从平面向量到空间向量

1、2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法aboabba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义定义 表示法表示法 相等向量相等向量减法:三角形法则加法:三角

2、形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数, ,负数负数, ,零零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律数乘分配律数乘分配律abba加法交换律加法交换律bkakbak )(数乘分配律数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘数乘:ka,k:ka,k为正数为正数, ,负数负数, ,零零加法结合律加法结合律成立吗？成立吗？加法结合律：)()(cbacbaabcab+c+()oabcab+abcab+c+()oabcbc+推广:（1 1）首尾

3、相接的若干向量之和，等于由起始）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnaaaaaaaaaa11433221（2 2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。形，则它们的和为零向量。01433221aaaaaaaan例例1 1：已知平行六面体：已知平行六面体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，化简下列向量，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。表达式，并标出化简结果的向量。( (如图如图) )abcda1b1c1d111121)4()

4、(31)3()2()1 (ccadabaaadabaaadabbcababcdabcda1b1c1d1abcda平行六面体：平行四边形平行六面体：平行四边形abcdabcd平移向量平移向量 到到a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1的轨迹所形成的几何体的轨迹所形成的几何体. .a记做记做abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1例例1 1：已知平行六面体：已知平行六面体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，化简下列向量，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。表达式，并标出化简结果的向量。( (如图如图) )abcda1b1c1

5、d1g11121)4()(31)3()2()1 (ccadabaaadabaaadabbcabm 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量f1f2f1=10nf2=15nf3=15nf3例例2 2：已知平行六面体：已知平行六面体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。abcda1b1c1d1111111 )3(2 )2(acxadabacacxbdadacxccdaa

6、b1111 ) 1 (例例2 2：已知平行六面体：已知平行六面体abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，求满足下列各式的求满足下列各式的x x的值。的值。abcda1b1c1d1111111 )3(2 )2(acxadabacacxbdadacxccdaab1111 ) 1 (ccdaab1111 ) 1 (解. 1x 1111accccbababcda1b1c1d1112 )2(bdad 111bdadad)(111bdbcad111cdad 1ac1112 )2(acxbdad. 1x111 )3(acxadabacabcda1b1c1d111 ) 3 (ada

7、bac)()()(11adaaabaaabad)( 21aaabad12ac111 )3(acxadabac. 2xabmcgd)(21 )2()(21 ) 1 (acabagbdbcab在空间四边形在空间四边形abcdabcd中中, ,点点m m、g g分别是分别是bcbc、cdcd边的中点边的中点, ,化简化简abmcgd)(21 )2()(21 ) 1 (acabagbdbcabagmgbmab原式) 1 ()(21 acabmgbmab(2)原式)(21 acabmgbmmgmbmgbm abcddcba) ( ) 1 (ccbcabxacadyabxaaae ) 2 (在立方体在立方

8、体acac1 1中中, ,点点e e是面是面acac 的中心的中心, ,求下求下列各式中的列各式中的x,y.x,y.eabcddcba) ( ) 1 (ccbcabxacadyabxaaae ) 2 (eabcddcbaadyabxaaae ) 2 (e平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零作业.,cdc, b, a cad b abdacbcababcd，来表示试用，中，空间四边形思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.ababoabb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。