江苏省高三历次模拟试题分类汇编第13章空间向量与立体几何

1、目录（基础复习部分）第十三章空间向量与立体几何2第01课空间向量与运算2第02课空间向量与空间角的计算2第十三章 空间向量与立体几何第01课 空间向量与运算第02课 空间向量与空间角的计算（第22题图）abcdea1b1c1d122如图，已知长方体abcda1b1c1d1中，ab3，bc2，cc15，e是棱cc1上不同于端点的点，且（1） 当bea1为钝角时，求实数的取值范围；（2） 若，记二面角b1a1be的的大小为，求|cos|（第22题图）xyzabcdea1b1c1d122解：（1）以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 由题设，知b(2，3，0

2、)，a1(2，0，5)，c(0，3，0)，c1(0，3，5)因为，所以e(0，3，5) 从而(2，0，5)，(2，3，55) 2分 当bea1为钝角时，cosbea10， 所以·0，即2×25(55)0， 解得 即实数的取值范围是(，) 5分（2）当时，(2，0，2)，(2，3，3)设平面bea1的一个法向量为n1(x，y，z)，由 得取x1，得y，z1，所以平面bea1的一个法向量为n1(1，1) 7分易知，平面ba1b1的一个法向量为n2(1，0，0)因为cos< n1，n2>， 从而|cos| 10分在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，

3、平面，（1）求证：平面；abcdpq（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小（1）由已知，两两垂直，可以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 1分设，则，故， 2分因为，故，即， 又 4分所以，平面 5分（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量 为， -6分点的坐标为，则， 设平面的一个法向量为，则，故即取，则，故 -8分设与的夹角为，则- 9分所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为- 10分如图，在长方体中，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度；abcpdcdoba（2）若，求平面与平面所成角的正弦值abcpdcdobayxz22.

4、解：（1）以，为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，知，设，.设异面直线与所成角为，则，化简得，解得或，或5分（2），设平面的一个法向量为，即取，设平面的一个法向量为，即取，设平面与平面所成角为， 10分如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd，底面abcd是边长为2的菱形，mpdcba（第22题），m为pc的中点（1）求异面直线pb与md所成的角的大小；（2）求平面pcd与平面pad所成的二面角的正弦值解：（1）设ac与bd交于点o，以o为顶点，向量，为x，y轴，平行于ap且方向向上的向量为轴建立直角坐标系1分则，所以， 3分4分所以异面直线pb与md所成的角为 5分（2）设

5、平面pcd的法向量为，平面pad的法向量为，因为，由令，得， 7分 由令，得， 8分所以，所以10分baedc（南通调研一）如图，在四棱锥a-bcde中，底面bcde为平行四边形，平面abe平面bcde，abae，dbde，baebde90º（1）求异面直线ab与de所成角的大小；（2）求二面角b-ae-c的余弦值aceabe（南京盐城模拟一）cabpb1c1a1第22题图如图，在直三棱柱中，动点满足当时，（1）求棱的长；（2）若二面角的大小为，求的值解：（1）以点为坐标原点，分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以， 2分当时，有，解得，即棱的长为 4分（2）设平面的一个法向量

6、为，则由得即令，则，所以平面的一个法向量为6分又平面与轴垂直，所以平面的一个法向量为因二面角的平面角的大小为，所以，结合，解得 10分（苏州期末）如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，.（1）求二面角a-df-b的大小；abcfed（2）试在线段ac上确定一点p，使pf与bc所成角为.abcfedyzx22.解：（1）如图，以，为正交基底建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，设平面的法向量，则，令，得，从而，显然二面角为锐角，故二面角的大小为（2）由题意，设，则，与所成角为，解得或（舍），所以点在线段的中点处（镇江期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点（1）证

7、明：平面平面；（2）求与所成角的余弦值；（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值mpadbcmpadbcxyz解：建立如图所示的空间直角坐标系，则， 1分（1）因为，故，所以由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面，又面，故平面面4分（2）因， 7分（3）设平面的一个法向量为，则，又，取，得，故同理可得面的一个法向量为，平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为 10分（苏北三市调研三）如图，在菱形中，沿对角线将折起，使，之间的距离为，若，分别为线段，上的动点（1）求线段长度的最小值；adpqbc（第22题）abcd（2）当线段长度最小时，求与平面所成角的正弦值解：取中点，连结，则，为直

8、角三角形，平面. ······2分以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，······3分（1）设，则······5分当时，长度最小值为······6分（2）由（1）知，设平面的一个法向量为n=由n,n得，化简得，取n设与平面所成角为，则.故直线pq与平面acd所成角的正弦值为.·····10分（南京三模）p

9、abcd如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adbc，abad，bc，ab1，bdpa2（1）求异面直线bd与pc所成角的余弦值；（2）求二面角apdc的余弦值解：（1）因为pa平面abcd，abÌ平面abcd，adÌ平面abcd，所以paab，paad 又adab，故分别以ab，ad，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系pabcdxyz根据条件得ad所以b(1，0，0)，d(0，0)，c(1，0)，p(0，0，2) 从而(1，0)，(1，2) 3分设异面直线bd，pc所成角为q ，则cosq |cos，| 即异面直线bd与pc所成角的余弦值为 5分（2

10、）因为ab平面pad，所以平面pad的一个法向量为 (1，0，0) 设平面pcd的一个法向量为n(x，y，z)， 由n，n ，(1，2)，(0，2)，得 解得不妨取z3，则得n(2，2，3) 8分设二面角apdc的大小为j，则cosjcos，n 即二面角apdc的余弦值为 10分（盐城三模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，底面，设点满足.（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求的值.解：（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，所以，.当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，令，则，所以平面的一个法向量，所以，即直线与平面所成角的正弦值.5分（2）易知平面的一个

11、法向量.设，代入，得，解得，即，所以，设平面的法向量，则，消去，得，令，则，所以平面的一个法向量，所以，解得或，因为，所以.10分（前黄姜堰四校联考）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，为的中点，在线段上（1）若平面，求;（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值（第23题） 解：（1）因为直三棱柱中，以点为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.abcc1b1a1fdxyz因为，所以,所以. 设则.因为平面，所以.由，得或，故当平面时，可得或 5分（2）由（1）知平面的法向量为设平面的法向量为，则由,得令得，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值 10分（金海南三校联考）如图，在四棱锥pabcd中，已知棱ab，ad，ap两两垂直，长度分别为1，2，2.若(r)，且向量与夹角的余弦值为.(1)求的值；(2)求直线pb与平面pcd所成角的正弦值.解：依题意，以a为坐标原点，ab，ad，ap分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系axyz（如图）， 则b(1，0，0)，d(0，2，0)，p(0，0，2)， 因为，所以c(，2，0)，2分 （1）从而(，2，2)，(1