函数的幂级数展开式的应用46773PPT课件

1、2.9926. 一、近似计算 计算5240的近似值, 要求误差不超过0.0001 . 例1 5/ 1455)311(33243240-=-= 解 如果取前二项作为所求值的近似值, 则误差为 ) 31! 3594131! 254131511 ( 3123824 -=. 于是 9926. 2)31511 ( 324045-) 31! 451494131! 3594131! 2541( 3|164123822 =r200001 )811(8111 31! 25413282 200001 )811(8111 31! 25413282 . 第1页/共12页 解 例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过

2、0.0001. 已知 两式相减得提示: 这个幂级数收敛速度较慢, 用于求ln2较困难. 因此需要寻找收敛速度较快的幂级数.) 11( 1) 1( 432)1ln(1432- - -=xnxxxxxxnn, ) 11 ( 432)1ln(432 -=-xxxxxx, )1ln()1ln(11lnxxxx-=-) 11( ) 5131( 253- =xxxx. 第2页/共12页如果取前四项作为ln2的近似值, 则误差为 解 例2 计算ln2的近似值, 要求误差不超过0.0001. 已知 )1ln()1ln(11lnxxxx-=-) 11( ) 5131( 253- =xxxx. 以31=x代入得

3、) 31713151313131( 22ln753 =. 7000001 )91(911 32211 ) 31131311113191( 2|131194 =r于是6931. 0)31713151313131(22ln7537000001 )91(911 32211 . 6931. 0)31713151313131(22ln753. 第3页/共12页 例3 解 在sin x的幂级数展开式中令20p=x, 得 其误差为 取前两项得3 利用3! 31sinxxx-求 sin9的近似值, 并估计误差. 91809=p20p=(弧度). )20(! 71)20(! 51)20(! 312020sin7

4、53 -=ppppp. 3000001) 2 . 0(1201)20(! 51|552pr3)20(! 312020sinppp-3)20(! 312020sinppp-0.15643. 3000001) 2 . 0(1201)20(! 51|552pr3000001)2 . 0(1201)20(! 51|552pr. 第4页/共12页将被积函数换成其幂级数展开式得 解 前四项的和作为近似值, 其误差为所以 dxnxdxennnx!) 1(22210202102 =-=pp) ! 3721! 25213211 (1642 -=p. 900001! 49211|84pr5295. 0)! 372

5、1! 25213211 (126422102-ppdxexdxnxdxennnx!) 1(22210202102 =-=pp900001! 49211|84pr, 5295. 0)! 3721! 25213211 (126422102-ppdxex. 例 4 求积分dxex-21022p的近似值(误差不超410-). 第5页/共12页展开被积函数, 有 解 在区间0, 1上逐项积分, 得 因为第四项 所以取前三项的和作为积分的近似值: 例 5 求积分dxxx10sin的近似值(误差不超410-). )( ! 7! 5! 31sin642- -=xxxxxx. ! 771! 551! 3311s

6、in10 -=dxxx. 300001! 771, 9461. 0! 551! 3311sin10=-dxxx. 第6页/共12页二、欧拉公式v复数项级数 设有复数项级数(univn), 其中un, vn(n=1, 2, 3, )为实常数或实函数. 如果实部所成的级数un收敛于和u, 并且虚部所成的级数vn收敛于和v, 就说复数项级数收敛且和为uiv. 如果级(univn)的各项的模所构成的级数|univn|收敛, 则称级数(univn)绝对收敛. v 绝对收敛第7页/共12页v复变量指数函数 考察复数项级数 可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的, 在x轴上它表示指数函数ex, 在复平面上我们

7、用它来定义复变量指数函数, 记为ez . 即 !1 ! 2112 nznzz. !1 ! 2112 =nzznzze. 第8页/共12页v欧拉公式 当x=0时, z=iy , =cos yisin y. 于是 这就是欧拉公式. 把y换成x得 eix=cos xisin x, v复变量指数函数 !1 ! 2112 =nzznzze. )(!1 )(! 2112 =niyiyniyiye -= ! 51! 41! 31! 2115432yiyyiyiy) ! 51! 31() ! 41! 211 (5342 - -=yyyiyy第9页/共12页eix=cos xisin x.其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的辐角. v复数的指数形式 复数z可以表示为z=r(cos qisin q)=reiq ,v欧拉公式 v复变量指数函数 !1 ! 2112 =nzznzze. 第10页/共12页v三角函数与复变量指数函数之间的联系 因为eix=cos xi sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. 因此v复