函数极值与最值89524PPT课件

1、主视图第1页/共19页函数单调性由拉格朗日中值定理，有 212112()( )( ) () ()f xf xfxxxx第2页/共19页例题01111)(222xxxxf解 ) 1)(1(3332xxxy解 11111111递增区间：(, 1) , (1,)递减区间： 1,111第3页/共19页例题2tan2 sin3 ,(0,)xxxx例4 证明只要证 2( )tan2 sin30,(0,)fxxxxx2( )sec2 cos3fxxx2tan2 cos2xx2( )2 tansec2 sinfxxxx232 tansec(1cos)0 xxx( )0,( )(0)0fxfxf( )0,( )

2、(0)0fxfxf第4页/共19页函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数极值，取得极值的点称为函数极值点必须指出，函数的极值概念是局部性的 1x2x3x4x5xxy( )yf xabo回主视图第5页/共19页极值必要条件0)( xfyx0 xo 0fx yf x0)( xf0)( xf)(xfy xy0 xo第6页/共19页极值充分条件() 定理3第一充分条件设函数)(xf0 x的某邻域),(00ddxx内连续，可导)(0 xf可以不存在在点 () ，则(1) 若当),(00 xxxd时，0)(xf，而当),(00dxxx时，0)(xf)(xf在0 x处取极大值； ，(2) 若当),(00

3、xxxd时，0)(xf，而当),(00dxxx时，0)(xf则)(xf在0 x取极小值； ，则(3) 若当),(00ddxxx)(0 xx 时，0)(xf(0)(xf)(xf在0 x处不取极值 第7页/共19页例题01不存在0极大极小x)0 ,() 1 , 0(), 1 ( )(xf _)(xf第8页/共19页例题x+不存在+0不存在+y单增无极值单增极大值单减极小值单增a( ,)a 2(, )a2a2(,)2 3aa23a2(, )3a ay32)()2()32(2xaaxxay第9页/共19页例题x+0+0y单增极大值单减单增极大值单减41xxxxx)(841221212),(2121),

4、 0 (21) 0 ,(2121),(21y极大值为-1-2ln2回主视图第10页/共19页第三讲 函数极值第二充分条件在使用时不涉及函数单调性的讨论，因而有时它比第一充分条件方便第11页/共19页例题解 xxxf2cos2cos2)(xxxf2sin4sin2)( 0) 1)(cos1cos2(2xx23330333 ff为极大值； 2333503335 ff为极小值； 第12页/共19页例题回主视图我们将求函数极值的方法归纳如下： (1) 确定函数的定义域； (2) 求)(xf和)(xf ； (3) 令0)(xf，求驻点，并求不可导点； (4) 在0)( xf的驻点上用第二充分条件判定；

5、(5) 在)(xf不存在的点和0)( xf的驻点用第一充分条件判定 第13页/共19页函数最值在生产活动中，常常遇到这样一类问题：即在一定条件下，怎样使“产品最多”、“成本最低”、“收益最大”等等这类问题有时归结为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题 第14页/共19页例题解 0,1112121)(xxxxfxob0( )f xy0 xa( )yf x第15页/共19页例题第16页/共19页例题例10 在一块边长为a的正方形纸板上截去四角相等的小方块， 然后折叠成一个无盖纸盒，问截去的小方块的边长为多少时，纸盒的容积最大？2)2(xaxV2, 0ax)6)(2()2(4)2(2xaxaxaxxaV)3(8axV 046 aaVax2ax第17页/共19页例题解 要使用料最省