第10章 电磁辐射及原理

1、第十章第十章 电磁辐射及原理电磁辐射及原理主主 要要 内内 容容 电流元辐射，天线方向性，线天线，天线阵，对偶电流元辐射，天线方向性，线天线，天线阵，对偶原理，镜像原理，互易原理，惠更斯原理，面天线辐射。原理，镜像原理，互易原理，惠更斯原理，面天线辐射。1. 电流元辐射电流元辐射 一段载有一段载有均匀同相均匀同相的时变电流的导线称为的时变电流的导线称为电流元电流元，电流元的，电流元的 d l， 且且 l , l r。Ild 均匀同相均匀同相电流是指导线上各点电流的电流是指导线上各点电流的振幅振幅相等，相等， 且且相位相位相同。相同。 任何任何线天线线天线均可看成是由很多电流元均可看成是由很多电

2、流元连续分布连续分布形成的，电流元是线形成的，电流元是线天线的天线的基本单元基本单元。很多。很多面天线面天线也可直接根据面上的也可直接根据面上的电流分布电流分布求解其辐射求解其辐射特性。特性。 电流元具备的很多电磁辐射特性是任何其它天线所共有的。电流元具备的很多电磁辐射特性是任何其它天线所共有的。 设电流元周围媒质是设电流元周围媒质是无限大无限大的的均匀线均匀线性性且且各向同性各向同性的的理想理想介质。建立的坐标如介质。建立的坐标如左图示。左图示。 利用矢量磁位利用矢量磁位 A 计算其辐射场。该线计算其辐射场。该线电流电流 I 产生的矢量磁位产生的矢量磁位 A 为为lrrkIlrrrAd|e4

3、)(|j式中式中r 为场点，为场点， r 为源点。为源点。 rIlzyx , P(x, y, z)o 由于由于 ，可以认为上式中，可以认为上式中 ，又因电流仅具有，又因电流仅具有z 分量，即分量，即 ，因此，因此rll ,r|rrlzddelzzAerA)(krzrlIAje4 为了讨论天线的电磁为了讨论天线的电磁辐射辐射特性，使用特性，使用球球坐标系较为方便。那么，上坐标系较为方便。那么，上述矢量位述矢量位 A 在球坐标系中的各分量为在球坐标系中的各分量为 coszrAA sinzAA0ArIlzyx , AAzAr-A再利用关系式再利用关系式 ，求得，求得磁场强度磁场强度各个分量为各个分量

4、为AH1krrkkrlIkHj222e1j4sin 0rHH 由由 ，或者直接利用，或者直接利用 ，根据已知的，根据已知的磁场强度即可计算磁场强度即可计算电场强度电场强度，其结果为，其结果为 j jAAEEH j e1j2cos jj33223krrrkrklIkEkrrkrkkrlIkEj33223e1j14sin j 0E上述结果表明，在球坐标中，上述结果表明，在球坐标中，z 向电流元场强具有向电流元场强具有 ， 及及 三个分量，三个分量，而而 。由此可见，可以认为电流元产生的电磁场为。由此可见，可以认为电流元产生的电磁场为TM 波。波。 HrEE0EHHr 通常，通常， r 的区域称为的

5、区域称为远区远区。 在电磁场中，物体的绝对几何尺寸是无关紧要的。具有重要意义的在电磁场中，物体的绝对几何尺寸是无关紧要的。具有重要意义的是物体的尺寸相对于波长的大小，以波长度量的几何尺寸称为物体的是物体的尺寸相对于波长的大小，以波长度量的几何尺寸称为物体的波波长尺寸长尺寸。krrkkrlIkHj222e1j4sin e1j2cos jj33223krrrkrklIkEkrrkrkkrlIkEj33223e1j14sin j0rHHErIlzyx , EErH位于坐标原点的位于坐标原点的 z 方向电流元的电磁场方向电流元的电磁场r 的区域称为的区域称为远区远区。近区中的电磁场称为近区中的电磁场称

6、为近区场近区场，远区中的电磁场称为，远区中的电磁场称为远区场远区场。 近区场近区场。因。因 ， ，则上式中的低次项，则上式中的低次项 可以忽略，可以忽略，且令且令 ，那么，那么 r12rkrkr11ej kr 4sin 2rlIH3 2cos jrlIEr3 4sin jrlIE 将上式与静态场比较可见，它们分别是恒定电流元将上式与静态场比较可见，它们分别是恒定电流元 Il 产生的磁场及产生的磁场及电偶极子电偶极子 ql 产生的静电场。场与源的相位完全相同，两者之间没有时差。产生的静电场。场与源的相位完全相同，两者之间没有时差。 可见，近区场与静态场的特性完全相同，可见，近区场与静态场的特性完

7、全相同，无滞后无滞后现象，所以近区场现象，所以近区场称为称为似稳场似稳场。 电场与磁场的时间相位差为电场与磁场的时间相位差为 ，能流密度的实部为零，只存在虚部。，能流密度的实部为零，只存在虚部。可见近区场中没有能量的单向流动，近区场的能量完全被束缚在源的周可见近区场中没有能量的单向流动，近区场的能量完全被束缚在源的周围，因此近区场又称为围，因此近区场又称为束缚束缚场场。 2 远区场远区场。因。因 ， ，则上式中的高次项可以忽略，则上式中的高次项可以忽略，结果只剩下两个分量结果只剩下两个分量 和和 ，得，得r12rkrHEkrrlIHje2sin jkrrlZIEje2sin j式中式中 为周围

8、媒质的波阻抗。为周围媒质的波阻抗。Z上式表明，电流元的远区场具有以下特点：上式表明，电流元的远区场具有以下特点：（1）远区场为向远区场为向 r 方向传播的电磁波。电场及磁场均与传播方向方向传播的电磁波。电场及磁场均与传播方向 r 垂直，可见远区场为垂直，可见远区场为TEM波波，电场与磁场的关系为，电场与磁场的关系为 。 ZHE（2）电场与磁场同相，复能流密度仅具有实部。能流密度矢量的方向电场与磁场同相，复能流密度仅具有实部。能流密度矢量的方向为传播方向为传播方向 r 。这就表明，远区中只有不断向外辐射的能量，所以远。这就表明，远区中只有不断向外辐射的能量，所以远区场又称为区场又称为辐射场辐射场

9、。看录像补充的（3）远区场强振幅与距离远区场强振幅与距离 r 一次方一次方成反比，场强随距离增加不断衰减。成反比，场强随距离增加不断衰减。这种衰减不是媒质的损耗引起的，而是这种衰减不是媒质的损耗引起的，而是球面波球面波固有的固有的扩散扩散特性导致的。特性导致的。（4）远区场强振幅不仅与距离有关，而且与观察点所处的远区场强振幅不仅与距离有关，而且与观察点所处的方位方位也有关，也有关，这种特性称为天线的这种特性称为天线的方向性方向性。场强公式中与方位角。场强公式中与方位角 及及 有关的函数称为有关的函数称为方向性因子方向性因子，以，以 f (, ) 表示。表示。 由于电流元沿由于电流元沿Z 轴放置

10、，具有轴放置，具有轴对称轴对称特点，场强与方位角特点，场强与方位角 无关，方无关，方向性因子仅为方位角向性因子仅为方位角 的函数，即的函数，即 。可见，电流元在。可见，电流元在 = 0 的的轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的 = 90方向上辐射最强。方向上辐射最强。sin),(f（5）电场及磁场的方向与电场及磁场的方向与时间时间无关。可见，电流元的辐射场具有无关。可见，电流元的辐射场具有线极化线极化特性。当然在不同的方向上，场强的极化方向是不同的。特性。当然在不同的方向上，场强的极化方向是不同的。 krrlIHje2sin jkrrlZIEje2sin j 除

11、了上述线极化特性外，其余除了上述线极化特性外，其余四四种特性是一切种特性是一切尺寸有限尺寸有限的天线远区的天线远区场的场的共性共性，即一切，即一切有限尺寸有限尺寸的天线，其远区场为的天线，其远区场为TEM波波，是一种，是一种辐射场辐射场，其场强振幅不仅其场强振幅不仅与距离与距离r 成反比成反比，同时也，同时也与方向有关与方向有关。 当然，严格说来，当然，严格说来， 远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由于形远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由于形成能量交换部分的场强振幅至少与距离成能量交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而构成能量辐射部分成反比，而构成能量辐射部分的场强振幅与距离的场

12、强振幅与距离r 成反比，因此，成反比，因此，远区远区中能量的中能量的交换交换部分所占的比重部分所占的比重很小。相反，很小。相反，近区近区中能量的中能量的辐射辐射部分可以忽略。部分可以忽略。 天线的极化特性和天线的天线的极化特性和天线的类型类型有关。天线可以产生有关。天线可以产生线极化线极化、圆极化圆极化或或椭圆极化椭圆极化。当天线接收电磁波时，天线的极化特性必须与被接收的电。当天线接收电磁波时，天线的极化特性必须与被接收的电磁波的极化特性磁波的极化特性一致一致。否则只能收到部分能量，甚至完全不能接收。否则只能收到部分能量，甚至完全不能接收。 为了计算电流元向外的为了计算电流元向外的辐射功率辐射

13、功率Pr，可将，可将远区远区中的复能流密度矢量中的复能流密度矢量的的实部实部沿半径为沿半径为r 的球面进行积分，即的球面进行积分，即 SP crd)Re(SS式中式中Sc 为远区中的复能流密度矢量，即为远区中的复能流密度矢量，即ZHZEHErrr22*c|eeeHES代入前式，得代入前式，得)Re(4sinc22222cSeSrlZIr那么，若周围为真空，波阻抗那么，若周围为真空，波阻抗 Z = Z0 = 120，则辐射功率，则辐射功率 为为rP222r80lIP式中式中I I 为电流强度的有效值。为电流强度的有效值。 为了衡量天线辐射功率的大小，以为了衡量天线辐射功率的大小，以辐射电阻辐射电

14、阻Rr表述天线的辐射功率表述天线的辐射功率的能力，其定义为的能力，其定义为 2rrIPR 那么，电流元的辐射电阻那么，电流元的辐射电阻 为为rR22r80lR由此可见，电流元长度越长，则电磁辐射能力越强。由此可见，电流元长度越长，则电磁辐射能力越强。 例例 若位于坐标原点的电流元沿若位于坐标原点的电流元沿 x 轴放置，试求其远区场公式。轴放置，试求其远区场公式。 因因 ， ，l II xelxAxeA krxrlIAje4 相应的各球面坐标分量为相应的各球面坐标分量为sin ; coscos ; cossinxxxrAAAAAA 对于对于远区场远区场仅需考虑与距离仅需考虑与距离r 一次方一次方

15、成反比的分量，因此，求得远区磁场强度成反比的分量，因此，求得远区磁场强度为为krrlIje )coscossin( 2 jeeH又知远区场是向正又知远区场是向正 r 方向传播的方向传播的TEM波波，因此，电场强度，因此，电场强度 E 为为krrrlZIZje )sincoscos( 2 jeeeHE解解rIlzyx , P(x, y, z)o 由此可见，对于由此可见，对于 x 方向电流元，不同方向电流元，不同场分量场分量具有不同的方向性具有不同的方向性因子。此结果与因子。此结果与 z 方向电流元的方向性因子完全不同。由此可见，方向电流元的方向性因子完全不同。由此可见，改变天线相对于坐标系的改变

16、天线相对于坐标系的方位方位，其方向性因子的表示式，其方向性因子的表示式随之改变随之改变。 但是，并不以为意味天线的但是，并不以为意味天线的辐射特性辐射特性发生变化，只是发生变化，只是数学表达数学表达式式不同而已。不同而已。2. 天线的方向性天线的方向性 天线的方向性是天线的重要特性之一。天线的方向性是天线的重要特性之一。任何天线都具有方向性任何天线都具有方向性，本节将介绍如何定量地描述天线的方向性。本节将介绍如何定量地描述天线的方向性。 正如前述，电流元在其轴线方向上辐射为正如前述，电流元在其轴线方向上辐射为零零，在与轴线垂直的，在与轴线垂直的方向上辐射方向上辐射最强最强。电流元的辐射场强与方

17、位角。电流元的辐射场强与方位角 无关无关。实际中使用实际中使用归一化归一化方向性因子方向性因子 比较方便，其定义为比较方便，其定义为),(Fm),(),(ffF式中式中 fm 为方向性因子的为方向性因子的最大值最大值。 显然，归一化方向因子的最大值显然，归一化方向因子的最大值 Fm= 1。这样，任何天线的。这样，任何天线的辐射场辐射场的的振幅振幅可用归一化方向性因子表示为可用归一化方向性因子表示为),(|mFEE 式中式中 为为最强最强辐射方向上的场强振幅。辐射方向上的场强振幅。 m| E 利用归一化方向性因子可用利用归一化方向性因子可用图形图形描绘天线的方向性。通常以描绘天线的方向性。通常以

18、直角坐标直角坐标或或极坐标极坐标绘制天线在绘制天线在某一平面内某一平面内的方向图。的方向图。 使用计算机绘制的使用计算机绘制的三维空间三维空间的立体方向图更能形象地描述天线辐射的立体方向图更能形象地描述天线辐射场强的空间分布。场强的空间分布。 已知电流元的方向性因子为已知电流元的方向性因子为 ，其最大值，其最大值 ，所以该，所以该电流元的归一化方向性因子为电流元的归一化方向性因子为sin),(f1mfsin),(F 若采用若采用极坐标极坐标，以，以 为变量在任何为变量在任何 等于等于常数的平面内，函数常数的平面内，函数 的变化轨迹为两个圆，如左上图示。的变化轨迹为两个圆，如左上图示。 ),(F

19、yzyxxyzrEEHH电流元 将左上图围绕将左上图围绕 z 轴旋转一周，即构成轴旋转一周，即构成三维空间三维空间方向图。方向图。 由于与由于与 无关，在无关，在 的平面内，以的平面内，以 为变量的函数的轨迹为一个圆，如左下图为变量的函数的轨迹为一个圆，如左下图示。示。 2 下图以极坐标绘出了典型的雷达天线的方向图。方向图中辐射最强下图以极坐标绘出了典型的雷达天线的方向图。方向图中辐射最强的方向称为的方向称为主射方向主射方向，辐射为零的方向称为，辐射为零的方向称为零射方向零射方向。具有主射方向的。具有主射方向的方向叶称为方向叶称为主叶主叶，其余称为，其余称为副叶副叶。 为了定量地描述主叶的宽窄

20、程度，通常定义：场强为主射方向上场为了定量地描述主叶的宽窄程度，通常定义：场强为主射方向上场强振幅的强振幅的 倍的两个方向之间的夹角称为倍的两个方向之间的夹角称为半功率角半功率角，以，以 表示；两个表示；两个零射方向之间的夹角称为零射方向之间的夹角称为零功率角零功率角，以，以 表示。表示。215 . 02022 0主射方向主射方向主叶主叶后叶后叶副叶副叶零射方向零射方向零射方向零射方向12 0.52121xzy 方向性系数方向性系数，以，以 D 表示。表示。0m|r0rEEPPD 定义：当定义：当有向有向天线在天线在主射方向主射方向上与上与无向无向天线在天线在同一距离同一距离处获得相等处获得相

21、等场强时，无向天线所需的场强时，无向天线所需的辐射辐射功率功率 与有向天线的与有向天线的辐射辐射功率功率 之比值，之比值，即即0rPrP式中式中 为有向天线主射方向上的场强振幅，为有向天线主射方向上的场强振幅， 为无向天线的场强振幅。为无向天线的场强振幅。m| E|0E 已知有向天线的辐射功率主要集中在主射方向。因此，有向天线所需已知有向天线的辐射功率主要集中在主射方向。因此，有向天线所需的辐射功率一定小于无向天线的辐射功率，即的辐射功率一定小于无向天线的辐射功率，即 。可见，。可见， 。方向。方向性愈强，方向性系数性愈强，方向性系数 D 值愈高。值愈高。0rrPP 1D方向性系数通常以分贝表

22、示，即方向性系数通常以分贝表示，即DDlg10dB已知已知有向天线有向天线的辐射功率的辐射功率 Pr 为为SFZEPSd),(|2 2mr式中式中S 代表以天线为中心的闭合球面。代表以天线为中心的闭合球面。无向天线无向天线的辐射功率应为的辐射功率应为2200r4|rZEP 0 22 0 d sin),(d 4FD求得求得那么，若已知天线的方向性因子，根据上式即可计算方向性系数。那么，若已知天线的方向性因子，根据上式即可计算方向性系数。 已知电流元的归一化方向性因子已知电流元的归一化方向性因子 ，代入上式，求得，代入上式，求得电流元电流元的方向性系数的方向性系数 D = 1.5。sin) ,(F

23、 实际使用的天线均具有一定的损耗。因此，实际天线的实际使用的天线均具有一定的损耗。因此，实际天线的输入输入功率功率大于大于辐射辐射功率。天线的辐射功率功率。天线的辐射功率Pr与输入功率与输入功率 PA 之比称为天线的之比称为天线的效率效率，以以 表示，即表示，即ArPP 描述实际天线性能的另一个参数是描述实际天线性能的另一个参数是增益增益，以，以G表示。其定义与方表示。其定义与方向性系数类似。但是，增益是在相同的场强下，无向天线的向性系数类似。但是，增益是在相同的场强下，无向天线的输入输入功率功率PA0与有向天线的与有向天线的输入输入功率功率 PA 之比，即之比，即|A0A0mEEPPG若假定

24、若假定无向无向天线的效率天线的效率 ，那么由上述关系，得，那么由上述关系，得10DG天线增益通常也以分贝表示，即天线增益通常也以分贝表示，即GGlg10dB 目前卫星通讯地面站使用的大型抛物面天线，方向性很强，且效率目前卫星通讯地面站使用的大型抛物面天线，方向性很强，且效率也很高，其增益通常高达也很高，其增益通常高达50dB以上。以上。3. 对称天线辐射对称天线辐射 对称天线是一根中心馈电的，长度可与波长相比拟的载流导线，对称天线是一根中心馈电的，长度可与波长相比拟的载流导线，如下图示。如下图示。 LLdzyxIm 其其电流电流分布以导线中点为对称，因此被称分布以导线中点为对称，因此被称为为对

25、称天线对称天线。 若导线直径若导线直径 d ，电流沿线分布可以近，电流沿线分布可以近似认为具有似认为具有正弦驻波正弦驻波特性。特性。 因为对称天线两端开路，电流为零，形成因为对称天线两端开路，电流为零，形成电流驻波的波节。电流驻波的波腹位置取决于电流驻波的波节。电流驻波的波腹位置取决于对称天线的长度。对称天线的长度。 设对称天线的设对称天线的半长半长为为L，在直角坐标系中沿，在直角坐标系中沿 z 轴放置，中点位于坐轴放置，中点位于坐标原点，则电流空间分布函数可以表示为标原点，则电流空间分布函数可以表示为LLdzyxIm|)|(sinmzLkII式中式中 Im 为电流驻波的为电流驻波的空间空间最

26、大值或称为最大值或称为波腹波腹电流电流，常数，常数 。2k 既然对称天线的电流分布为正弦既然对称天线的电流分布为正弦驻波驻波，对，对称天线可以看成是由很多电流振幅不等但称天线可以看成是由很多电流振幅不等但相位相位相同相同的电流元排成一条直线形成的。的电流元排成一条直线形成的。 这样，利用这样，利用电流元电流元的远区场公式即可直接的远区场公式即可直接计算对称天线的辐射场。计算对称天线的辐射场。已知电流元已知电流元 产生的远区电场强度应为产生的远区电场强度应为zIdrkrzZIEje2sindjd 由于观察距离由于观察距离 ，可以认为组成对称，可以认为组成对称天线的每个电流元对于观察点天线的每个电

27、流元对于观察点P 的的指向指向是相同是相同的，即的，即 ，如左图示。，如左图示。 Lr rr /zyxPrdzzzcosr 那么，各个电流元那么，各个电流元在在 P 点产生的远区点产生的远区电场方向电场方向相同，合成电场为相同，合成电场为各个电流元远区电场的标量和，即各个电流元远区电场的标量和，即rkLLrzZIEj e2sindj 考虑到考虑到 ，可以近似认为，可以近似认为 。但是含在相位因子中的不能以。但是含在相位因子中的不能以r 代替代替 r，由于，由于 ，可以认为，可以认为rLrr11rr /coszrrzyxPrdzzzcosr对称天线对称天线 若周围媒质为若周围媒质为理想理想介质，

28、那么介质，那么远区远区辐射电场为辐射电场为krkLkLrIEjmesincos)coscos(60j方向性因子为方向性因子为sincos)coscos()(kLkLf 由此可见，对称天线的方向性因子与方位角由此可见，对称天线的方向性因子与方位角 无关，仅为方位无关，仅为方位角角 的函数。的函数。 |)|(sinmzLkIILLdzyxIm电流分布电流分布2L = /22L = 2L = 22L = 3/2四种长度的对称天线方向图四种长度的对称天线方向图sincos2cos)(fsin1)coscos()(fsincos23cos)(fsin1cos2cos)(f半波天线半波天线全波天线全波天线

29、例例 根据辐射电阻及方向性系数的定义，计算半波天线的辐射电阻及根据辐射电阻及方向性系数的定义，计算半波天线的辐射电阻及方向性系数。方向性系数。解解 根据半波天线的远区电场公式，求得半波天线的辐射功率为根据半波天线的远区电场公式，求得半波天线的辐射功率为SZEPSd| 02r 0 22mdsincos2cos 60I若定义半波天线的辐射电阻为若定义半波天线的辐射电阻为 ，则，则2mrrIPR1 .73dsincos2cos 60 0 2rR半波天线半波天线 对称天线的电流分布是对称天线的电流分布是不均匀不均匀的，因此选取不同的电流作为参考的，因此选取不同的电流作为参考电流，辐射电阻的数值将不同。

30、通常选取电流，辐射电阻的数值将不同。通常选取波腹电流波腹电流或或输入端电流输入端电流作为作为辐射电阻的辐射电阻的参考电流参考电流，分别称为以波腹电流或输入端电流为参考的辐，分别称为以波腹电流或输入端电流为参考的辐射电阻。射电阻。求得半波天线的方向性系数求得半波天线的方向性系数 D = = 1.64。将半波天线的归一化方向性因子代入下式将半波天线的归一化方向性因子代入下式 0 22 0 d sin),(d 4FD电流元电流元 半波天线半波天线的输入端电流的输入端电流等于等于波腹电流，因此上述辐射电阻可以认为波腹电流，因此上述辐射电阻可以认为是以波腹电流是以波腹电流或者或者以输入端电流为参考的辐射

31、电阻。以输入端电流为参考的辐射电阻。4. 天线阵辐射天线阵辐射 为了为了改善改善和和控制控制天线的方向性，通常使用多个简单天线构成复合天天线的方向性，通常使用多个简单天线构成复合天线，这种复合天线称为线，这种复合天线称为天线阵天线阵。 适当地设计各个单元天线的适当地设计各个单元天线的类型类型、数目数目、电流、电流振幅振幅及及相位相位、单元天、单元天线的线的取向取向及及间隔间隔，可以形成所需的方向性。，可以形成所需的方向性。 若天线阵中各个单元天线的若天线阵中各个单元天线的类型类型和和取取向向均相同，且以相等的均相同，且以相等的间隔间隔 d 排列在一条排列在一条直线直线上。各单元天线的电流上。各

32、单元天线的电流振幅振幅均为均为I ，但相位依次逐一滞后但相位依次逐一滞后同一同一数值数值 ，那么，那么，这种天线阵称为这种天线阵称为均匀直线式天线阵均匀直线式天线阵。Ixzydddn4312I e- jI e- j2I e- j3I e- j(n-1)dcosr1r4r3r2rnP 若仅考虑若仅考虑远区场远区场，且观察，且观察距离距离远大于天线阵的远大于天线阵的尺寸尺寸，那么可以认为，那么可以认为各个单元天线对于观察点各个单元天线对于观察点P 的的取向取向是相同的。是相同的。 又因各单元天线的取向一致，因此，各个单元天线在又因各单元天线的取向一致，因此，各个单元天线在P 点产生的场强点产生的场

33、强方向相同，这样，天线阵的合成场强等于各个单元天线场强的方向相同，这样，天线阵的合成场强等于各个单元天线场强的标量和标量和，即，即nEEEE21根据天线远区辐射场的特性，第根据天线远区辐射场的特性，第 i 个单元天线的辐射场可以表示为个单元天线的辐射场可以表示为ikriiiiifrICEje ),(式中式中Ci决定于天线类型。对于均匀直线式天线阵，因各单元天线类型相决定于天线类型。对于均匀直线式天线阵，因各单元天线类型相同，则同，则 。 nCCC21nfff21又因取向一致，故又因取向一致，故 。与前同理，对于远区可以认为与前同理，对于远区可以认为将上述结果代入前式，求得将上述结果代入前式，求

34、得 n 元天线阵的合成场强的振幅为元天线阵的合成场强的振幅为 )cos(21sin)cos(2sin),(1111kdkdnfrICE)cos(21sin)cos(2sin),(kdkdnfn令令nrrr11121cosjjjeee12kdkrkrcos2jjjeee13dkkrkrcos)1(jjjeee1dnkkrkrn则则 n 元天线阵场强的振幅可以表示为元天线阵场强的振幅可以表示为),(),(|1111nffrICE 式中式中 称为称为阵因子阵因子。 ),(nf 上述均匀直线式天线阵沿上述均匀直线式天线阵沿 z 轴放置，因此方向性因子仅为方位角轴放置，因此方向性因子仅为方位角 的函数。

35、的函数。若以若以 表示天线阵的方向性因子，则表示天线阵的方向性因子，则),(f),(),(),(1nfff式中式中 为为单元天线单元天线的方向性因子，的方向性因子， 为阵因子。为阵因子。),(nf),(1f 由此可见，均匀直线式天线阵的方向性因子等于单元天线的方向由此可见，均匀直线式天线阵的方向性因子等于单元天线的方向性因子与阵因子的乘积，这一规则称为性因子与阵因子的乘积，这一规则称为方向图乘法规则方向图乘法规则。 可见，阵因子与单元天线的可见，阵因子与单元天线的数目数目n、间距间距 d 及电流及电流相位差相位差 有关。有关。已知天线阵的阵因子为已知天线阵的阵因子为)cos(21sin)cos

36、(2sin),(kdkdnfn 适当地变更单元天线的适当地变更单元天线的数目数目、间距间距及及电流相位电流相位，即可改变天线，即可改变天线阵的方向性。阵的方向性。阵因子达到最大值的条件为阵因子达到最大值的条件为coskd 该条件意味着各单元天线场强的该条件意味着各单元天线场强的空间相位差空间相位差(kdcos )恰好抵消恰好抵消了电流的了电流的时间相位差时间相位差。因此，阵因子达到最大值。因此，阵因子达到最大值。 根据给定的方向性，确定天线阵的结构，这是天线阵的根据给定的方向性，确定天线阵的结构，这是天线阵的综合综合问问题。题。由上式求得阵因子达到最大值的角度由上式求得阵因子达到最大值的角度

37、为为m)( , arccosmkdkd 可见，阵因子的主射方向决定于单元天线之间的可见，阵因子的主射方向决定于单元天线之间的电流相位差电流相位差及其及其间距间距。 连续地连续地改变单元天线之间的电流相位差，即可连续地改变天线阵改变单元天线之间的电流相位差，即可连续地改变天线阵的主射方向。这样，无须转动天线，即可实现在一定范围内的方向性的主射方向。这样，无须转动天线，即可实现在一定范围内的方向性扫描，这就是扫描，这就是相控阵天线相控阵天线的工作原理。的工作原理。 各个单元天线电流各个单元天线电流相位相同相位相同的天线阵称为的天线阵称为同相阵同相阵。因。因 ，由，由上式得上式得02m此结果表明，若

38、不考虑此结果表明，若不考虑单元天线单元天线的方向性，则天线阵的主射方向垂直的方向性，则天线阵的主射方向垂直于天线阵的轴线，这种天线阵称为于天线阵的轴线，这种天线阵称为边射式天线阵边射式天线阵。若单元天线之间的电流相位差若单元天线之间的电流相位差 ，由前式得，由前式得kd0m此结果表明，若不考虑此结果表明，若不考虑单元天线单元天线的方向性，则天线阵的主射方向指向的方向性，则天线阵的主射方向指向电流相位滞后的一端。这种天线阵称为电流相位滞后的一端。这种天线阵称为端射式天线阵端射式天线阵。 下图给出了由两个半波天线构成的几种二元阵的方向图。下图给出了由两个半波天线构成的几种二元阵的方向图。 0d =

39、 /200d = /20 2d = /4根据方向图乘法规则即可理解这些二元阵方向图的形成原因。根据方向图乘法规则即可理解这些二元阵方向图的形成原因。 例例 某直线式四元天线阵，由四个相互平行的半波天线构成，如左下某直线式四元天线阵，由四个相互平行的半波天线构成，如左下图示。单元天线之间的间距为半波长，单元天线的电流同相，但电流图示。单元天线之间的间距为半波长，单元天线的电流同相，但电流振幅分别为振幅分别为 ， ，试求与单元天线垂直的，试求与单元天线垂直的 平面内平面内的方向性因子的方向性因子。 III41III2320 xyz1234zyx1234解解 这是一个这是一个非均匀非均匀的直线式天的

40、直线式天线阵，不能直接应用前述的线阵，不能直接应用前述的均匀均匀直线式天线阵公式。直线式天线阵公式。该四元天线阵可以分解为该四元天线阵可以分解为两个两个均匀直线式均匀直线式三元三元同相阵。同相阵。 但是单元天线但是单元天线和和可以可以分别分解为两个电流均为分别分解为两个电流均为 I 的半的半波天线。波天线。 两个三元阵又构成一个均匀直线式二元同相阵。两个三元阵又构成一个均匀直线式二元同相阵。 那么，根据那么，根据方向图乘法规则方向图乘法规则，上述四元天线阵在，上述四元天线阵在 yz 平面内平面内的方向性因子应等于均匀直线式三元同相阵的阵因子与二元同的方向性因子应等于均匀直线式三元同相阵的阵因子

41、与二元同相阵的阵因子的乘积，即相阵的阵因子的乘积，即),(),(),(23fff式中式中cos2sincos23sin),(3fcos2cos2),(2f基基 站站 天天 线线小小 灵灵 通通 天天 线线5. 电流环辐射电流环辐射 电流环电流环是一个载有是一个载有均匀同相均匀同相时变电流的导线圆环，其圆环时变电流的导线圆环，其圆环半径半径 a ， 且且 a r 。 设电流环位于设电流环位于无限大无限大的空间，周的空间，周围媒质是围媒质是均匀线性且各向同性均匀线性且各向同性的。建的。建立直角坐标系，令电流环的中心位于立直角坐标系，令电流环的中心位于坐标原点，且电流环所在平面与坐标原点，且电流环所

42、在平面与 xy 平面一致，如左图示。平面一致，如左图示。zyxaP. .r 因结构对称于因结构对称于 z 轴，电流环的场强轴，电流环的场强一定与角度一定与角度 无关。为了简单起见，令无关。为了简单起见，令观察点观察点 P 位于位于 xz 平面。平面。lrrkI|rrlrA|ed4)()|j已知线电流产生的矢量位为已知线电流产生的矢量位为krkrrkISkj222e sin1j14)(erA根据几何关系以及近似计算，求得根据几何关系以及近似计算，求得式中式中 为电流环的面积。为电流环的面积。2aS zyxrare)0 ,(rPyxaeee-exr)0 ,(rP利用关系式利用关系式 ，求得电流环产

43、生的磁场为，求得电流环产生的磁场为AH1 0 e sin11j14 e cos11j2j33223j33223HrkrkkrSIkHrkrkISkHkrkrr再利用关系式再利用关系式 ，求得电流环产生的电场为，求得电流环产生的电场为HEj1 0e sin11j4 jj222EErkkrSIkErkr由此可见，电流环产生的电磁场为由此可见，电流环产生的电磁场为TE波。波。 对于远区场，因对于远区场，因 ，则只剩下，则只剩下 及及 两个分量，它们分别为两个分量，它们分别为1krHEkrkrrSIZErSIHj2j2e sin e sin上式表明，电流环的上式表明，电流环的方向性因子方向性因子为为s

44、in),(f可见，与位于坐标原点的可见，与位于坐标原点的 z 向向电流元电流元的的方向性因子完全一样，如左图示。方向性因子完全一样，如左图示。 电流环所在平面内辐射最强，垂直电流环所在平面内辐射最强，垂直于电流环平面的于电流环平面的 z 轴方向为零射方向。轴方向为零射方向。zy(-)? ?SrISzyx , HE与前类似，可以求得电流环的与前类似，可以求得电流环的辐射功率辐射功率 Pr 和和辐射电阻辐射电阻 Rr 分别为分别为246r320aP46r320aR电流元及电流环的场强公式电流元及电流环的场强公式非常类似非常类似。 H (电流元电流元) E (电流环电流环) ; E (电流元电流元)

45、 H (电流环电流环) 。rIlzyx , EHrISzyx , HE例例 某复合天线由电流元及电流环流构成。电流元的轴线垂直于电流某复合天线由电流元及电流环流构成。电流元的轴线垂直于电流环的平面，如下图示。试求该复合天线的方向性因子及辐射场的极化环的平面，如下图示。试求该复合天线的方向性因子及辐射场的极化特性。特性。 解解 令复合天线位于坐标原点，且电流令复合天线位于坐标原点，且电流元轴线与元轴线与 z 轴一致。轴一致。krrlZIj111e2sinj eEE = E1yxI1zI2电流环电流环产生的远区电场为产生的远区电场为krrlSIZj2222esineEE = E2则则电流电流元产生

46、的远区电场强度为元产生的远区电场强度为 那么，合成的远区电场为那么，合成的远区电场为 sine2j j221rSIZlZIkreeE若若I1与与I2的相位差为的相位差为 ，则合成场为，则合成场为线线极化。极化。2 因因 ，可见上式中两个分量相互垂直，振幅不等，相位相差，可见上式中两个分量相互垂直，振幅不等，相位相差 。因此，若因此，若 I1与与 I2 相位相同，合成场为相位相同，合成场为椭圆椭圆极化。极化。ee 2该复合天线的方向因子仍为该复合天线的方向因子仍为 。sinE = E2E = E1yxI1zI26. 对偶原理对偶原理 前已指出，电荷与前已指出，电荷与电流电流是产生电磁场的是产生电

47、磁场的惟一惟一源。自然界中至今尚源。自然界中至今尚未发现任何未发现任何磁荷磁荷与与磁流磁流存在。但是对于某些电磁场问题，引入存在。但是对于某些电磁场问题，引入假想的假想的磁荷磁荷与与磁流磁流是有益的。是有益的。 引入磁荷与磁流后，描述正弦电磁场的麦克斯韦方程修改如下：引入磁荷与磁流后，描述正弦电磁场的麦克斯韦方程修改如下： rBrEj rBrJrEjm rDrJrHj rrD 0rB rrBm式中式中 J m(r) 磁流密度；磁流密度； m(r) 磁荷密度。磁荷密度。 rrJmmj磁荷守恒定律磁荷守恒定律: :)()()(merErErE)()()(merHrHrH 现将电场及磁场分为两部分：

48、一部分是由现将电场及磁场分为两部分：一部分是由电荷电荷及及电流电流产生的电产生的电场场 及磁场及磁场 ；另一部分是由；另一部分是由磁荷磁荷及及磁流磁流产生的电场产生的电场 及及磁场磁场 ，即，即 )(erE)(erH)(mrE)(mrH 由于麦克斯韦方程是由于麦克斯韦方程是线性线性的，那么他们分别满足的电磁场方程的，那么他们分别满足的电磁场方程如下：如下： eeeeee0 j jDBHEEJH0 j jmmmmmmmmDBHJEEH比较上述两组方程，获得以下对应关系：比较上述两组方程，获得以下对应关系： memeHEEHmmJJ这个对应关系称为这个对应关系称为对偶原理对偶原理或或二重性原理二重

49、性原理。 这样，如果我们已经求出某种这样，如果我们已经求出某种电荷电荷及及电流电流产生的电磁场，只要将产生的电磁场，只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换置换以后，所获得的以后，所获得的表示式即是具有表示式即是具有相同分布相同分布特性的特性的磁荷磁荷与与磁流磁流产生的电磁场。产生的电磁场。 例如，已知例如，已知 z 向电流元向电流元 Il 的远区场公式为的远区场公式为krrlIEjmme2sin jkrrZlIHjmme2sin j位于位于 xy 平面内的电流环即可看作为一个平面内的电流环即可看作为一个 z 向磁流元。向磁流元。那么，那么

50、， z 向磁流元向磁流元Ilm产生的远区场应为产生的远区场应为krrlIHje2sin jkrrlZIEje2sin j 由此可见，虽然实际中并不存在磁荷及磁流，但是类似电流环由此可见，虽然实际中并不存在磁荷及磁流，但是类似电流环的天线可以看作为磁流元。的天线可以看作为磁流元。 rIlzyx , EH电流元电流元rIm lzyx , HE磁流元磁流元rISzyx , HE电流环电流环 引入磁荷引入磁荷 m 及磁流及磁流 J m 以后，两个积分形式的麦克斯韦方程应该以后，两个积分形式的麦克斯韦方程应该修改为修改为 Sm12nJEEeSm12nBBeSBJlEdjd m Slm dSSB那么，前述

51、边界条件也必须加以修正。但是，仅涉及电场强度的切向分那么，前述边界条件也必须加以修正。但是，仅涉及电场强度的切向分量和磁场强度的法向分量，即量和磁场强度的法向分量，即式中式中 为表面磁流密度，为表面磁流密度， 为表面磁荷密度，为表面磁荷密度， 由媒质由媒质指向媒质指向媒质，如下图示。，如下图示。 )(mrJS)(mrSne1, 12, 2etenE1tE2tB1nB2nSmJSmnn0JEeHe0nmnDeBeS 已知磁导率已知磁导率 的的理想导磁体理想导磁体，其内部不可能存在任何电磁场，其内部不可能存在任何电磁场，但其表面可以存在假想的表面磁荷与磁流。那么，理想导磁体的边界但其表面可以存在假

52、想的表面磁荷与磁流。那么，理想导磁体的边界条件为条件为HHEE 理想导理想导磁磁体体 理想导理想导电电体体7. 镜像原理镜像原理 静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电磁场的静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电磁场的边值问题边值问题，但是也仅能应用于某些但是也仅能应用于某些特殊特殊的边界。的边界。 设时变设时变电流元电流元 Il 位于无限大的理想导电平面附近，且位于无限大的理想导电平面附近，且垂直垂直于于该平面，如下图示。该平面，如下图示。 Il无限大无限大的的理想导电平面理想导电平面和无限大的理想和无限大的理想导磁导磁平面。平面。 镜像法的镜像法的实质实质是以镜像源代替是以镜像源代替边界边

53、界的影响，整个空间变为的影响，整个空间变为媒质参数为媒质参数为, 的的均匀无限大均匀无限大空间。空间。Il Il引入的镜像源必须引入的镜像源必须保持保持原有的边界条件。原有的边界条件。E0r0E+rE-r令镜像电流元令镜像电流元 ，且令，且令 ， 。l III ll 正弦时变正弦时变电流电流与时变与时变电荷电荷的关系为的关系为 。时变电流元的电荷积。时变电流元的电荷积累在电流元的两端，上端电荷累在电流元的两端，上端电荷 ，下端电荷，下端电荷 ，如，如下左图。下左图。qIjjIq jIq -qqEIl Il-qq-qqIl0E0rE rE r这些这些电荷电荷及及电流电流分别在边界上产生的分别在边

54、界上产生的电场强度电场强度，如上右图。，如上右图。 由于引入镜像源以后，整个空间变为由于引入镜像源以后，整个空间变为均匀无限大均匀无限大的空间，因此可以的空间，因此可以通过通过矢量位矢量位 A 及及标量位标量位 计算场强。计算场强。电流元电流元 Il 产生的电场强度为产生的电场强度为0j0e4krrIlAkrrqje4krrqje4式中式中AEEEEj0类似地，可以求得镜像电流元类似地，可以求得镜像电流元 产生的电场为产生的电场为l IAEEEEj0式中式中0j0e 4rkrI lArkrqje 4rkrqje 4 对于边界平面上任一点，对于边界平面上任一点， ， 。已设。已设 ，故，故 。又

55、又 ，因此，各电场的，因此，各电场的水平分量水平分量相相互抵消，合成电场互抵消，合成电场 的方向垂直的方向垂直于边界平面。于边界平面。 因此，引入的镜像电流因此，引入的镜像电流元满足原有的边界条件。元满足原有的边界条件。00rr rr rrII qq ll )(EE 由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同，这种镜像电流由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同，这种镜像电流元称为元称为正像正像。 类似地，可以证明位于无限大理想导电平面附近的类似地，可以证明位于无限大理想导电平面附近的水平水平电流元的电流元的镜像电流元为镜像电流元为负像负像。E0r0E+rE-r Il-qq-qqIl0E0r

56、E rE r 位于无限大的理想导电平面附近的位于无限大的理想导电平面附近的磁流元磁流元的镜像关系恰好与电流的镜像关系恰好与电流元情况元情况完全相反完全相反，如下图示。，如下图示。 电流元磁流元 从天线阵的角度来看，从天线阵的角度来看，镜像法的求解可归结为镜像法的求解可归结为二元天线阵二元天线阵的求解的求解。 实际地面实际地面对天线的影响，也可应用镜像原理。但是，由于地面为对天线的影响，也可应用镜像原理。但是，由于地面为非理想的导体，严格理论分析表明，只有当天线的非理想的导体，严格理论分析表明，只有当天线的架空高度架空高度以及以及观察观察点离开地面的高度点离开地面的高度远大于波长时，且仅对于远大

57、于波长时，且仅对于远区场远区场的计算才可应用镜的计算才可应用镜像法。像法。 ？ 上半空间任一点场强可以认为是上半空间任一点场强可以认为是直接波直接波 E1 与来自镜像的地面与来自镜像的地面反射波反射波 E2 之合成，且认为之合成，且认为 E1 与与 E2 的方向一致。因此，合成场为直接波与反射的方向一致。因此，合成场为直接波与反射波的标量和，即波的标量和，即直接波直接波反射波反射波 r1 r2地面地面E1E22j01j02121eerRErEEEEkrkr 由于地面处于天线的远区范围，天线的远区场具有由于地面处于天线的远区范围，天线的远区场具有TEM波性质，波性质，反射系数反射系数 R 可以近

58、似看成是可以近似看成是平面波平面波在在平面平面边界上的反射系数，它与天线边界上的反射系数，它与天线远区场的远区场的极化特性极化特性、反射点的地面、反射点的地面电磁参数电磁参数以及观察点所处的以及观察点所处的方位方位有关。有关。式中式中R 为地面反射系数。为地面反射系数。实际地面对天线的影响可以归结为一个实际地面对天线的影响可以归结为一个非均匀非均匀二元天线阵的求解。二元天线阵的求解。 例例 利用镜像原理，计算垂直接地的长度为利用镜像原理，计算垂直接地的长度为l、电流为、电流为I 的电流元的辐的电流元的辐射场强、辐射功率及辐射电阻。地面当作无限大的理想导电平面。射场强、辐射功率及辐射电阻。地面当

59、作无限大的理想导电平面。 IlIlE0 , 00 , 0解解 按照镜像原理，对于无限大的理想导电平面，垂直电流元的镜像按照镜像原理，对于无限大的理想导电平面，垂直电流元的镜像为为正像正像。因此，上半空间的场强等于长度为。因此，上半空间的场强等于长度为2l 的电流元产生的辐射的电流元产生的辐射场，即场，即krrlIZEj0esin j可见，长度为可见，长度为l 的垂直电流元接地以后，其场强振幅提高一倍。的垂直电流元接地以后，其场强振幅提高一倍。 IlE 0 , 0 接地的电流元仅向接地的电流元仅向上半空间上半空间辐射，计算辐射功率时应仅沿上半辐射，计算辐射功率时应仅沿上半球面进行积分。即辐射功率

60、为球面进行积分。即辐射功率为2222 0 22 0 r160d sind lISrP对应的辐射电阻对应的辐射电阻 Rr 为为22r160lR可见，其辐射电阻也提高一倍。可见，其辐射电阻也提高一倍。 中波广播电台，为了使电台周围听众均能收到信号，其天线通中波广播电台，为了使电台周围听众均能收到信号，其天线通常是一根悬挂的常是一根悬挂的垂直导线垂直导线或或自立式自立式铁塔。它可以看成是一种垂直接铁塔。它可以看成是一种垂直接地天线，在水平面内没有方向性。地天线，在水平面内没有方向性。 对于中波波段的电磁波，地面可以近似当作对于中波波段的电磁波，地面可以近似当作导电体导电体。为了提高。为了提高电导率天