高等代数(第3版)：第五章矩 阵

1、 在解析几何中在解析几何中, 为了便于研究二次曲线为了便于研究二次曲线)2(,cossin,sincosyxyyxx把方程化为标准形把方程化为标准形. 122ynxm的几何性质的几何性质, 我们可以选择适当的角度我们可以选择适当的角度 ，作转轴，作转轴 ax2 + 2bxy + cy2 = f (1)(反时针方向转轴反时针方向转轴)变量的二次齐次多项式的化简问题变量的二次齐次多项式的化简问题.(1) 式的左边是一个二次多项式式的左边是一个二次多项式, 从代数学的从代数学的观点看观点看, 化标准的过程就是通过变量的线性替换化标准的过程就是通过变量的线性替换(2) 化简一个二次齐次多项式化简一个二

2、次齐次多项式, 使它只含有平方项使它只含有平方项. 这样一个问题这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常在许多理论问题或实际问题中常会遇到会遇到. 现在我们把这类问题一般化现在我们把这类问题一般化, 讨论讨论 n 个个 设有二次型设有二次型f(x1 , x2 , , xn ) = a11x12 + a22x22 +annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + + 2an-1,nxn-1xn .令令aij = aji , i 1 )不失一般性，设不失一般性，设 a12 0 .令令.,33212211nnzxzxzzxzzx它是非退化的线性替换，且使它是非退化的线性替换，且使f

3、 ( x1 , x2 , , xn ) = 2a12x1x2 + .= 2a12(z1 + z2)(z1 - z2) + .= 2a12z12 -2a12z22 + ,这时上式右端是这时上式右端是 z1 , z2 , , zn 的二次型，且的二次型，且 z12 的的系数不为零，属于第一种情况，定理成立系数不为零，属于第一种情况，定理成立. a11 = a12 = = a1n = 0 .由对称性，有由对称性，有a21 = a31 = = an1 = 0 .这时这时ninjjiijnxxaxxxf2221),(是是 n - 1 元二次型，根据归纳法假设，它能用非退元二次型，根据归纳法假设，它能用非

4、退化线性替换变成标准形化线性替换变成标准形.这样我们就完成了定理的证明这样我们就完成了定理的证明.不难看出，标准形的矩阵是对角矩阵，不难看出，标准形的矩阵是对角矩阵，d1x12 + d2x22 + + dnxn2.000000),(212121nnnxxxdddxxx反过来，矩阵为对角形的二次型就只含平方项反过来，矩阵为对角形的二次型就只含平方项. 按按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理定理 1 可以叙述为：可以叙述为： 定理定理 2 也就是说，对于

5、任意一个对称矩阵也就是说，对于任意一个对称矩阵 A都可以找到一个可逆矩阵都可以找到一个可逆矩阵 C 使使CTAC成为对角矩阵成为对角矩阵. 用配方法化二次型用配方法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf为标准形为标准形.由于二次型的平方项的系数全为零，故属由于二次型的平方项的系数全为零，故属于定理于定理 1 的证明过程中的第二种情形，作非退化线的证明过程中的第二种情形，作非退化线性替换性替换,33212211yxyyxyyx则则3213212121321)(6)(2)(2),(yyyyyyyyyyxxxf323122218422yyyyyy.822)(2322223231y

6、yyyyy再令再令,3322311yzyzyyz,3322311zyzyzzy即即则则233222213212822),(zzzzzxxxf23232322128)2(22zzzzz.6)2(222323221zzzz最后令最后令,2,3332211zwzzwzw,2,3332211wzwwzwz即即则则.622),(232221321wwwxxxf这即为标准形，而这几次线性替换的结果相当于作这即为标准形，而这几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换，一个总的线性替换，321321100210001100010101100011011wwwxxx.100111311321www 用配方法把三

7、元二次型用配方法把三元二次型32312123222132184432),(xxxxxxxxxxxxf化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来.我们按前面的每一种情况写出相应的矩阵我们按前面的每一种情况写出相应的矩阵. 这时的变数替换为这时的变数替换为,222111111nnnjjjyxyxxaayx该变数替换的矩阵为该变数替换的矩阵为,10001011111121111naaaaC则上述变数替换相应于合同变换则上述变数替换相应于合同变换A C1TAC1 .为了计算为了计算

8、C1TAC1 ，可令，可令., ),(22221112nnnnnaaaaAaa于是于是 A 和和 C1 可写成分块矩阵可写成分块矩阵,1,111111T11nEOaCAaA其中其中 T 为为 的转置，的转置，En - 1 为为 n - 1 级单位矩阵，级单位矩阵，于是于是,1111111T111T1111T1nnEOaAaEaOACC1111T1111111nEOaaAOa.T111111aAOOa矩阵矩阵 A1 - a11-1 T 是一个是一个 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 对对称矩阵，由归纳法假设，有称矩阵，由归纳法假设，有 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 可逆可逆矩阵矩

9、阵 G 使使GT( A1 - a11-1 T )G = D为对角形为对角形. 令令,12GOOC于是于是GOOaAOOaGOOCACCC11T111111T21T1T2,11DOOa这是一个对角矩阵这是一个对角矩阵. 我们所要的可逆矩阵为我们所要的可逆矩阵为C = C1C2 . 这时，只要把这时，只要把 A 的第一行与第的第一行与第 i 行互换，再把行互换，再把第一列与第第一列与第 i 列互换，就归结成情形一，根据初等列互换，就归结成情形一，根据初等矩阵与初等变换的关系，取矩阵与初等变换的关系，取100000010000000001000100000010001000), 1 (1iPCi行行

10、i 列列显然显然P( 1 , i )T = P( 1, i ) .矩阵矩阵C1TAC1 = P( 1 , i ) A P( 1 , i )就是把就是把 A 的第一行与第的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第行互换，再把第一列与第i 列互换的结果列互换的结果.因此，因此， C1TAC1 左上角第一个元左上角第一个元素就是素就是 aii ，这样就归结到第一种情形，这样就归结到第一种情形. 与上一种情形类似，作合同变换与上一种情形类似，作合同变换P( 2 , j )TAP( 2 , j )可以把可以把 a1j 搬到第一行第二列的位置，这样就变成搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情

11、况了配方法中的第二种情况. 与那里的变数替换相对与那里的变数替换相对应，取应，取,00000100001100111C于是于是 C1TAC1 的左上角就是的左上角就是,20021212 aa也就归结到第一种情形也就归结到第一种情形. 由对称性，由对称性，aj1 , j = 1, 2, , n , 也全为零，于是也全为零，于是,01AOOAA1 是是 n - 1 级对称矩阵级对称矩阵. 由归纳法假设，有由归纳法假设，有n - 1 级级可逆矩阵可逆矩阵 G 使使GTA1G = D成对角形成对角形.取取,1GOOCCTAC 就成为对角形就成为对角形. 用配方法化二次型用配方法化二次型32312132

12、1622),(xxxxxxxxxf为标准形为标准形.该二次型对应的矩阵为该二次型对应的矩阵为.031301110A,1000110111C因为因为 a11 = a22 = a33 = 0, 但但 a12 0, 故属于情形三故属于情形三取取1000110110313011101000110111T11ACCA.042420202再取再取,1000101012C10001010104242020210101000121T22CACA.240420002再取再取,1002100013C10021000124042000212001000132T33CACA.600020002A3 已是对角矩阵，因此

13、令已是对角矩阵，因此令100210001100010101100011011321CCCC,100111311就有就有.600020002TACC作非退化线性替换作非退化线性替换X = CY ,即得即得.622),(232221321yyyxxxf在本节的最后，再来讨论化二次型为标准形的在本节的最后，再来讨论化二次型为标准形的初等变换法初等变换法.由本节由本节知，知，对任意一个对称矩阵对任意一个对称矩阵 A都可以找到一个可逆矩阵都可以找到一个可逆矩阵 C 使使CTAC成为对角矩阵成为对角矩阵. 由于由于 C 可逆，由第四章可逆，由第四章知，存在初等矩阵知，存在初等矩阵 P1, P2 , , P

14、k , 有有C = P1P2 Pk . PkT P2TP1T A P1P2 Pk 于是于是为对角矩阵为对角矩阵. 这说明，这说明，.这里所谓的相同类型的初等行、列变换指这里所谓的相同类型的初等行、列变换指的是：每对的是：每对 A 进行一次行变换，紧接着对进行一次行变换，紧接着对 A 进行进行一次相同类型的列变换一次相同类型的列变换.又因为又因为C = P1P2 Pk =EP1P2 Pk ，所以，对所以，对 A 作的列变换同样施加于作的列变换同样施加于 E，即得变换，即得变换矩阵矩阵 C . 于是就有于是就有用初等变换法化二次型为标准形的方法是：用初等变换法化二次型为标准形的方法是：,EAB 用

15、初等变换法化二次型用初等变换法化二次型323121321622),(xxxxxxxxxf为标准形为标准形.该二次型对应的矩阵为该二次型对应的矩阵为.031301110A构造矩阵构造矩阵 B100010001031301110B100111311600020002 所以二次型的标准形为所以二次型的标准形为,622232221yyyf 所用线性替换为所用线性替换为.,33332123211yxyyyxyyyx3231212322218241212312xxxxxxxxxf 用初等变换法化二次型用初等变换法化二次型为标准形为标准形. 二次型二次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 的标准形的

16、标准形.这个二次型是上一节中的例这个二次型是上一节中的例1，由此可知，二，由此可知，二次型次型 2x1x2 + 2x1x3 -6x2x3 经过线性替换经过线性替换321321100111311wwwxxx变成的标准形为变成的标准形为,622232221www可以验证，该二次型经过线性替换可以验证，该二次型经过线性替换3213213100312111211yyyxxx就得到另一个标准形就得到另一个标准形.32212232221yyy这就说明，这就说明，但有一但有一点是肯定的，即点是肯定的，即这是因为，经过非退化线性替换这是因为，经过非退化线性替换四章第四节四章第四节合同的矩阵有相同的秩，这合同的

17、矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换之后，二次型矩阵的就是说，经过非退化线性替换之后，二次型矩阵的秩是不变的秩是不变的. 标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数. 这这就证明了标准形中，系数不为零的平方项的个数是就证明了标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的唯一确定的. 于是，我们引入二次型秩的概念：于是，我们引入二次型秩的概念：二次型的矩阵变成了一个与之合同的矩阵二次型的矩阵变成了一个与之合同的矩阵. 由第由第 在本节中，我们要讨论的问题是：在复数域在本节中，我们要讨论的

18、问题是：在复数域和实数域中，进一步研究唯一性的问题和实数域中，进一步研究唯一性的问题.设设 f ( x1 , x2 , , xn ) 是一个复系数的二次型是一个复系数的二次型.由本章由本章经过一适当的非退化线性替换后经过一适当的非退化线性替换后f ( x1 , x2 , , xn ) 变成标准形变成标准形.不妨假设它的标准不妨假设它的标准形是形是d1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,其中其中 r 是是 f ( x1 , x2 , , xn ) 的矩阵的秩的矩阵的秩. 因为复数因为复数总可以开平方，所以我们再作一非退化线性替换总可以开平方，

19、所以我们再作一非退化线性替换,1,111111nnrrrrrzyzyzdyzdyd1y12 + d2y22 + + dryr2 , di 0, i = 1, 2, , r ,就变成就变成上式称为复二次型上式称为复二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的的.显然规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此显然规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有有 定理定理 3 换个说法就是换个说法就是 0011设设 f ( x1 , x2 , , xn ) 是一个实系数的二次型是一个实系数的二次型.由本章由本章经过一适当的非退化线性替换，经过一适当的非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使再适当

20、排列文字的次序，可使 f ( x1 , x2 , , xn ) 变变成标准形成标准形d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 ,其中其中 di 0 , i = 1, , r ; r 是是 f ( x1 , x2 , , xn )的秩的秩. 因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换一非退化线性替换,1,111111nnrrrrrzyzyzdyzdy二次型二次型 d1y12 + + dpyp2 - dp+1y2p+1 - - dryr2 就变成就变成称之为实二次型称之为实二次型 f ( x1 , x2

21、 , , xn )的的. 显然显然规范形完全被规范形完全被 r, p 这两个数所决定这两个数所决定. 对于实系数二对于实系数二次型的规范形，我们有以下定理：次型的规范形，我们有以下定理： 定理的前一半在上面已经证明，下面就定理的前一半在上面已经证明，下面就来证唯一性来证唯一性.设实二次型设实二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 经过非退化线性经过非退化线性替换替换 X = BY 化成规范形化成规范形f ( x1 , x2 , , xn ) = y12 + + yp2 - y2p+1 - - yr2 ,而经过非退化线性替换而经过非退化线性替换 X = CZ 也化成规范形也化成规范形f

22、 ( x1 , x2 , , xn ) = z12 + + zq2 - z2q+1 - - zr2 .现在来证明现在来证明 p = q .用反证法用反证法. 设设 p q .由以上假设，我们有由以上假设，我们有y12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2 ,其中其中Z = C -1BY .令令,2122221112111nnnnnngggggggggGBC则有则有.,22112222112212121111nnnnnnnnnnygygygzygygygzygygygz于是可得关于于是可得关于y1,yp ,yp+1, yn的齐次线性方程组的齐次线性方程组为了从等式为

23、了从等式y12+yp2-y2p+1-yr2 = z12+zq2-z2q+1-zr2中找到矛盾，中找到矛盾，令令 yp+1 = = yn = 0 , z1 = = zq = 0,.0,0,0,0122111212111npnqnqqnnyyygygygygygyg该方程组含有该方程组含有 n 个未知量，而含有个未知量，而含有q + ( n - p ) = n - ( p - q ) 0 ,而它的右边为而它的右边为- z2q+1 - - zr2 0 ,这是一个矛盾，它说明假设这是一个矛盾，它说明假设 p q 是不对的是不对的. 因此因此就有就有 p q .同理可证同理可证 q p ， 从而从而 p

24、 = q . 这就证明了规范这就证明了规范形的唯一性形的唯一性. 应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的数是一致的. 因此，惯性定理也可以叙述为：因此，惯性定理也可以叙述为：把上述关于二次型的规范形的结论，移置到矩把上述关于二次型的规范形的结论，移置到矩阵上来，就是阵上来，就是 0011 001111在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位在实二次型中，正定二次型占有

25、特殊的地位.因因为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问为正定二次型与正定矩阵在工程技术和最优化等问题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条题中有着广泛的应用，讨论多元函数极值的充分条件也要用到它件也要用到它. 在这一节中，我们给出它的定义以在这一节中，我们给出它的定义以及常用的判别条件及常用的判别条件. 222221121),(nnnxdxdxdxxxf 设二次型设二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 经过非退经过非退化实线性替换变成标准形化实线性替换变成标准形d1x12 + d2x22 + + dnxn2 由前面讨论的基本结论由前面讨论的基本结论 1 知，该标准形是正定

26、的当知，该标准形是正定的当且仅当且仅当 di 0 , i =1, 2, , n , 即正惯性指数为即正惯性指数为 n . 再再由基本结论由基本结论 2 即得即得.定理定理 6 说明，正定二次型说明，正定二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的的规范形为规范形为 因为二次型因为二次型 x12 + x22 + + xn2 的矩阵是单位的矩阵是单位矩阵矩阵 E，所以，所以，由此得：，由此得： 设设 A 为实对称矩阵，则由为实对称矩阵，则由实对称矩阵实对称矩阵 A 正定正定实二次型实二次型 XTAX 正定正定实二次型实二次型 XTAX 的规范的规范型是型是 x12 + x22 + + xn

27、2 实二次型实二次型 XTAX 的规范的规范型是型是 x12 + x22 + + xn2 存在可逆矩阵存在可逆矩阵 C，使，使 A = CTEC = CTC .矩阵矩阵 A 与与 E 合同合同有有 设设 A 是一正定矩阵，则由推论是一正定矩阵，则由推论 1 知，知，存在可逆矩阵存在可逆矩阵 C，使，使A = CTC .两边取行列式，就有两边取行列式，就有| A | = | CT | | C | = | C |2 0 . 证明：若证明：若 A 是正定矩阵，则是正定矩阵，则 A-1 也是正也是正定的定的.由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对由正定矩阵的定义知，正定矩阵是实对称矩阵，称矩阵，由推论由推

28、论 2 知，正定矩阵知，正定矩阵 A 是可逆的，是可逆的，且且( A-1 )T = ( AT )-1 = A-1 ，所以所以 A-1 也是实对称矩阵也是实对称矩阵. 证明其正定性的方法很证明其正定性的方法很多多. 用惯性指数法判断三元二次型用惯性指数法判断三元二次型3221232221321),(xxxxxxxxxxf是否是正定二次型是否是正定二次型.有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或规范形规范形.下面来解决这个问题下面来解决这个问题. 为此，引入为此，引入 )

29、, 2 , 1(212222111211niaaaaaaaaaPiiiiiii ninjjiijnAXXxxaxxxf1T121),(先证先证设二次型设二次型ninjjiijnxxaxxxf1121),(是正定的是正定的.对于每个对于每个 k ，1 k n , 令令kikjjiijkkxxaxxxf1121.),(我们来证我们来证 fk 是一个是一个 k 元的正定二次型元的正定二次型. 对于任意一对于任意一组不全为零的实数组不全为零的实数 c1 , , ck 有有kikjjiijkkccacccf1121),(.0)0 , 0 ,(21kcccf因此因此),(21kkxxxf是正定的是正定的.

30、由由fk 的矩阵的行列式的矩阵的行列式., 1,01111nkaaaakkkk这就证明了矩阵这就证明了矩阵 A 的顺序主子式全大于零的顺序主子式全大于零.再证再证对对 n 作数学归纳法作数学归纳法.当当 n = 1 时，时，f ( x1 ) = a11x12 ,由条件由条件 a11 0 显然有显然有 f ( x1 ) 是正定的是正定的.假设充分性的论断对于假设充分性的论断对于 n - 1 元二次型已成立元二次型已成立,现在来证现在来证 n 元的情形元的情形.令令, 111, 11 , 11, 1111nnnnnnnaaaaaaA于是矩阵于是矩阵 A 可以分块成可以分块成.T1nnaAA既然既然

31、 A 的顺序主子式全大于零，当然的顺序主子式全大于零，当然 A1 的顺的顺序主子式也全大于零序主子式也全大于零. 由归纳法假设，由归纳法假设，A1 是正定是正定矩阵，换句话说，有可逆的矩阵，换句话说，有可逆的 n - 1 级矩阵级矩阵 G 使使GTA1G = En - 1 ,这里这里 En - 1 代表代表 n - 1 级单位矩阵级单位矩阵. 令令,11OOGC于是于是11T1T1T1OOGaAOOGACCnn11T1T1T1OOGaAOOGACCnn.TT1nnnaGGE再令再令,1T12OGECn有有11T1TT1T121T1T2OGEaGGEGOECACCCnnnnn.TT1GGaOOE

32、nnn令令C = C1C2 , ann - TGGT = a ,就有就有.11TaACC两边取行列式，两边取行列式，| C |2 | A | = a .由条件由条件 | A | 0 得得 a 0 .这就说明，矩阵这就说明，矩阵 A 与单与单位矩阵合同，所以，位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次是正定矩阵，或者说二次型型),(21nxxxf是正定的是正定的. 充分性得证充分性得证. 利用下列模型判别矩阵的正定性利用下列模型判别矩阵的正定性 判别二次型判别二次型43424131212423222143211262421993),(xxxxxxxxxxxxxxxxxxf的正定性的正定性.二次型的矩阵为二次型的矩阵为,19631690230311211它的顺序主子式分别为它的顺序主子式分别为,01|1|1P, 0231112P9020312113P60 ,196316902303112114P240 ,由此可知二次型是正定的由此可知二次型是正定的. (所谓主子式是指行指标与列指标相同的子式所谓主子式是指行指标与列指标相同的子式)，在，在 (5) 中，仅有顺序主子式大于或等于中，仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的零是不能保证半