最短距离问题

1、最短距离问题备课说明：1、 本课是在初二下学期，学生学完了轴对称、勾股定理、正方形等章节后的一次小专题训练课。2、 本课通过专项讲解，归纳出方法、规律，消除学生对此类题的陌生感和畏惧感，解决一片问题。3、 教学过程中设置了梯度性的变式训练，并与多个知识点结合训练，从而达到巩固消化的效果。4、 教学手段上利用了多媒体、幽默化比拟、跨学科实验等，确保效率的同时，提升生动性和趣味性。5、 设置了进阶思考题，为优生创设提升空间，为问题的后续延伸埋下伏笔，为加深拓展奠定基础。教学目标：1、理解解决最短距离问题的数学本质。2、掌握解决最短距离问题的一般思想和方法。3、培养学生的转化思想和数形结合思想教学重

2、点：1、让学生掌握程序化、算法化解决此类问题。2、转化思想的理解和运用。教学难点：1、理解解决此类问题的数学本质。2、数形结合思想与构建能力的初步培养。教学过程：1、 出示一幅“绿地上的小路”上的图片。为求快捷、高效而“抄近路”是人的天性2、 连动物都掌握的公理： 左图：小狗要吃到骨头要怎样走才最近呢？两点之间线段最短推论：三角形两边之和大于第三边。右图：牛想去河边喝水，要怎样走才最近呢？连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（简称：垂线段最短）3、典型问题：例：1）如图，a、b是分别在河异侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？2）如

3、果b村庄改为与a同侧，且与原位置关于河对称，如图，a、b是分别在河同侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？若把b改在关于河的对称位置，却并不改变水管的长度，所以此时水管长度仍然是最短的。所以若当初题目的已知条件中，若a、b是在河的同侧时，我们可以让这种情况“回”到和它对应的异侧位置，即找到其中一点的对称点即可，由“两点之间，线段最短”可知只需连线，便可以轻易地找到最佳建站点。解决程序为：1）找河：找出那条河（直线或称为对称轴）2）找对称点：两点中选择容易确定对称点的一点，并找到其对称点。3）连线得交点：连线得到满足最短距离的动点位置。4、变式：1）

4、如图，abc中，a、b为两定点，c是直线l上的一动点，当c点运动到何处时，abc的周长最短。（让学生说出找到最佳点的程序）（2分钟）2）如图，e是边长为4正方形abcd边cd上的一点，且de等于1，试在ac上确定一点p，使pd+pe的和最小，并求出这个最小值。（师：两个村庄在哪里？河在哪里？谁是要确定的水泵站？）（4分钟）3） 如图，等腰直角三角形abc的边长为2，e是斜边ab的中点，p是ac边上的一个动点，则pb+pe的最小值为 （思考同上题，只是多了计算而已，求线段长的最有力武器是？）（5分钟）4）如图，abc中，ab=2，a=30°，若在ab、ac上各取一点，使得bm+mn的值最小，求这个最小值。（思考同上题，注意程序化、算法化）思考题：5）* 如图，a、b是直线a同侧的两定点，定长线段pq在直线a上平行移动。问pq移动到什么位置时，ap+pq+qb的长最短。6） * 求代数式 （0x4）的最小值。小结：1）证明最短往往用两点之间线段最短和