一般都有无数多个常引入整数k来表示它的通解即所有的解k叫做参变数方法一整除法求方程5x11y 1的整数解解x 1 设是整数则y 1-5k 2 把2代入1得x k-2 1-5k 11k-2原方程所有的整数解是k是整数方法二公式法设axby c有整数解则通解是x0y0可用观察法求二元一次方程的正整数解求出整数解的通解再解xy的不等式组确定k值用观察法直接写出二例题例1求方程5x9y 18整数解的通解解x 设k为整数y 35k代入得x 99k 原方程整数解是k为整数 又解当x o时y 2方程有一个整数解它的通解是k为整数从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的例2求方程5x6y

38、 100的正整数解解x 1 设 k为整数 则y 5k 2 把2代入1得x 20-6k解不等式组得0k k的整数解是123正整数解是例3甲种书每本3元乙种书每本5元38元可买两种书各几本解设甲种书买x本乙种书买y本根据题意得3x5y 38xy都是正整数x1时y 7是一个整数解通解是k为整数解不等式组得解集是整数k 012把k 012代入通解得原方程所有的正整数解答甲乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本练习十1求下列方程的整数解公式法x7y 4 5x-11y 3整除法3x10y 1 11x3y 42求方程的正整数解5x7y 875x3y 1103一根长10000毫米的钢材要截成两种不同规格

39、的毛坯甲种毛坯长300毫米乙种毛坯长250毫米有几种截法可百分之百地利用钢材4兄弟三人老大20岁老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97求兄弟三人的岁数5下列方程中没有整数解的是哪几个答_ 填编号4x2y 11 10x-5y 70 9x3y 11118x-9y 98 91x-13y 169 120x121y 3246一张试巻有20道选择题选对每题得5分选错每题反扣2分不答得0分小军同学得48分他最多得几分7用观察法写出方程3x7y 1几组整数解y 142x 第十一讲 二元一次方程组解的讨论一内容提要二元一次方程组的解的情况有以下三种当时方程组有无数多解两个方程等效当时方程组无解两个方程是矛盾的

40、当即a1b2a2b10时方程组有唯一的解这个解可用加减消元法求得方程的个数少于未知数的个数时一般是不定解即有无数多解若要求整数解可按二元一次方程整数解的求法进行求方程组中的待定系数的取值一般是求出方程组的解把待定系数当已知数再解含待定系数的不等式或加以讨论见例23二例题例1选择一组ac值使方程组有无数多解无解有唯一的解解当5a 12 7c时方程组有无数多解解比例得a 10c 14当5a127c时方程组无解解得a 10c14当5a12时方程组有唯一的解即当a10时c不论取什么值原方程组都有唯一的解例2a取什么值时方程组 的解是正数解把a作为已知数解这个方程组得解不等式组得解集是6答当a的取值为6

41、时原方程组的解是正数例3m取何整数值时方程组的解x和y都是整数解把m作为已知数解方程组得x是整数m8取8的约数±1±2±4±8y是整数m8取2的约数±1±2取它们的公共部分m8±1±2解得m 97106经检验m 97106时方程组的解都是整数例4古代问题用100枚铜板买桃李榄橄共100粒己知桃李每粒分别是34枚铜板而榄橄7粒1枚铜板问桃李榄橄各买几粒解设桃李榄橄分别买xyz粒依题意得由1得x 100yz 3 把3代入2整理得y 2003z 设 k为整数 得z 7k y 20020k x 300解得k是整数10k k

42、是整数k 11即x 3桃y 20李z 77榄橄 答略 练习十一不解方程组判定下列方程组解的情况a取什么值时方程组的解是正数a取哪些正整数值方程组的解x和y都是正整数要使方程组的解都是整数 k应取哪些整数值古代问题今有鸡翁一值钱五鸡母一值钱三鸡雏三值钱一百钱买百鸡鸡翁鸡母鸡雏都买可各买多少第十二讲 用交集解题一内容提要某种对象的全体组成一个集合组成集合的各个对象叫这个集合的元素例如6的正约数集合记作6的正约数1236它有4个元素1236除以3余1的正整数集合是个无限集记作除以3余1的正整数14710它的个元素有无数多个由两个集合的所有公共元素组成的一个集合叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合a

43、123610的正约数集合b125106与10的公约数集合c12集合c是集合a和集合b的交集几个集合的交集可用图形形象地表示右图中左边的椭圆表示正数集合右边的椭圆表示整数集合中间两个椭圆的公共部分是它们的交集正整数集不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集例如不等式组解的集合就是不等式1的解集x 3和不等式2的解集x2的交集x 3 如数轴所示 4一类问题它的答案要同时符合几个条件一般可用交集来解答把符合每个条件的所有的解即解的集合分别求出来它们的公共部分即交集就是所求的答案有时可以先求出其中的一个一般是元素最多的解集再按其他条件逐一筛选剔除求得答案如例2二例题例1一个自然数除以3余2除以5

44、余3除以7余2求这个自然数的最小值解除以3余2的自然数集合a258111417202326除以5余3的自然数集b3813182328除以7余2自然数集合c29162330集合abc的公共元素的最小值23就是所求的自然数有两个二位的质数它们的差等于6并且平方数的个位数字相同求这两个数解二位的质数共21个它们的个位数字只有1379即符合条件的质数它们的个位数的集合是1379其中差等于6的有1和73和913和7三组平方数的个位数字相同的只有3和71和9二组同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组故所求质数是2317433753477367共四组例3数学兴趣小组中订阅a种刊物的有28人订阅b种刊物的有

45、21人其中6人两种都订只有一人两种都没有订问只订a种只订b种的各几人数学兴趣小组共有几人解如图左右两椭圆分别表示订阅a种b种刊物的人数集合则两圆重叠部分就是它们的交集ab两种都订的人数集合只订a种刊物的人数是28622人只订b刊物的人数是21615人小组总人数是22156144人设nnanbnab分别表示总人数订a种b种ab两种都不订的人数则得公式一n nanbnab例4在40名同学中调查会玩乒乓球的有24人篮球有18人排球有10人同时会玩乒乓球和篮球的有6人同时会玩乒乓球和排球的有4人三种球都会的只有1人问有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球解仿公式一得公式二n nanbn c

46、nabnacn bc n abc 只会打乒乓球的是2464115人求nbc可用公式二4024181064nbc1nbc3即同时会打篮球和排球的是3人只会打排球的是10316人例5 十进制中六位数能被33整除求x和y的值解0xy9 0xy18 9xy9xy xy333×1119xy87的和是3的倍数故xy 258111417 1x8 9y7 是11的倍数故xy 47xy和xy是同奇数或同偶数它们的交集是下列四个方程组的解 解得 x 12不合题意舍去答x 2y 6或x 5y 9或x 9y 2练习十二1负数集合与分数集合的交集是_ 2等腰直角三角形集合是_三角形集合与_三角形集合的交集31

47、2的正约数集合a30的正约数集合b12和30的公约数集合c集合c是集合a和集合b的_4解下列不等式组并把解集不是空集表示在数轴上 5某数除以3余1除以5余1除以7余2求某数的最小值6九张纸各写着1到9中的一个自然数不重复甲拿的两张数字和是10乙拿的两张数字差是1丙拿的两张数字积是24丁拿的两张数字商是3问剩下的一张是多少7求符合如下三条件的两位数能被3整除它的平方立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同8据30名学生统计会打篮球的有22人其中5人还会打排球有2人两种球都不会打那么会打排球有几人只会打排球是几人9100名学生代表选举学生会正付主席对侯选人a和b进行表决赞成a的有52票赞成b的有60票其中ab都赞成的有36人问对ab都不赞成的有几人10数理化三科竞赛参加人数按单科统计数学24人物理18人化学10人按两科统计参加数理数化理化分别是1345人没有三科都参加的人求参赛的总人数只参加数学科的人数本题如果改为有2人三科都参加呢1112十进制中六位数能被21整除求xy的值仿例5第十三讲 用枚举法解题一内容提要有一类问题的解答可依题意一一列举并从中找出规律列举解答要注意按一定的顺序有系统地进行分类列举时要做到既不重复又不违漏遇到较大数字或