二次函数与一元二次方程典例解析

1、二次函数与一元二次方程典例解析安徽 李庆社涉x0一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它是二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴一个交点的横坐标。利用作一元二次函数的图象可以求出一元二次方程的近似解。例1作出二次函数y=x2-x-6的图象，观察图象回答，x分别为何值时（1）y>0，(2)y=0，(3)y<0?思路与技巧先作出二次函数的图象，结合图象回答问题.解对应值表与图象如下由对应值表与图象可以知道，当x=-2，或x=3时，y=0，即x2-x-6=0；当x-2，或x3时，y0，即x2-x-60；当-2x3时，y0，即x2-x-60这就是说，如果抛物线y=x2-x-6与x轴的交

2、点是(-2，0)与(3，0)，那么，一元二次方程x2-x-6=0的解就是x1=-2，x2=3点评我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，设=b2-4ac，它的解按照0，=0，0分为三种情况相应地，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的相关位置也分为三种情况(如图)，因此，分这三种情况讨论对应的一元二次方程ax2+bx+c0的解.例2利用图象解方程x2+2x-100。思路与技巧二次函数y=x2+2x-10的图像与x 轴交点的横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2于3之间，所以方程x2+2x-10=0的一个根在-5与-4之间，另一个在2与3之间.这只是大概范围，究竟更近于哪一个数呢?先

3、求-5与-4之间的根，列表如下，作出函数的图象：x-4.1-4.2-4.3-4.4y -1.39-0.76-0.110.56x=-4.3是方程的一个近似根。再求2与3之间的根x2.12.22.32.4y-1.39-0.76-0.110.56x=2.3是方程的另一个近似根确定方程x2+2x-10=0的解，用求根公式求是多少由此可知，方程x2+2x-10=0的近似根为:x1-4.3，x22.3.点评如何利用二次函数的图象估计一元二次方程的两根的值？基本步骤是什么？(1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；(2)根据图象确定抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在哪两个相邻的整数之间(1

4、)如果0，此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点(图23.43(1)，即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)(2)如果=0，此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点（图23.43（2），即方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2=-.(3)如果0，此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点(图23.43(3)，即方程ax2+bx+c=0无实数根例3二次函数yx2+2x，y=x2-2x+1，yx2-2x+2的图象如图4所示(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x0，x2-2x+10有几个根?解方程验证一下：一元二次方

5、程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c0的根有什么关系?思路与技巧(1)二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点，一个交点，没有交点，(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0，-2；方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1；方程x2-2x+2=0没有实数根(3)从观察图象和讨论中可知，二次函数yx2+2x的图象与x轴有两个交点，交点的坐标分别为(0，0)，(-2，0)，方程x2+2x=0有两个根0，-2；解二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点，交点坐标

6、为(1，0)，方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1；二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，方程x2-2x+20没有实数根由此可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根点评二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点当二次函数yax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根例4用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解思路与技巧（1）设y=2x2-4x-1，使y=0的x值即方程2x2-4x-1=0的解（2）化简2x2-4x-1=0，得x22x+设y1=x2，y2=2x+，它们的交点的横坐标即方程x2=2x+的解.解法一：设y=2x2-4x-1.画出抛物线y=2x2-4x-1.由图象知，当x2.2或x-0.2时，y=0. 即方程2x2-4x-1=0的近似解为x12.2，x2-0.2.解法二：将2x2-4x-1=0化简，得2x2=4x+1，x2=2x+.在同一坐标系中，画出函数y=x2和y=2x+的图象如图所示.抛物线y=x2与直线y=2x+交于a、b，过a、b分别作x轴的垂线，垂足横坐标约为