3.4微分ppt课件

1、1 第三章 一、微分的概念一、微分的概念 可可微微条条件件及及微微分分求求法法二二.微微分分法法则则与与微微分分公公式式三三.微微分分的的几几何何意意义义四四.微微分分的的应应用用五五.六、参数方程的求导法则六、参数方程的求导法则2一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A , 则则,2xA0 xx面积的增量为面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)x( 关于关于x 的的线性线性主部主部高阶

2、无穷小高阶无穷小0 x时为时为故故xxA02称为函数在称为函数在 的微分的微分0 x当当 x 在在0 x取取得增量得增量x时时,0 x变到变到,0 xx边长由边长由其其3表表示示成成可可以以函函数数的的改改变变量量的的改改变变量量处处如如果果对对自自变变量量在在点点设设有有函函数数定定义义)x(f)xx(fy,xx),x(fy. 33)x(oxAy 无无关关，与与其其中中xA .xxfyxAyxxfy处处的的微微分分）在在点点（为为函函数数主主部部的的线线性性可可微微，并并称称）在在点点（则则称称函函数数 ），即即（或或记记为为xdfdyxA)x(dfxAdy 或或.xxfyxxAyy处处不不

3、可可微微或或微微分分不不存存在在）在在点点（则则称称函函数数的的形形式式，不不能能表表示示成成如如果果 .Adxdy)x(fy,.xdxxx 的的微微分分又又可可记记作作于于是是作作称称为为自自变变量量的的微微分分，记记的的增增量量通通常常把把自自变变量量 引例：引例：.2000 xxdsxsxx 处处可可微微，且且在在点点面面积积函函数数4 ？其其中中的的线线性性系系数数可可微微若若什什么么时时候候可可微微？即即？何何时时才才能能表表达达为为的的增增量量函函数数问问题题： AxfxfyxoxAyxf,)(. 2)(. 15可可微微条条件件及及微微分分求求法法二二. 处处可可微微在在0 xxf

4、73.性质性质 .0处可导处可导在在xxf且进而有且进而有 xxfxAdyxx 00 .,00“微微商商”且且称称导导数数为为又又记记为为又又记记为为故故此此导导数数符符号号xxdxdyxfdxdyxf , )(0 xfA 且且 xx dxdy ,1xx .xxfdy,xfy,* 对对该该性性质质说说明明. 1的的微微分分求求函函数数例例xy 解:.xdx 即即 .,*dxxfdydxx 从从而而记记以以后后习习惯惯地地记记6时时的的微微分分。和和在在、求求函函数数例例2 . 0123 xxxy分分先先求求函函数数在在任任意意点点的的微微dxxfdy)( 代代入入上上式式，可可得得再再将将2

5、. 0, 1 xdxx6 . 02 . 01322 . 0,1 xxdydxxdxx233)( 解:7由由微微分分与与导导数数关关系系易易知知微微分分法法则则与与微微分分公公式式三三.一阶微分一阶微分形式不变性形式不变性5 5个法则个法则.)()(dxxfdyxfyx 的的一一阶阶微微分分形形式式均均为为：，函函数数是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量结结论论：无无论论 ,. 1dvduvud ,. 2ducucd ,. 3udvvduuvd ,. 42vudvvduvud udyxuufy对对则则若若 ,. 5 ,duuf xdy对对而而 dxxf dxxuf .duuf 其余为常数其余

6、为常数的函数的函数为为以下设以下设,xvu8 bxaxdedy2对对原原函函数数两两边边取取微微分分）利利用用微微分分形形式式不不变变性性法法,2）复复合合函函数数求求导导：法法1dxbaxedybxax)2(2 bxaxdebxax 22 .22dxbaxebxax 如何避开复合函数求导直接求微分？如何避开复合函数求导直接求微分？u dy .duuf )2(2baxeybxax 解:.,. 32dyeybxax求求设设例例 9则则两两边边取取微微分分，的的函函数数）是是关关于于（xy.121122dxyyydy 从而从而dyydx211 yddxydyarccos2 .,arccos. 42

7、dyyxy求求例例 解: ,arccos2yxdyd ,1122dxdyyy 10练习：一、求下列函数的微分练习：一、求下列函数的微分)()3ln2)2arctan142exxxefyyxyey ）dxexexefdydxyyxdydxeedykeyexexxx)()3(121)1(:1232 二二. 设设,0)cos(sin yxxy求求 .dy利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 , 有有0)d(cos()sin(d yxxyxxyyxdcosdsin )sin(yx 0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxy xyxsin)sin( 解:11微微分分的的几几何何意意义义

8、四四.“曲曲”代代“直直”以以)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x xx0 P M如图：如图：时，时，变到变到从从当当xxxx 00 ,00 xfxxfy xxxf tan0曲线纵坐标上的增量。曲线纵坐标上的增量。切线纵坐标上的增量。切线纵坐标上的增量。,dyyx 较较小小时时当当.近近似似代代替替相相应应切切线线纵纵坐坐标标的的增增量量曲曲线线纵纵坐坐标标的的增增量量可可用用附附近近，在在点点 M几几何何上上表表示示：）可可近近似似代代替替曲曲线线段段（切切线线段段.MNMP dy12微微分分的的应应用用五五.近近似似计计算算改改变变量量可可用用于于近近似似计计算算函函数数

9、的的近近似似计计算算函函数数值值 0000 xfxxfxxf 000 xxxfxfxf 当当x x较小时较小时, ,以下同以下同.某线性函数代替某线性函数代替即可微的函数能近似用即可微的函数能近似用,|,. 300充充分分小小时时则则当当若若令令xxxxx 近似公式：近似公式： ,. 10 xxfdyy ,. 2000 xxfxfxxf , bkx 记记13用近似公式用近似公式2求函数近似值的三个要点：求函数近似值的三个要点：);(1xf、由由题题意意选选择择适适当当函函数数)(x数数值值的的数数一一般般为为整整数数或或易易求求出出函函、找找出出02)(一一般般为为较较小小的的数数x 计算。计算。、代入公式、代入公式23（注意结果化为小数）（注意结果化为小数）思考：为何这样选择？思考：为何这样选择？.的近似值的近似值求求例例300216构造函数）构造函数）及及构构造造xx 0）代入公式代入公式2解: ,313xxxf 令令,002. 0, 10 xx令令 xf 1002. 13则则 从从而而,11xff .00067. 1002. 0311002. 0311002. 113233 xx14例例7 7.dd, 0)(,)(),(xytxttytx求求且且可可导导关关于于中中 参数方程参数方程参数方程求导法则）设参数方程求导法则）设( ,)()( ttyytxx解解因此