函数的微分及应用PPT课件

1、一、问题的提出一、问题的提出近似计算问题近似计算问题实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。20 xA 0 x0 x, 00 xxx 变变到到设设边边长长由由, 20 xA 正正方方形形面面积积2020)( xxxA .)(220 xxx )1()2(; , 的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax . , 很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0第1页/共27页再如,. , 03yxxxy 求求函函数数的的改改变变量量时时处处的的改改变变量量为为在在点点设设函函数数3030)(xxxy .)()(333

2、2020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值问题：问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数(改变量的线性主要部分)？如果有，它是什么？如何求？第2页/共27页二、微分的定义二、微分的定义定义定义.)(d d ) ( )( A )( ) A ( )(A)()( x )( 0000000 xxxxxfyxxxfyxxxfyxxoxxfxxfyxfy或，记作的相应于在为，并称在，则称无关与其中成立，如果增量的某个邻域内上有定义在设微微分分可可微微; )(|A-| 1)( xoxy 绝绝对对误

3、误差差注注：(2) dd ( )A ;yf xxxx是是和和的的函函数数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )(3) d .xxx 自自变变量量的的微微分分第3页/共27页三、可微的条件三、可微的条件. ) )( A ( )( )(000 xfxxfxxf 且且可导可导在在可微可微在在定理定理证证 (1) 必要性, )( 0可可微微在在 xxf, )(A xoxy , )(A xxoxy xyx0lim 则则, A. ) )( A ( )( 00 xfxxf 且且可导可导在在即即(2) 充分性, )( 0可可导导在在 xxf, )(lim

4、 00存存在在即即xfxyx . )( 0可可微微在在 xxf0(x)fxylim0 x0 x(x)xf-ylim0 xx)o(x(x)f-yx)o(x(x)fy第4页/共27页 )(A; 0，且且可微可微可导可导xf xxfxfxx )(| )(d00即即 d )(0，xxf |d)(dd| )(d )(000，xxxxxxfxxfxf dd ，即即xyy ”。导导数数又又叫叫做做“ 微微商商 例例1 1解解. 02. 0, 2 33时的微分时的微分当当）（ xxxy dy求求下下列列函函数数的的微微分分： 321sin2 ; 2;yxyx(1) d(sin2 )2cos2.yx dxxdx

5、 21 332(2) d().3yxdxxdx 20.02(3) xxdy 220.023xxxx 23 20.020.24 63 1P练练习习：(5)(7)(8)(9)第5页/共27页 63:1 5lntan,.2xPydy 求求2211tansec222tantan22111cscsinsin2sincos2222cos2cos2xxxyxxxxxxxxx cscdyy dxxdx 第6页/共27页 1 cos63:1 72,.xPydy 求求 11 coscos secs12 ln2 2ln2cecsos 2ln2ec tanxxxxxxyx sec2sectanln2xdyy dxxx

6、dx 第7页/共27页 363:1 8,.xxPyeedy 求求 223 3xxxxxxxxyeeeeeeee 23xxxxdyeeeedx第8页/共27页 sin63:1 9ln57,.xPyxxxdyx求求2sinln57cossin ln6xyxxxxxxxxx 2cossin ln6dyy dxxxxxdxx 第9页/共27页四、微分的几何意义四、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x C: y=f(x) 在在 M(x0, f(x0)的切线的切线T：y- f(x0)= f (x0)(x- x0) = f (x0) x。点的点的在在是是切线纵坐标的增量切线纵

7、坐标的增量 )(,M( )( :C )( |d 0000 xfxxfyxxfyxx xx0 P = dyQ ,M,.xQPQN当当很很小小时时 在在点点的的附附近近第10页/共27页1. 基本函数的微分公式基本函数的微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscd dtansec)(secddcsc)(cotd dsec)(tanddsin)(cosd dcos)(sindd)(d 0)(d221 xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(d d11)(arctandd11)(arccosd d11)(arcsindd

8、1)(lnd dln1)(logdd)(d dln)(d2222 P60第11页/共27页2. 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则. ) 0)( ( )(|d)(|d)(| )(d;|d)(/d)(| )(d;|Cd| )C(d;|d|d| )(d )( )( 0200000000000000000 xvxvvxuuxvvuvxuuxvvuuuvuvuxxvxuxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx若可微，则有在、若P61第12页/共27页例例2 2解解. d , )eln( 2yxyx求求设设 ,ee2122xxxxy .dee21d22xxxyxx 例例3

9、 3解解. d , cose 31yxyx求求设设 )(cosde)e (dcosd3131xxyxx 乘法乘法. dsincosd,e3)e (3131xxxxx xxxxyxxd)sin(ed)e3(cosd3131 .d)sincos3(e31xxxx 第13页/共27页; d)(d , )1(xxfyx 则则自自变变量量是是若若则则的的可可微微函函数数为为另另一一变变量量中中间间变变量量是是若若),( , )2(txtx , )( 可可微微设设函函数数xfy , d)()(dttxfy , dd)( xtt 又又. d)(d xxfy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自

10、变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论 )( , xfyx 微分形式的不变性xxfyd)(d 五、微分形式的不变性五、微分形式的不变性)()()(txytxf第14页/共27页利用微分的形式不变性。利用微分的形式不变性。例例4 4解解. d , bsine ayxyx求求设设 )bsine (ddaxyx )b(dbcosebsin)a(deaaxxxxxx .d)bsinabcosb(eaxxxx 例例3 3解解.d ),12sin(yxy求求设设 )12sin(dd xy)12(d)12cos( xxxxd2)12cos( . d)12cos(2xx )12(d) )12(sin(1

11、2 xxxxxxxbsindebsindeaa )bd(bcosebsin)ad(eaaxxxxxx 第15页/共27页例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.).(d)()(sind)2(;dcos)(d)1(2xxtt ,dcos)(sind)1(ttt )(sind1dcosttt .dcos)Csin1(dttt );sin1(dt xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind)2(22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx 第16页/共27页* *例例6 6 求由方程 cos(xy)=x2y2 所确定的 y=y(x) 微分及

12、导数. 解解对对方方程程两两边边微微分分，得得)(d)(d)(d)sin(2222yxyxxyxy xxyxyxxyyxyyd)sin(2)sin(2d 22 yyxxxyyxyxxyd2d2)dd)(sin( 22 .)sin(2)sin(2dd 22xyxyxxyyxyxy 第17页/共27页: 1.函函数数增增量量的的近近似似值值求求.)(|d)()(|00000 xxfyxfxxfyxxxx )0)(0很很小小时时且且xxf *六、微分在近似计算中的应用六、微分在近似计算中的应用例例7 7少少？厘厘米米，问问面面积积增增大大了了多多，半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加

13、热热后后半半径径05. 010 解解，面面积积为为记记金金属属圆圆片片的的半半径径为为Ar厘厘米米时时，厘厘米米、当当05.010 rrrrAA 2d05. 0102 ).(2厘米厘米 答：答：平平方方厘厘米米。面面积积增增大大了了约约 ,2rA 则则,2 rA 第18页/共27页: )( 2.0附附近近的的近近似似值值在在点点求求xxxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x . 05. 1 的近似值计算例例8 8解解, )( xxf记, 21)( xxf则, 05. 0, 1 0 xx取. 21) 1 (, 1) 1 ( ff由)05. 1 (05. 1 f有05.

14、0) 1 () 1 (ff05. 0211025. 1025. 105. 1)05. 01 ( f练习：P63：3（1）（2）第19页/共27页七、小结七、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的近计算似问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法，叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学，做微分学微分学.导数与微分的联系:.可可微微可可导导 . )d()(d , d)(d)(xxfxfxxfxf 第20页/共27页导数与微分的区别:. ) 0 , ( , )(d , )( )(. 1000000时时当当无无穷穷小小它它是是线线性性函函数数的的是是而而微微分分处处的的导导

15、数数是是一一个个定定数数在在点点 xxxxxxxxxfyxfxxf. )( ,( )( )(d , )(,( )( )( , . 2000000000时时纵纵坐坐标标的的增增量量到到从从处处的的切切线线当当横横坐坐标标在在点点是是曲曲线线而而微微分分处处切切线线的的斜斜率率在在点点是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看xxxxxfxxfyxxxfyxfxxfyxf 第21页/共27页思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？第22页/共27页思考题解答思考题解答说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念. 第23页/共27页第二章 重点（星号部分属于专插本） 导数的定义（P38） 导数几何意义：求切线和法线(P41-42) 可导的判断(P40先求左右导数) 隐函数求导(P51) 幂指函数求导(P51-52) 参数方程所确定的隐函数求导(